Свойства сходящихся последовательностей
Для нахождения пределов можно воспользоваться их некоторыми свойствами.
Если
c
= const,
то:
=
+
= A
+ B;
(2)
=
–
= A
– B;
(3)
(4)
(5)
если
все
иВ
≠ 0. (6)
Пример 8. Найти предел последовательности, общий член которой
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Перейдя к пределу по формулам 2–6, получим:
Здесь принято во
внимание, что
(c
= const)
и предел постоянной равен самой
постоянной.
Пример 9. Найти предел последовательности, общий член которой
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Перейдя к пределу по формулам 2–6, получим:
Тест 13. Пределом
последовательности с общим членом
является:
1) 1;
2) 0;
3) ;
4)
5) нет правильного ответа.
Тест 14. Пределом
последовательности с общим членом
является:
1) 1;
2) 0;
3) 3;
4)
5) нет правильного ответа.
Тест 15. Пределом
последовательности с общим членом
является:
1) 6;
2) 0;
3) ;
4) 2;
5) нет правильного ответа.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Последовательность
называетсябесконечно
большой,
если для любого числа
существует такой номер n0
= n0(),
зависящий от ,
что для всех n
> n0
выполняется неравенство
В этом случае пишут
и говорят, что последовательность
имеет пределом +().
Бесконечно большие последовательности
не имеют предела в том смысле, как он
был определен выражением (1), обозначающим
конечный предел. Термин «сходящаяся
последовательность» употребляется
только для последовательностей, имеющих
конечный предел.
Бесконечно малой
последовательностью называется
последовательность, имеющая своим
пределом ноль, т. е. для которой выполняется
равенство
Если последовательность
в которой всеan
≠ 0, является бесконечно малой, то
последовательность
является бесконечнобольшой.
Для бесконечно большой последовательности
,
гдеan
≠ 0,
последовательность
является бесконечно малой.
Пример 10.
Примером бесконечно малой последовательности
может служить гармоническая
последовательность
Пример 11. Последовательность 1, 4, 9, …, n2, … является бесконечно большой, так как для числа Р = 105 в качестве номера n0 можно взять число 103.
Тест 16. Последовательность,
заданная общим членом
1) бесконечно малая;
2) бесконечно большая;
3) не имеет предела;
4) монотонно возрастает.
Тест
17.
Последовательность, заданная общим
членом
1) бесконечно малая;
2) бесконечно большая;
3) имеет конечный предел;
4) монотонно убывает.
Тест 18. Указать, какая из предложенных последовательностей является бесконечно большой:
1)
2)
3)
4)
Тест 19. Последовательность 0, 1, 0, 1, :
1) имеет конечный предел;
2) не имеет предела;
3) имеет бесконечный предел;
4) является монотонной.
Тест 20.
Последовательность
1) является бесконечно большой;
2) является бесконечно малой;
3) монотонно возрастает;
4) не имеет предела.
Тест 21.
Последовательность
1) имеет конечный предел;
2) не имеет предела;
3) имеет бесконечный предел;
4) является монотонно убывающей;
5) иной ответ.