- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Частные производные и дифференциал функции
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).
Для функции имеем:
(частная производная по переменной х);
(частная производная по переменной y).
Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменнуюy, а для нахождения – переменнуюx.
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.
Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответ- ствующих независимых переменных, т. е.
Для независимых переменных x и y любые приращения x и y будем считать их дифференциалами, т. е. и
Тогда полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по следующей формуле:
а для функции трех переменных u = f(x; y; x):
Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, т. е.
Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.
Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема. Для того чтобы функция z = f(x; y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.
Пример 11. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции
Решение
Считая постоянным, найдем производную поx
Считая постоянным и дифференцируя поy, находим
Полный дифференциал:
Пример 12. Вычислить 1,073,97.
Решение
Число есть частное значение функцииf(x; y) = xy при x = 1,07, y = 3,97. Известно, что f(1; 4) = 1. Поэтому принимаем x0 = 1, y0 = 4. Тогда y = y – y0 = 3,97 – 4 = –0,03.
Так как то
Тест 7. Частная производная функцииравна:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 8. Полный дифференциал функцииz = x2 – 4y равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка
Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Запись означает, что функцияz k раз продифференцирована по переменной x и раз по переменнойy.
Частные производные иназываютсясмешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.
Полный дифференциал второго порядка d 2z функции z = f(x; y) выражается формулой
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии
Пример 13. Найти частные производные второго порядка функции
Решение
Вначале найдем частные производные первого порядка
Продифференцировав их еще раз, получим
Сравнивая последние два выражения, видим, что
Пример 14.Найти полный дифференциал второго порядка функции
Решение
Находим частные производные второго порядка
Следовательно,
Тест 9. Частная производная второго порядка функции равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 10. Частная производная второго порядка функцииz = 7x2y – 4y2 равна:
1) 0;
2) 14xy;
3) 14x;
4) 7x2y;
5) –8y.