- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Производная обратной функции
Пусть y = f(x) – непрерывная и возрастающая на [a; b]. Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию
Теорема. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке [a; b] имеет производную то обратная функцияx = (y) имеет производную в точке y0 = f(x0) которую можно найти по формуле т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Пример 6. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции.
Решение
Находим обратную функцию. Так как тоy3 = x – 1. Значит, . Обратная функцияимеет производнуюСледовательно,
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 7. Найти производную функции
Решение
Логарифмируя данное равенство по основанию e, получаем Дифференцируя полученное равенство, находим
, откуда
Подставляем и получаем
Дифференцирование неявных функций
Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) = 0, неразрешенного относительно y. Например, y + 2x + cos y – 1 = 0 или
Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и затем полученное уравнение разрешить относительно
Пример 8. Найти производную функции y, заданную уравнением
Решение
Функция у задана неявно. Дифференцируем по x равенство x3 + y3 – – 3xy = 0
Из последнего соотношения следует, что .
Производная высших порядков
Производная функцииy = f(x) есть также функция x и называется производной первого порядка.
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Пример 9. Найти вторую производную функции
Решение
Находим первую производную функции
Дифференцируем еще раз
Тест 5. Производная третьего порядка функции равна:
1) 16x;
2) (16х)3;
3)
4)
5) 0.
Применение производной в экономике
В экономике широко применяется понятие эластичности функции. Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называется величина
Эластичность функции характеризует процент прироста зависимой переменной, соответствующий приращению независимой переменной на 1%.
Пример 10. Найти эластичность функции
Решение
Применяя формулу находим
В частности, если, например, x = 2, то Это значит, что если переменнаяx возрастает на 1%, то переменная y увеличивается на 2,4%.