- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Числовые последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n, .
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом an, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:
a1, a2, a3, , an–1, an, ,
кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью. Величина an называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой an = f(n) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.
По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.
Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N R.
Последовательность называетсявозрастающей (убывающей), если для любого n N Такие последовательности называютсястрого монотонными.
Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2, (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n.
Если в некоторой последовательности для любого n N то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными.
Пример 1. Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член an = n.
Пример 2. Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член an = 2n.
Пример 3. 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.
Пример 4. Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену . Для вычисленияa1 нужно в формулу для общего члена an вместо n подставить 1, для вычисления a2 − 2 и т. д. Тогда имеем:
Тест 6. Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120, является:
1)
2)
3)
4)
Тест 7. Общим членом последовательности является:
1)
2)
3)
4)
Тест 8. Общим членом последовательности является:
1)
2)
3)
4)
Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.
Число А называется пределом числовой последовательности:
(1)
если для любого > 0 найдется такое число n0 = n0(), зависящее от , что приn > n0.
Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число n0, что, начиная с n > n0, все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.
Пример 5. Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n0 >имеем
Пример 6. Последовательность 2, 5, 2, 5, является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М, что для всехn. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Пример 7. Последовательность является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел=е.
Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.
Тест 9. Последовательность 1, 4, 9, 16, является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) арифметической прогрессией;
5) геометрической прогрессией.
Тест 10. Последовательность является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) арифметической прогрессией;
5) геометрической прогрессией.
Тест 11. Последовательность не является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) гармонической.
Тест 12. Предел последовательности, заданной общим членом равен:
1) 1;
2) 0;
3) e;
4) .