- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке 48, вычисляется по формуле
= (2)
Рисунок 48
Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 3, x = 0.
Решение
Изобразим данную плоскую фигуру (рисунок 49).
Рисунок 49
По формуле (2) имеем
|=
Тест 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
1) 1;
2) 2;
3) 1,5;
4) 0,5;
5) 2,5.
Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции (рисунок 50), вычисляется по формуле
(3)
Рисунок 50
Пример 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 0, x = 3 вокруг оси Ox.
Решение
Вычертим данную фигуру (рисунок 51).
Рисунок 51
По формуле (3) будем иметь
|=
Тест 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x3, y = 0, x = 1 вокруг оси Ox:
1)
2)
3)
4)
5)
Применение определенного интеграла в экономике
Эти применения носят различный характер. Например, если известна функция затрат f(t) предприятия на содержание управленческого аппарата в зависимости от времени за период, то средние затраты за период времени [a; b] могут быть определены по формуле
(4)
Пример 4. Найти средние затраты Р предприятия на содержание управленческого аппарата за период если эти затраты зависят от времениt по закону
Решение
По формуле (4) имеем
|== 14.
Тест 4. Найти средние затраты Р предприятия на содержание управленческого аппарата за период времени если затраты зависят от времениt по закону f(t) = 4 + 2t:
1) 7;
2) 6;
3) 9;
4) 8;
5) 10.
Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Длина l дуги кривой y = f(x), a x b вычисляется по формуле
(5)
Пример 5. Найти длину дуги кривой при
Решение
Находим производную и подставляем ее значение в формулу (5)
|= =
Тест 5. Найти длину дуги кривой при
1)
2)
3)
4)
5)
1 – эпсилон
2 – дельта
1Огюстен Луи Коши (1789–1857) – французский математик