Физика / Теоритическая механика в задачах и примерах

I	d	n		e	),	(16.2)
	х dt	m		( F
		i 1	х	i

где Ix = m 2 – осевой момент инерции вала.

К валу приложены внешние силы: сила тяжести P m g , реакции опор ZO , YO , сила Q и сила трения скольжения Fтр колодки о вал, направленная в точке контакта по касательной (Fтр Q ) в сторону, противоположную движению, причем Fтр = fQ. Так как моменты опорных реакций ZO , YO , сил Q и P относительно оси вращения Ох равны нулю , то

n			F	R fQR .	(16.3)
m	х	( F e )
i 1		i	тр

Момент силы трения Fтр в (16.3) отрицателен, т. к. его направление

противоположно направлению угловой скорости вращения вала, которое при решении задач по динамике обычно выбирается за положительное.

Тогда с учетом (16.3) дифференциальное уравнение вращения вала принимает вид

m 2 d fQR, dt

или

d		fQR	.	(16.4)
dt
		m 2

Для решения задачи требуется проинтегрировать это уравнение при начальных условиях движения:

t 0,	(0) 0,					2π n0	20 (с	1	).	(16.5)
		(0) 0				60
Интегрируя (89), находим
			f QR	t C .						(16.6)
			m 2			1

Подставив (16.5) в (16.6), определяем постоянную интегрирования

C1 = 0. Следовательно, зависимость угловой скорости вращения вала от времени имеет вид

0	f Q R	t.	(16.7)
	m 2

Из (16.7) можно определить величину силы Q , если воспользоваться

условием, что в момент времени t = t1 вал останавливается и его угловая скорость = 0, т. е. получаем

0 0 mf QR2 t1.

Отсюда с учетом данных задачи находим:

Q	m	2
	0	45π 141,3 (Н).
	f Rt
	1

Для определения числа N1 полных оборотов вала с торможения до остановки запишем (16.7), представив d / dt

d 0 f QR t. dt m 2

Разделяя переменные в (16.8) и интегрируя, получим

0t 2fmQR2 t2 C2 .

момента его

:

(16.8)

По начальным условиям (16.5) находим C2 = 0. Окончательно определяем закон вращения вала

			0t	f QR	t2.	(16.9)
				2m 2
Из (16.9) следует, что вал вращается равнозамедленно с угловым
замедлением	fQR	.	За время t1	вал,	сделав	N1 полных оборотов,
	m 2

повернется на угол 1 = 2 N1. Подставив это условие в (16.9), получим

2 N1 0t1 2fmQR2 t1 .

Отсюда

N			1	t			f QR	t	2		50 (оборотов).
	1
					0 1		2m 2	1
			2

16.2. Динамика плоскопараллельного движения твердого тела

Решение задач динамики плоского движения твердого тела рекомендуется выполнять в такой последовательности:

1)изобразить все внешние силы, приложенные к твердому телу;

2)выбрать систему координат и тем самым определить направление

положительного отсчета угла поворота тела; 3) составить дифференциальные, уравнения плоского движения

твердого тела:

M&x	n	My&	n	I	&	n	r
	F ;		F ;				m (Fe );	(16.10)
C	kx	C	ky	C			C k
	k 1		k 1			k 1

(не следует забывать, что в третьем уравнении (16.10) момент инерции

твердого тела IС и сумма моментов всех внешних сил n mС Fke вычисляются

k 1

относительно оси проходящей через центр масс С твердого тела, перпендикулярно к неподвижной плоскости);

4) в случае решения прямой задачи искомые внешние силы и их моменты определяются из составленной в предыдущем пункте системы дифференциальных уравнений;

4)* в случае решения обратной задачи интегрированием системы дифференциальных уравнений движения определяют уравнения движения

твердого тела:
xC = f1 (t),	yC = f2 (t),	= f3 (t).
Если по условию задачи	известна	зависимость двух координат от

третьей (например, xC = f1( ), yC = f2( )) или некоторые координаты заданы, то, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений (16.10), можно

определить искомую координату (например ) и, кроме того, найти величины двух неизвестных внешних сил (или силы и момента).

Пример 16.2. Тонкий однородный круглый обруч приводится в качение без скольжения по горизонтальной плоскости с помощью

горизонтальной силы F , численно равной весу обруча F = P.Введя ось Ох в направлении движения обруча и пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С обруча, если движение начинается из состояния покоя (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Решение. Обруч совершает плоскопараллельное движение. Начало

координат системы Оху поместим в начальный момент времени	(рис.
16.2). Тогда начальные условия движения имеют вид t = 0,	xC (0) 0,

xC (0) 0. Угол поворота обруча отсчитываем в направлении его угловой скорости по часовой стрелке.

К обручу приложены внешние силы: сила тяжести Р, движущая сила F , нормальная реакция горизонтальной плоскости N и Fтр сила трения

обруча о горизонтальную плоскость, направленная в сторону противоположную движению обруча.

Составим дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела (16.10) для данного тела: (рис.16.2)

P	&x	F F ,
g	C	тр

где r радиус обруча.

При движении обруча yC

	P	&y N P,	I		& F r,	(16.11)
				C
	g	C			тр
= r = const, поэтому					yC 0 ,	и из второго

уравнения (16.10) имеем N = P. Так как масса тела распределена по ободу, то

IС mr2 Pg r2.

При качении обруча без скольжения точка касания К обруча с горизонтальной неподвижной плоскостью является мгновенным центром скоростей. Поэтому

VC xC r r		(16.12)

Дифференцируя (16.12) по времени, находим

x r,

C

или

xC .
		(16.13)
	r

Подставим (16.13) в третье уравнение системы (16.11) и выразим из него силу трения:

	I			xC	F r,
		C				тр
				r	xC		P
				IC
Fтр						g xC .			(16.14)
				r2
Тогда с учетом (16.14) запишем первое уравнение системы (16.11)
P				F		P		,
g	xC					g	xC
или		2P
									(16.15)
		g			xC F.

Так как по условию F = P, то дифференциальное уравнение движения центра масс С обруча (16.15) принимает вид:

		g	const,	(16.16)
xC		2

т. е. центр масс С движется вдоль оси Ох равноускоренно.

Проинтегрируем уравнение (16.16) при начальных условиях t 0, xC (0) 0, xC (0) 0 и получим искомый закон движения центра масс обруча

xC gt2 2,45t2 (м). 4

По теме «Динамика твердого тела» рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 37.21, 37.24, 37.25, 39.2, 39.4, 39.5, 39.19, 39.20.

17. ТЕМА 20. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Принцип Даламбера позволяет для движущейся механической системы составлять дифференциальные уравнения движения в форме уравнений равновесия и находить неизвестные величины. На практическом занятии с

помощью принципа Даламбера определяют реакции связей движущейся системы и ускорения её точек или твердых тел.

17.1. Решение задач с помощью принципа Даламбера

Решение задач с помощью принципа Даламбера рекомендуется выполнять в такой последовательности:

1)изобразить активные силы, приложенные к механической системе;

2)применив закон освобождаемости от связей, изобразить реакции

связей;

3)добавить к активным силам и реакциям связей силы инерции тел (материальных точек) системы;

4)выбрать систему координат;

5)составить уравнения «равновесия» для каждой из тел (материальных точек) системы;

6)решив составленную систему уравнений, определить искомые величины.

Пример 17.1. Строительная деталь массой m поднимают с ускорением а (рис. 17.1). Определить силы натяжения ветвей подъемных канатов.

Решить задачу при следующих данных:	m= 600 кг, а = 2 м/с2.
Решение. Изобразим все действующие на деталь внешние силы: силу
тяжести P m g , силы натяжения канатов T1	и	T2 , направленные вдоль
канатов.
Присоединим к этим силам силу инерции		Ф детали, (т. к. деталь

движется поступательно, то силы инерции точек тела приводятся к равнодействующей приложенной в центре масс С детали и направленной против ее ускорения а). Найдем модуль этой

силы y

Ф = ma = 1200 (H).

Согласно принципу Даламбера полученная сходящаяся система сил должна быть уравновешенной. Введем в точке сходимости О

декартовую систему координат Оху и запишем уравнения равновесия для плоской сходящейся системы сил:

n Fkх 0,k 1

n

Fkу 0;k 1

a

O x

Т2 Т1

30o 30o

C Ф

P

Рис. 17.1

или для рассматриваемой задачи

			y		XB
			B
Ф2	m	2	a n			a n	m1	Ф
			2			1		1
P			l1	1	1	l2	P1
2
			A	YA	XA	x
			Рис. 17.2

17.2).

T1 cos30 T2 cos30 0,

T1 sin30 T2 sin30 Ф P 0.

Отсюда находим искомые натяжения канатов

T	T		Ф P	14160 H .
1	2		sin 30

Пример 17.2. К середине вертикального вала АВ, вращающегося равномерно с угловой скоростью , приварен перпендикулярно к его оси невесомый стержень с точечными массами m1 и m2 на концах (рис.

Пренебрегая весом вала, определить опорные реакции подпятника А и

подшипника В, если = 2 с–1 = const, m1 = 6 кг, m2 = 4 кг, l1 = 0,4 м, l2 = 0,2 м, АВ = 0,8 м.

Решение. Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из невесомого вала АВ и двух точечных масс, соединенных невесомым стержнем. Применим принцип Даламбера.

Проведем вращающиеся вместе с валом АВ оси Аху так, чтобы

точечные массы находились в плоскости ху.

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести

P1 m1 g , P2 m2 g , составляющие	ХА , YA		реакции подпятника А и
реакцию ХB подшипника В (рис. 17.2).
Присоединим к этим силам силы инерции точечных масс Ф1 и Ф2 .
Поскольку вал вращается равномерно	( =	const, d 0), точечные
			dt
массы имеют только нормальные ускорения		a1n	и a2n направленные к оси

вращения АВ, тогда силы инерции Ф1 и Ф2 приложены к точечным массам и направлены от оси вращения. Вычислим модули этих сил:

Ф1 m1a1n m1 2l1 9,6 (H), Ф2 m2a2n m2 2l2 3,2 (H).

Поскольку активные силы и силы инерции лежат в плоскости ху, то реакции подпятника А и подшипника В тоже располагаются в той же плоскости, следовательно, ZA = ZB = 0 (поэтому на рис. 17.2 они не изображены).

По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Поэтому запишем три уравнения равновесия для рассматриваемой плоской произвольной системы сил:

n				0,
	F
		кх
к 1
n		Fку 0,
к 1
n					0;
	m		A	(F )
				к
к 1

X	A	X		B	Ф Ф			2	0,
						1
				P2 0,
YA P1
	X		AB Ф			AB	P l			P l		Ф		АВ	0.
		B
					1 2				1 1	2	2		2	2

Решив эту систему уравнений относительно искомых реакций, получим

X			1	Ф		Ф	AB m		l		m l	g		,
	B				2			2		2
						1	2				1 1
			AB
			YA P1 P2 m1 m2 g,

X A Ф2 Ф1 X B .

Подставив данные задачи, находим XB = 22,8 (Н), XA = 16,4 (Н),

YA = 98 (Н).

По теме «Принцип Даламбера» рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 41.1, 41.3, 41.10, 41.16, 41.19, 41.21, 42.2, 42.4, 42.7, 42.8.

18. ТЕМА 22. ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

18.1. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений позволяет:

1) определять положения равновесия голономной системы с идеальными, стационарными связями;

2) находить соотношение между активными силами при равновесии без нахождения реакций связей;

3)определять реакции связей целой составной конструкции, не разделяя ее на части.

Задачи на равновесие твердых тел и систем твердых тел с помощью принципа возможных перемещений рекомендуется решать в следующем порядке:

1)изобразить активные силы;

2)при наличии неидеальных связей добавить соответствующие реакции связей (например, силы трения);

3)для определения реакции целой составной конструкции мысленно заменить соответствующую связь такой, чтобы система получила одну степень свободы в направлении искомой реакции, и приложить эту реакцию.

4)сообщить точкам (телам) системы возможные перемещения rк

(к = 1, 2, …, rк );

5) составить уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемой задачи,

a	n r	r	(18.1)
A	Fк rк 0
	к 1
т. е. вычислить возможную работу всех приложенных сил			Fк	на
соответствующих возможных перемещениях rк точек их приложения,				и
приравнять эту работу нулю;

6)выразить все возможные перемещения точек (тел) системы через одно из них, приняв его за независимое;

7)вынести независимое возможное перемещение как общий множитель в уравнении (18.1) за скобки и приравнять выражение в скобках нулю;

8)определить искомую реакцию, решив полученное уравнение.

	а у			Пример	18.1.	Прямолинейный			однородный
				стержень АВ длины		2l	упирается	нижним		концом
			В	в вертикальную стену,			составляя	с	ней	угол
			С	(рис. 18.1). Стержень опирается также на гвоздь							O,
				параллельный	стене.	Гвоздь отстоит			от стены		на
			Р	расстоянии а. Определить угол в положении
		О	х
				равновесия стержня, считая поверхности стены и
	А			стержня гладкими.
				Решение.	Активной силой,			действующей			на

стержень, является сила тяжести Р, приложенная в Рис. 18.1 центре масс С стержня. Поскольку стержень при

искомом угле находится в равновесии и наложенные

на него связи являются идеальными, применим для решения задачи принцип виртуальных перемещений (18.1):

А	a	r	,
		Р rс Р ус 0
отсюда		yC = 0.	(18.2)

В выбранной системе координат хОу (рис. 18.1)

ус l cos аctg

Тогда проекцию возможного перемещения rC точки С на ось Оу находим по формуле

δус ус δ ,

и, подставив в (18.2), получим

	δус	l sin δ		a	δ	0.
				sin 2

Откуда

δ l sin sinа2 0.

Поскольку δ 0, следовательно,

	l sin	а		0	,	sin 0,
		sin2

или

l sin3 а 0.

Из этого выражения определим значение угла , соответствующего положению равновесия стержня

sin 3 аl .