Теорема Ролля
Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [a; b];
2) дифференцируема на интервале (a; b);
3) на концах интервала
принимает равные значения, т. е. f(a)
= f(b).
Тогда
внутри отрезка существует по крайней
мере одна точка c
Î
(а;
b),
в которой производная равна нулю:
Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).
Рисунок 30
Пример 3. Проверить, удовлетворяет ли функция y = x – x3 условиям теоремы Ролля на отрезке [0; 1].
Решение
Функция удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [0; 1];
2) дифференцируема
на интервале (0; 1):
3) на концах отрезка принимает равные значения: f(0) = f(1) = 0.
Тогда внутри
отрезка [0; 1] должна существовать по
крайней мере одна точка c
Î
(0; 1), в которой производная равна нулю:
Действительно,
такая точка существует:
при
Таким образом, внутри отрезка [0; 1]
существует точка
где производная равна нулю:
Следовательно, функция y = x – x3 на отрезке [0; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Тест 4. Теорема Ролля применима, если функция y = f(x):
1) непрерывна на отрезке [a; b];
2) дифференцируема на интервале (a; b);
3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b);
4) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b);
5) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах интервала принимает равные значения: f(a) = f(b).
Тест 5. У графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции:
1) параллельна оси Ox;
2) параллельна оси Oу;
3) образует с осью
Ox
угол ,
тангенс которого:
4) образует с осью
Oу
угол ,
тангенс которого:
5) не существует.
Тест 6. Условиям теоремы Ролля на отрезке [0; 1] удовлетворяет функция:
1) y = x;
2) y = x2;
3)
4) y = ln x;
5) y = x – x3.
Теорема Лагранжа
Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [a; b];
2) дифференцируема на интервале (a; b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c [a; b], в которой выполняется равенство
.
(1)
Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f(x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).
Рисунок 31
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
Пример 4.
Проверить, может ли быть применима
теорема Лагранжа для функции
на отрезке
Решение
Функция не определена
при
следовательно, не является непрерывной
на данном отрезке, т. е. первое условие
теоремы не выполняется и на данном
отрезке теорема Лагранжа не применима.
Пример 5.
Проверить,
может ли быть применима теорема Лагранжа
для функции
на отрезке
Решение
1.
Функция
непрерывна на отрезке
2. Проверяем выполнение второго условия теоремы: найдем производную функции
Производная не существует при х = 0 и при х = 1.
В частности,
производная не существует в точке
Таким образом, второе условие теоремы не выполняется и на данном отрезке теорема Лагранжа не применима.
Пример 6.
Проверить,
может ли быть применима теорема Лагранжа
для функции
на отрезке
Решение
Функция удовлетворяет следующим условиям:
1)
непрерывна
на отрезке
2) дифференцируема
на интервале
Таким образом, оба условия теоремы выполняются и на данном отрезке теорема Лагранжа применима.
Тест 7. Теорема Лагранжа применима, если функция y = f(x):
1) непрерывна на отрезке [a; b];
2) дифференцируема на интервале (a; b);
3) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b);
4) на концах интервала принимает равные значения: f(a) = f(b);
5) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах интервала принимает равные значения: f(a) = f(b).