2.8. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Таблица неопределенных интегралов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

2.9. Определенный интеграл

Определенный интеграл. Условия интегрируемости функций. Фор- мула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Применение определенного интеграла в экономике. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.

2.10. Кратные интегралы

Определение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл. Приложение кратных интегралов.

2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Составление дифференциального уравнения первого порядка. Модели экономической динамики.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.12. Ряды

Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область и интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье.

Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат

Одна из главных особенностей метода аналитической геометрии заключается в употреблении чисел для определения положения геометрических образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются их координатами.

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называют совокупность трех условий:

1) две взаимно перпендикулярные прямые: ось x, или ось абсцисс, и ось y, или ось ординат;

2) начало координат – точка пересечения осей; положительное направление на каждой из осей;

3) единица масштаба на обеих осях одна и та же.

Положение точки М относительно выбранной системы координат определяется двумя координатами: абсциссой x, которая равна расстоянию от точки М до оси ординат, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, находится ли точка М вправо или влево от нее; ординатой y, которая определяется как расстояние от точки М до оси абсцисс, взятому со знаком «плюс» или «минус», смотря по тому, находится ли точка сверху или снизу от оси абсцисс (рисунок 1).

M

1

0 1

Рисунок 1

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует упорядоченный набор двух действительных чисел и наоборот.

Обозначение: М(x; y).

Оси координат делят всю плоскость на четыре квадранта (рисунок 2).

III

IV

Рисунок 2

Пример 1. Точки имеют следующие координаты: А(0; 2), B(3; 0), C(2; 1), Д(–3; –1), O(0; 0).

Расстояние между двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В) вычисляется по формуле

=

Пример 2. Длина отрезка АВ, где А(2; –1), B(3; 5), равна

= ==

Пусть точка С лежит на отрезке АВ и делит его в отношении λ = . ЕслиА(х_А; у_А), В(х_В; у_В), то координаты точки С(х_С; у_С) определяются следующими формулами:

В частности, координаты середины отрезка АВ (т. е. при λ = 1) находятся по формулам

Пример 3. Отрезок АВ, где А(7; –2), B(–1; 3), разделен на три равные части. Найти координаты точек деления (рисунок 3).

A C D B

Рисунок 3

Решение

Точка С делит отрезок АВ в отношении ==поэтому

=

Таким образом, С

Точка D делит отрезок АВ в отношении === 2. Тогда

Таким образом, D

Тест 1. Координаты середины отрезка АВ, где А(0; 4), B(–3; –2):

1)

2)

3) (–3; 2);

4) (4; –5).

Тест 2. Длина отрезка АВ, где А(0; 4), B(–3; –2):

1)

2) 3;

3)

4) 4.