Физика / Теоритическая механика в задачах и примерах

через центр масс. Каток A и блок B – однородные круглые диски с одинаковыми массами и радиусами. Наклонная плоскость образует с

горизонтом угол . Определить ускорение центра масс катка A. Массой нити пренебречь.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (S = 1) и ее положение определяется одной обобщенной

координатой q1. Принимаем q1 = x – перемещение центра масс катка A,

отсчитываемое в сторону движения катка (рис. 19.1); x – обобщенная скорость. Тогда уравнение Лагранжа (19.1) будет иметь вид

d		T		T	Q .
						(19.2)
				x	1
dt x

Здесь Q1 – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате x.

Рис. 19.1

Для составления уравнения (19.2) вычислим кинетическую энергию T системы как функцию х и x

T = TA + TB + TC,

(19.3)

где TA, TB, TC – кинетические энергии соответственно катка A, блока B и груза C. Так как каток A совершает плоскопараллельное движение, блок B

вращается вокруг оси O, а груз C движется поступательно, то

T A 12 m1V A2 12 J A 2A ,

T		1 J		2	,	(19.4)
B		2	O	B

TC 12 m 2VC2 ,

где

		m R2
	J A JO	1	.	(19.5)
		2

Выразим входящие в (19.4) скорости через обобщенную скорость x :

						VA			x
	VA x,				A					,
							R		R
										(19.6)
		VA		x
	B				, VC	VA x.
		R		R

С учетом (19.4) – (19.6) получим окончательное выражение для кинетической энергии системы (19.3):

T	1	2	.	(19.7)
	2	2m1 m2 x

Вычислим все производные от кинетической энергии (19.7), входящие в уравнение Лагранжа (19.2):

T		T	0,
2m1	m2 x,	x
x

d T 2m1 m2 x. dt x

Найдем обобщенную силу Q1 по формуле:

Qm Am .

qm

(19.8)

(19.9)

Для этого изобразим все активные силы, действующие на систему:

силы тяжести P1 для катка A и блока B и P2 для груза C.

Сообщим обобщенной координате x в данный момент времени приращение x > 0, и вычислим возможную работу A1 всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения (рис. 19.1)

A1 = P1sin x – P2 SС = g(m1sin – m2) x,

так как SС = x. Согласно (19.4) находим Q1
Q	δA1	g m sin m		.	(19.10)
	δx
1		1	2

С учетом (19.8) и (19.10) запишем уравнение Лагранжа (19.2) для рассматриваемой системы:

				2m1 m2 x g m1 sin m2 .
	Отсюда находим искомое ускорение центра масс катка А
				g m1 sin m2
				aA x					.
							2m1 m2
							Пример		19.2.	Составить
							дифференциальные уравнения движения
							эллиптического маятника (рис. 19.2),
							состоящего из ползуна 1 массой m1,
							скользящего по гладкой горизонтальной
							плоскости и груза 2 массой m2,
							соединенного с ползуном стержнем AB
							длиной l.
							Стержень может вращаться вокруг
							оси A, связанной с ползуном и
		Рис. 19.2					перпендикулярной			направлению
							движения ползуна. Массой стержня AB
							пренебречь.
	Решение. Рассматриваемая система имеет								две степени	свободы. В

качестве обобщенных координат выберем координату x, характеризующую положение ползуна 1 на горизонтальной плоскости и угол , образуемый стержнем AB с вертикалью: q1 = x, q2 = . Тогда искомые уравнения Лагранжа второго рода (19.1) для рассматриваемой задачи имеют вид:

d

dt d

dt

T Tx& x

T T&

Q1 ,

(19.11)

Q 2 .

В неподвижной системе координат Oxy (рис. 19.2) координатами центра масс ползуна 1 и груза 2 будут

x1 x,	y1 0,
	(19.12)
x2 x l sin ,	y2 l cos .

Определим кинетическую энергию T системы обобщенных координат x, и обобщенных скоростей x , :

1	2	1	2	1	2	2		1	2
T 2 m1V A 2 m2VB
				2 m x1		y1		2 m x2

12 m1x2 12 m2 l2 sin2 2 x l cos 2

12 m1 m2 x2 12 m2l2 2 m2l cos x .

как функцию

y22

Вычислим частные производные, входящие в уравнения (19.11):

T m1 m2 x m2l cos ;x

T 0;

x

(19.13)

T m2l 2 m2l cos x;

T m2l sin x.

Найдем обобщенные силы Q1 и Q2. Для этого на рис. 19.2 изобразим

активные силы (силы тяжести P1 и P2 ) и вычислим возможную работу этих сил на возможных перемещениях точек их приложения:

r r

δA P1 δrA P2 δrB P1δy1 P2δy2 .

Из (19.12) находим:

δy1 0,

δy2 y2 δ l sin δ .

Тогда A = –P2lsin . Следовательно,

Q1 = 0, Q2 = –P2l sin = –m2gl sin .

(19.14)

С учетом (19.13) и (19.14) уравнения Лагранжа (19.11) принимают вид:

dtd m1 m2 x m2l cos 0;

ddt m2l 2 m2l cos x m2l sin x m2 gl sin ,

и находим дифференциальные уравнения движения эллиптического маятника

m1 m2 x& m2l &cos C1,

l& cos &x g sin 0,

где C1 – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям его движения.

По теме «Уравнения Лагранжа второго рода» рекомендуем решить следующие задачи из сборника[1]: 48.6, 48.7, 48.28, 48.29.

20. ТЕМА 24. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

На практическом занятии решаются задачи по составлению и интегрированию дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы.

20.1.Малые колебания системы с одной степенью свободы

I. Задачи на исследование малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия рекомендуется решать в следующем порядке:

1) выбрать обобщенную координату q, считая, что в положении устойчивого равновесия системы q = 0 ;

2)определить кинетическую энергию системы как функцию обобщенной координаты q и обобщенной скорости q&;

3)вычислить потенциальную энергию П системы при малом отклонении системы от равновесного положения;

4)определить обобщенную потенциальную силу и, приравняв ее нулю, найти величину статической деформации пружины (системы пружин) в положении равновесия;

5) вычислить производные от кинетической и потенциальной энергий, входящие в уравнение Лагранжа второго рода, и составить это уравнение:

d		T		T		П
				q		q	;	(20.1)
dt		q&

6)проинтегрировав уравнение (20.1) и определив постоянные интегрирования по начальным условиям движения, найти уравнение движение механической системы;

7)определить частоту, период свободных колебаний и другие искомые величины.

II. Задачи на исследование малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы с учетом сил вязкого сопротивления движению рекомендуется решать в следующем порядке:

1)выполнить перечисленные выше пункты 1) – 4);

2)определить обобщенную силу вязкого сопротивления по формуле:

QR AR ,

q

где AR	– возможная работа силы вязкого сопротивления;
3)	вычислить производные от кинетической и потенциальной энергий,
входящие в уравнение Лагранжа второго рода, и составить это уравнение
		d	( T )	T	П QR ;	(20.2)
		dt		q
			q&		q

4)проинтегрировав уравнение (20.2) и определив постоянные интегрирования по начальным условиям движения, найти уравнение движение механической системы;

5)определить частоту, период затухающих колебаний и другие искомые величины.

Пример 20.1. Механическая система состоит из коромысла 1, катка 2, неподвижного блока 3 и груза 4. Тела системы связаны друг с другом невесомым стержнем 5, нерастяжимыми нитями, коромысло 1 – с основанием горизонтальной пружиной жесткости с.

Провести исследование малых свободных колебаний системы изображенной на рис. 20.1 в положении устойчивого равновесия:

1)составить уравнение малых свободных колебаний;

2)определить частоту и период свободных колебаний;

3)составить уравнения колебаний с учетом демпфирования, взяв численное значение коэффициента сопротивления h в уравнении (20.2) в 5 раз меньше значения круговой частоты свободных колебаний системы;

4)по результатам пункта 3 построить графики изменения обобщенных координаты, скорости и ускорения на 5 циклах колебания;

5)для заданных начальных условий построить график фазовой траектории на интервале времени равном пяти периодам колебаний;

6)найти выражение для силы вязкого трения и значение логарифмического декремента колебаний.

При решении задачи коромысло 1 считать тонким однородным

стержнем массой m1 длиной l, каток 2 –сплошным однородным диском массой m2, блок 3 – диском массой m3, равномерно распределенной по его ободу, груз 4 – массой m4; массой пружины, демпфирующего устройства, нитей и стержня 5 пренебречь.

Решить задачу при следующих данных:

m1 = 3 кг; m2 = m1; m3	= m1/3; m4	= 4 m1 ; l = 1,2 м; с = 3000 Н/м;
		3

0 = 0,05 рад.;	&0 = 0,25 рад/с.
	Рис. 20.1

Решение. Так как рассматриваемая механическая система (рис. 20.1) имеет одну степень свободы, то за обобщенную координату примем угол поворота коромысла 1 и запишем уравнение Лагранжа второго рода (20.2):

	d		T		T		П	Q	R
										.	(20.3)
	dt		&
Здесь & обобщенная скорость, соответствующая											угловой скорости 1
коромысла 1.
Для определения конкретного						вида		этого			уравнения, выразим

кинетическую энергию Т системы как функцию обобщенной координаты и обобщенной скорости &.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий, входящих в нее тел:

T T1 T2 T3 T4 ,

где T1, T2, T3, T4 кинетические энергии тел 1, 2, 3, 4 соответственно. Кинетическая энергия коромысла 1, вращающегося вокруг оси О1 равна

T 12 I1 12 0,47m1l2 2 ,

где I1 m1l2 /3 момент инерции коромысла O1D относительно оси О1.

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоскопараллельное движение

T2 12 m2VB2 12 I2 22 .

Здесь скорость VB центра масс В катка 2 приблизительно равна скорости VA точки А коромысла 1, поскольку в задаче рассматриваются

малые	колебания механической		системы			VB VA 2l 1 /3 2l &/3;
I2 m2r22	/2 момент инерции катка 2 относительно оси, проходящей через
его центр масс В, а угловая скорость			VB		2l	&
		2	r2		3r2	.

Тогда

T2 0,33m1l2 &2 .

Кинетическая энергия вращающегося блока 3

T3 12 I3 32 .

Так как масса блока 3 распределена по ободу, то его момент инерции относительно оси вращения равен I3 m3r32, а угловая скорость

3 VB / r3 2l 1 /3r3 2l &/3r3 .

Подставив эту кинематическую зависимость, получим:

T3 0,07m1l2 &2 .

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,

T4 12 m4V42 ,

где скорость V4 груза 4 равна скорости точки В: V4 VB 2l &/3. Тогда

T4 0,3 m1l2 &2 .

Суммируя кинетические тел, найдем кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости &:

T 0,87m1l2 &2 .

Вычислим потенциальную энергию П системы при повороте коромысла 1 на малый угол , считая, что в положении равновесия при = 0,

П = 0.

Потенциальная энергия системы равна сумме потенциальной энергии пружины Ппр и потенциальных энергий П1 и П4 тел 1 и 4 в однородном поле сил тяжести, для которых положения центров масс испытывают вертикальные перемещения при повороте коромысла 1 на малый угол :

П = Ппр + П1 + П4.

Потенциальная энергия пружины

Ппр 12 с( ст D )2 12 с ст2 ,

где ст статическая деформация пружины,

крепления пружины при повороте тела преобразования

D = l перемещение точки D 1 на малый угол . После

						Ппр с стl		1 сl2 2 .
								2
	Потенциальная энергия тела 1 равна
							П1 = m1g h1,
где	h1		l	(1 cos ) l sin2		l	2 вертикальное смещение центра масс C1
					2
		2					4

коромысла 1; или

П1 0,25m1gl 2 .

Потенциальная энергия груза 4

П4 = m4g h4,

где вертикальное перемещение h4 груза 4 в силу малых колебаний системы равно: h4 O1A 2l /3. С учетом данных задачи имеем

П4 0,89m4gl .

Тогда получим выражение для потенциальной энергии системы

Пс стl 12 cl2 2 0,25m1gl 2 0,89m4gl .

Вположении устойчивого равновесия механической системы при = 0 потенциальная энергия системы принимает минимальное значение, т. е.

выполняется условие		П		0, которое для данного примера принимает
вид				0
				с стl 0,89m4gl 0.

Отсюда, вычислив величину статической деформации пружины

ст 0,89m4g , находим выражение для потенциальной энергии системы как c

функции обобщенной координаты

П 12 (cl2 m12gl ) 2 .

Предположим, что вязкое трение в системе отсутствует. Тогда в уравнении Лагранжа второго рода (20.3) QR 0 .

Вычислив производные от кинетической и потенциальной энергий, входящие в уравнение (20.3), и подставив их в него, получим:

1,74m1l2& (cl 0,25m1g)l 0.

Это выражение аналогично уравнению прямолинейных свободных колебаний груза. Коэффициент, стоящий при &, соответствует обобщенной

массе системы а, коэффициент при обобщенной жесткости с.