Физика / Теоритическая механика в задачах и примерах

Решить задачу при следующих данных:

0 = 100 об/мин, I0 = 0,12 кг м2, I1 = 0,8 кг м2.

Решение. Так как внешние силы системы или параллельны оси Оz (силы тяжести), или эту ось пересекают (реакции подпятника и подшипника

при отсутствии трения), то n mz (Fi e ) 0 . Тогда из (14.8) имеет место закон

i 1

сохранения кинетического момента (14.9) относительно оси вращения z:

Kz0 K1z

(14.10)

Так как для вращающегося тела Kz I zω, то равенство (14.10) принимает вид

I0 0 = I1 1.

(14.11)

Отсюда с учетом данных задачи

1 I0I1 0 15 (об/мин).

Следовательно, если человек разведением рук с гирями в стороны увеличит момент инерции, то угловая скорость вращения уменьшиться и наоборот. Законом сохранения кинетического момента в форме (14.11) пользуются фигуристы, акробаты, танцоры, например, для увеличения угловой скорости при прыжках в воздухе, или для замедления вращения.

Пример 14.6. При пуске в ход электрической лебедки к барабану А приложен вращающий момент Mвр = t, где постоянная. Груз В массой m1

поднимается посредством каната навитого на барабан А радиусом r и массой m2 (рис. 14.6).

Определить угловую скорость барабана А, считая его однородным сплошным цилиндром. В начальный момент времени лебедка находилась в покое, т. е.

при t = 0, 0 = 0

(14.12)

Мвр

Решение.

Рассмотрим

систему,

состоящую из барабана А и груза В. Поскольку

Z

O

A

вектор угловой

скорости

барабана

А

О

YO

направлен вдоль

оси вращения Ох,

то

воспользуемся

теоремой

об

изменении

x

2

кинетического момента механической системы

P

(14.8) относительно этой оси

	m VB	dK x	n	e	).	(14.13)
	1	dt	mx (Fi
	B		i 1
	P1	Изобразим все внешние силы системы:
		вращающий момент Mвр, силы тяжести P и					P
	Рис. 14.6					1	2
		соответственно груза В и барабана А, реакции

подшипника О YO и ZO . Вычислим сумму моментов этих сил относительно оси Ох:

n				P r t m gr.		(14.14)
m		(F e ) M	вр
i 1	x	i		1	1

Для данной системы Kx KxA KxB . Барабан А вращается вокруг оси Ох с искомой угловой скоростью и для него Ix m2 r2 / 2 . Тогда

KxA I x m22r2 .

Груз В движется поступательно вверх, поэтому для определения KxB вычислим момент вектора количества движения m1VB относительно оси Ох, учитывая , что VB = r. Получим

KxB m1VB r m1 r2 .

Тогда для системы

			m r2	m r2	r2	m 2m
K	x		2			2 1			.	(14.15)
		2		1		2

Подставляя (14.14) и (14.15) в теорему (14.13), получаем дифференциальное уравнение движения системы

d r2 m2 2m1 t m1gr, dt 2

или

	r2 m 2m		d	t m1gr.	(14.16)
	2	1	dt
		2

Умножим (14.16) на dt, разделим переменные и возьмем от обеих частей найденного равенства определенные интегралы

r2 m 2m				t	t
2	1		d tdt m gr dt,			(14.17)
	2	0		0	1
					0

где нижние пределы интегрирования соответствуют начальным условиям (14.12), а верхние пределы произвольному моменту времени t, когда угловая скорость барабана А равна искомой . Из (14.17) находим

r2 m2 2 2m1 2t2 m1grt.

Отсюда определим угловую скорость барабана А как функцию времени

t t 2 m1gr . r2 m2 2 m1

С помощью теоремы об изменении главного момента количества движения механической системы рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 37.1, 37.5, 37.31, 37.46, 37.47, 37.48, 37.52, 37.56.

15. ТЕМА 18. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

На практических занятиях по теме «Теоремы об изменении кинетической энергии» проводится решение задач на нахождение скоростей точек или тел по известному перемещению какого-либо тела (точки). Для систем, положение которых определяется заданием одного параметра, с помощью этих теорем можно получать дифференциальные уравнения движения механической системы.

15.1. Задачи на применение теорем об изменении кинетической энергии

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в конечной форме рекомендуется проводить в такой последовательности:

1) изобразить на рисунке силы, приложенные к материальной точке, т. е. активные силы и реакции связей;

2)вычислить сумму работ всех сил, приложенных к материальной точке, на ее перемещении;

3)вычислить кинетическую энергию материальной точки в ее начальном и конечном положениях;

4)использовав результаты вычислений двух предыдущих пунктов, применить теорему об изменении кинетической энергии материальной точки

иопределить искомую величину.

Решение задач о движении механической системы с помощью

теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в конечной форме рекомендуется проводить в такой последовательности:

1)изобразить все внешние и внутренние силы системы (в случае неизменяемой материальной системы только внешние силы);

2)вычислить сумму работ всех внешних и внутренних сил на перемещениях точек системы (в случае неизменяемой материальной системы

только сумму работ внешних сил);

3)вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в начальном и конечном положениях системы;

4)воспользовавшись результатами вычислений пунктов 2) и 3), записать теорему об изменении кинетической энергии системы

материальных точек в конечной форме T T

n

n

Ae

Ai и определить

1

0

k 1

k

k 1

k

искомую величину.

Пример

15.1.

Стержень

ОА

длиной

l

Z0

подвешен на

шарнире

в

точке

О (рис. 15.1).

YO

C '

II

O

Определить, какую

наименьшую угловую скорость

hC

ωo надо сообщить стержню из положения I, чтобы

o

он отклонился

до горизонтального положения II;

C

трением в шарнире пренебречь.

mg

Решение. Для решения задачи воспользуемся

A

I

теоремой об изменении

кинетической

энергии

в

Рис. 15.1

конечной форме:

n

n

T1 Т0 Aке Aкi .

(15.1)

к 1

к 1

Так как стержень ОА является неизменяемой системой материальных

точек, то для него сумма работ внутренних сил равна нулю, т. е. Тогда теорема (15.1) принимает вид

n

T1 Т0 Aке

к 1

n

Aкi 0.

к 1

(15.2)

Вычислим кинетическую энергию стержня ОА в конечном II и начальном I положениях. Поскольку в конечном положении II стержень

остановится, то Т1 0. Выражение для кинетической энергии стержня ОА,

вращающегося вокруг оси О, в начальном положении I определим по формуле

T0 IO ωo2 /2 ml2 ωo2 /6 .

(15.3)

Здесь m масса стержня, а IO его момент инерции относительно оси

вращения О

На стержень действуют внешние силы: активная сила тяжести mg ,

и YO , ZO реакции шарнира О. Теперь вычислим сумму работ этих сил при

перемещении стержня ОА из вертикального положения I в горизонтальное положение II (рис. 15.1):

А(mg) mg hC = mg l/2 ;

аA(YO ) A( ZO ) 0 , так как точка О при повороте стержня остается неподвижной. Тогда

n
Aке mg l/2 .	(15.4)

к 1

Сучетом (15.3) и (15.4) уравнение (15.2) для данной задачи имеет вид

ml2 ωo2 /6 mg l/2.

Отсюда находим начальную угловую скорость стержня ОА

ωo 3g /l .

Пример 15.2. К грузу 1 массой m1 прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок 2 массой m2 радиусом R и прикрепленная к оси С катка 3 массой m3, катящегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол (рис.15.2). Под действием постоянной силы

F система приходит в движение из состояния покоя; при этом на блок 2 действует постоянный момент М сил сопротивления; коэффициент трения груза 1 о плоскость равен f.

Определить скорость груза 1 V1, когда он прошел по горизонтальной плоскости расстояние S1. Блок 2 и каток 3 считать однородными круглыми цилиндрами, весом нити пренебречь. Найти также ускорение а1 груза 1.

Решить задачу при следующих данных: m1 = 2 кг, m2 = 4 кг, m3 = 3 кг,

R2 = 0,2 м, f = 0,1, F = 50 Н, М = 0,4 Н м, S1 = 0,4 м, = 30о.

Решение. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3. Для определения скорости груза 1 при перемещении его на расстояние S1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в форме (15.1)

T

Т

n

n

(15.5)

0

Aе

Ai .

1

k 1

k

k 1

k

Рис. 15.2

В начальный момент времени система находилась в покое, поэтому

Т0 = 0.

Внутренними силами являются силы натяжения нитей, связывающие

тела системы, и так как нити нерастяжимые, то			n	0. Следовательно,
			Aki
уравнение (15.5) принимает более простой вид			k 1
T	n			(15.6)
	Aе .
1	k 1	k

Вычислим кинетическую энергию Т1 системы как функцию искомой скорости V1. В произвольный момент времени величина Т1 равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 системы:

T Т(1)	Т(2) Т(3) .	(15.7)
1

Учитывая, что груз 1 движется поступательно, блок 2 вращается вокруг неподвижной оси О, а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, запишем выражения для кинетических энергий тел системы:

T (1)		m V				2
				1	1		;
				2
T (2)		I	O		2		;
				2
				2				I				(15.8)
Т(3)		m V			2					2
			3	C					C	3	.
				2						2

Выразим все входящие в (15.8) скорости через искомую скорость V1:

		V1	, V	V	,			VC	VC .	(15.9)
2		R	C	1		3		CК	R
		2							3

Здесь СK расстояние от центра масс С катка 3 до его мгновенного центра

скоростей точки K; через R3 обозначен радиус катка 3.

Поскольку блок 2 и каток 3 являются однородными круглыми цилиндрами, находим входящие в (15.8) осевые моменты инерции:

	m R	2	,		m R	2	.
IO	2 2			IC	3 3			(15.10)
	2				2

С учетом (15.8)–(15.10) запишем выражение для кинетической энергии конечного состояния системы (15.7) как функции искомой скорости V1:

	T1 2m1 m2 3m3	V 2		(15.11)
			1
		4

Изобразим на рис. 15.2 все действующие на систему внешние силы: активные силы F, P1 , P2 , P3 , момент сопротивления вращению М, реакции

N1, N2 , N3 и силы трения Fтр1, Fтр3 .

Найдем сумму работ всех внешних сил на перемещении системы, когда груз 1 пройдет путь S1:

А F F S1 cos 0 ,
А F	F	S ,
тр1	тр1	1	(15.12)
А M M 2 ,

А P3 P3 hC ,

где 2 угол поворота блока 2, hC вертикальное перемещение точки С приложения силы тяжести P3.

Работа остальных внешних сил равна нулю, т. е.

А P1 А N1 А N2 А P2 А N3 А Fтр3 0,

поскольку: груз 1 движется по горизонтальной плоскости и его вертикальное перемещение h1 = 0; в каждый момент движения реакция N1

перпендикулярна элементарному перемещению точки ее приложения; точка О, где приложены силы N2 и P2 , неподвижна; а точка К приложения сил N3 и Fтр3 является для катка 3 мгновенным центром скоростей, т.е. в каждый

момент движения элементарное перемещение этой точки равно нулю. Выразим все перемещения, входящие в (15.12), через величину

заданного перемещения S1 груза 1. Для этого воспользуемся свойством, что связь между перемещениями будет такой же, как и зависимость между соответствующими скоростями в (15.9):

2

S1

,

S

C

S ,

h

S

sin S

sin .

(15.13)

R2

1

C

C

1

Подставив (15.13) в (15.22) и учитывая, что величина силы трения скольжения Fтр1 = fN1 = fm1g, находим:

А F

F S1,

v

f m1gS1,

А Fтр1

А M

M

S1

,

R

r

2

А P3 m3g S1 sin .

Тогда сумма работ всех внешних сил

Aе FS

f m g S

M S1

m gS sin

n

k 1 k

1

1

1

3

1

R2

(15.14)

M

S

F f m g

m

g sin .

1

1

R2

3

Подставив (15.11) и (15.14) в исходное уравнение (15.6) получим

2m1 m2 3m3

Отсюда находим

V1 2

	V12	S	F g f m		m	sin	M	.
							R
	4	1		1	3
							2

S	F g f m		m	sin	M
1		1	3		R
					2	,

2m1 m2 3m3

(15.15)

(15.16)

или при подстановке числовых данных задачи в (15.16) находим скорость груза 1 V1 = 1,7 (м/с), когда он прошел путь S1 = 0,4 м .

Для определения ускорения груза 1 вычислим от обеих частей уравнения (15.15) производные по времени, рассматривая V1 и S1 как переменные величины. Получим

	2m m		3m 2V dV1			dS1	F g f m m sin								M		.
1		2	3		1 dt														(15.17)
			4												R
						dt			1	3
															2
Поскольку груз 1 движется прямолинейно, то dV1 a ,																dS1		V . Тогда
										dt				1		dt			1
(15.17) принимает вид
	2m1	m2 3m3			2V1	a1 V		F g f m m				3		sin			M		,
			4				1		1
																	R2
отсюда находим ускорение груза 1
			2		F g f m			m	sin	M
							1	3		R
			a							2			.						(15.18)
			1			2m1 m2 3m3

После подстановки числовых данных задачи в (15.18) получим, что груз 1 движется равноускоренно с ускорением a1 = 3,7 м/с2 .

По теме «Теоремы об изменении кинетической энергии» рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 38.14, 38.23, 38.28, 38.30, 38.35, 38.45.

16. ТЕМА 19. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

В динамике твердого тела изучается его движение под действием приложенных сил и наложенных на него связей. В зависимости от исходных данных на практическом занятии решаются прямая или обратная задачи динамики для твердых тел при различных видах их движения.

16.1. Динамика вращательного движения твердого тела

Задачи динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси наследует решать в следующей последовательности:

1)направить одну из декартовых осей (ось z) по оси вращения твердого тела (в направлении вектора её угловой скорости);

2)изобразить все внешние силы, приложенные к твердому телу;

3)вычислить сумму моментов всех внешних сил относительно оси вращения

n			Fke ;
mz
k 1
4) записав дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
	n				e	,	(16.1)
Iz mz Fk
	k 1

подставить в него выражение суммы моментов всех внешних сил, значение момента инерции Iz твердого тела относительно оси вращения

5) решать, в зависимости от условия, прямую либо обратную задачи.

Пример

16.1

Цилиндрический

вал

массой m и радиусом R вращается с угловой

скоростью n0 относительно продольной

центральной оси симметрии О (рис. 16.1).

С какой

силой Q надо прижать

тормозную колодку к валу, чтобы остановить

его за время t1, если коэффициент трения

скольжения колодки о вал f, а радиус

инерции вала относительно оси вращения

равен . Трением в опорах вала пренебречь.

Рис. 16.1

Найти также число N1 полных оборотов вала

с момента начала торможения до остановки.

Решить задачу при следующих данных:

m = 10 кг; R= 0,1 м;

n0 = 600 об/мин;

t1 = 10 с; f = 0, 4; = 0,3 м.

Решение. Направляем ось Ох по оси вращения вала (рис. 16.1). Тогда дифференциальное уравнение вращения вала вокруг неподвижной оси Ох имеет вид: