Тема 5. Определение основной тенденции

ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА

Исходные данные:

• изучаемые моменты или периоды времени ti;

• изучаемые уровни (показатели) Уi.

Определить:

• коэффициенты выбранного типа зависимости изучаемого показателя от времени - а0 а1;

• теоретические уровни изучаемого показателя - Уti ;

• - оценить адекватность выбранного типа зависимости на основе использования стандартизированной ошибкой апроксимации _Yt.

Методические указания

Необходимо найти плавную линию вокруг которой происходят колебания вверх и вниз фактических значений изучаемого показателя, т.е. произвести выравнивание РД.

Эта линия выражается в виде функции Уt=f(t). Цель состоит в том, чтобы определить вид этой функции (теоретический уровень) и ее коэффициенты.

1 этап. Подбор типа функции.

Для определенного вида кривых выделено несколько классов уравнений, т.е. существуют эталонные типы развития:

а) прямая: Уt=а0 + а1*t;

б) парабола 2 порядка: Уt = а0 + а1*t + a2*t ²

в) парабола 3 порядка: Уt= a0 + a1*t + a2*t² + a3*t³

г) показательная функция: Уt = а0*а1^t

е) cтепенная функция: Уt = а0*t ^a1

Могут быть использованы и другие типы зависимостей.

2 этап. Определение параметров уравнения.

Выбрав вид функции, необходимо определить ее параметры при помощи метода наименьших квадратов.

Методом наименьших квадратов для уравнения прямой получаем следующие уравнения:

ⁿ_i=1 Y_i*ⁿ_i=1t_i² - ⁿ_i=1 t_i*Y_i*ⁿ_i=1t_i

a₀= —————————————————,

n*ⁿ_i=1t_i² – (ⁿ_i=1t_i)²

nⁿ_i=1t_i*Y_i - ⁿ_i=1t_i*ⁿ_i=1Y_i

a₁= —————————————— ,

n*ⁿ_i=1t_i² – (ⁿ_i=1 t_i)²

где n - количество единиц совокупности,

ti- порядковый номер момента или периода времени.

Расчеты можно упростить, если время считать от условного начала, т.е. в середине исходного ряда:

а) При нечетном числе членов ряда порядковый номер уровня (n+1)/2 принять за 0. От него влево (вверх) пронумеровать уровни по порядку со знаком " - ", после него (справа или вниз) - со знаком "+".

Пример.

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7
1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
-3	-2	-1	0	+1	+2	+3

Такое условное масштабирование времени наблюдения уровней позволяет упростить выражение, т.к. ⁿ_i=1t_i = 0 и поэтому получаем:

b) При четном числе уровней нулевое значение условного времени выбирается между двумя центральными значениями.

Пример.

t1	t2	t3	t4	t5	t6
1995	1996	1997	1998	1999	2000
-5	-3	-1	+1	+3	+5

Обратить внимание на то, что интервалы между наблюдениями должны быть равными при масштабировании времен наблюдения.

Этап 3. Расчет значений показателя по теоретической кривой.

В полученное уравнение кривой подставляются исходные значения ti. Таким образом, для одних и тех же временных показателей существуют два значения изучаемого показателя:

• фактическое (задано) – Уi,

• теоретическое (рассчитанное) - Уti.

Пример: t=1 Уt1 = 0,3 + 0,5* 1 = 0,8.

Этап 4. Оценка адекватности модели.

Рассчитывается показатель среднего линейного отклонения теоретического ряда от фактического

Рассчитывается среднее квадратическое отклонение теоретического ряда от фактического

_Yt называется стандартизированной ошибкой апроксимации .

Если апроксимировать фактический ряд по нескольким разным типам кривых, то наиболее адекватна та модель, где ошибка апроксимации меньше. В этом случае расчеты рекомендуется проводить с использованием встроенных функций табличных процессоров, например, Excel.

Кроме табличных процессоров существуют пакеты прикладных программ по статистике, которые позволяют быстро выбрать адекватную модель. Такими пакетами являются STADIA, STATGRAPHICS, SPSS, Statistika, CSS и др.