3.Дисперсия (д или 2) и среднее квадратическое отклонение 

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии

Эти величины служат для обоснования применения средней величины. Физический смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения заключается в следующем. Они отражают отклонения индивидуального признака (Xi) от средней величины (Xср).

Если Мо<Me<Xср, то имеется правосторонняя ассиметрия, если Мо>Me>Xср, то имеется левосторонняя ассиметрия.

В случае ассиметрии структурные средние недостаточно адекватно отражают совокупность. Обычно в таком случае квадратическое отклонение () достаточно велико.

Если Мо, Ме и Хср близки друг к другу, то распределение имеет нормальный вид, Хср типична для данной совокупности и к данному статистическому распределению можно применять специальные статистические методы, например, корреляционно-регрессионный анализ.

• Дисперсия.

Дисперсия представляет собой среднее из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Если среднее арифметическое есть не что иное, как математическое ожидание наблюдаемого признака, то дисперсия характеризует наблюдаемые признаки с точки зрения отклонения их от среднего значения.

Дисперсия рассчитывается по несгруппированным данным по формуле:

Дисперсия по сгруппированным данным:

• Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень из дисперсии.

Среднее квадратическое и среднее линейное отклонения есть именованные величины.

Среднее квадратическое - это степень надежности средней величины. Чем меньше среднее квадратическое, тем лучше соответствует средняя величина.

4. В целях сопоставления уровня вариаций по разным признакам применяются относительные показатели вариации, характеризующие уровень колеблемости признака в изучаемой статистической совокупности:

• Коэффициент вариации

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариант совокупности. Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. Для социально-экономических явлений совокупность является однородной при коэффициенте вариации до 32 ‑ 33 процентов (для распределений, близких к нормальному).

• Коэффициент осцилляции.

Коэффициент осцилляции представляет собой отношение размаха вариации к средней арифметической:

• Относительное линейное отклонение.

Относительное линейное отклонение есть отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической:

При расчетах среднего квадратического отклонения и дисперсии промежуточные расчеты лучше выполнять в виде таблицы:

Хi	fi	Si	Хi*fi	(Xi-Xср)^2*fi
…	…	…	…	…
(fi)			(Хi*fi)	((Xi-Xср)^2*fi)

Изучение особенностей поведения признака в исследуемой статистической совокупности непосредственно связано с изучением и учетом формы и вида распределения, к которому можно отнести случайную величину, характеризующую количественные характеристики признака. Наиболее распространенными характеристиками формы распределения являются асимметрия и эксцесс. Асимметричные ряды распределений показаны на рис. 1.

Коэффициент асимметрии отрицателен для скошенных влево распределений, равен нулю для симметричных и положителен для скошенных вправо распределений.

Распределения величин, ограниченных слева, как правило, скошены вправо (таков, например, годовой доход).

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель асимметрии As.

Величина показателя асимметрии A_s может быть положительной и отрицательной. Положительная величина асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:

Отрицательный знак асимметрии указывает на наличие левосторонней асимметрии. При левосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:

Чтобы данные привести к симметричному виду, их подвергают подходящему преобразованию, например, данные с положительной асимметрией часто логарифмируют.

Распределения величин, ограниченных слева, как правило, скошены вправо (таков, например, годовой доход). Для выявления асимметрии полезно использовать гистограммы, диаграммы и графики на нормальной вероятностной бумаге.

Рис. 1 Асимметричные ряды распределений:

1) с правосторонней асимметрией,

2) с левосторонней асимметрией.

Применение этого показателя дает возможность не только определить степень асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений и рассчитывается по формуле:

Если отношение асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если отношениеасимметрия несущественна, ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Линдбергом предложен следующий показатель для оценки эксцесса:

Ех = П- 38,29,

где П - доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту и другую сторону от средней арифметической.

Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка. Для нормального распределения характерным является следующее соотношение между центральным моментом второго и четвертого порядка:

Поэтому в качестве показателя эксцесса Ех принимается показатель:

На рисунке 2 представлены два распределения: островершинное и плосковершинное. Эксцесс качественно представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении отношение

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести изучаемое распределение к нормальному типу. Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения

то она подчиняется закону нормального распределения. Для построения кривой нормального распределения надо знать два параметра: среднее значение признака и среднеквадратическое отклонение. Если средняя арифметическая не меняется (Хср = const), но растет величина среднего квадратического отклонения, распределение имеет более плосковершинный xapaктep (Рис. 3).

Рис. 3. Ряды распределения с различными СКО (σ1 < σ2 < σ1)

Кривые нормального распределения с одинаковыми s, но разными Хср. (Хср1<Хср2<Хср3)

На рисунке приведено «семейство» кривых нормального распределения с одной и той же величиной среднего квадратическо-го отклонения, по с разными средними (). В этом случае кривая, не меняя своей формы, сдвигается вправо вдоль оси абсцисс.

Особенности кривой нормального распределения.

1. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению (Хср =Mo = Me), ее величина равна

2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от Хср, тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от Хср равновероятны.

3.Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ± s от Хср.

4. При Хср = const с увеличением s кривая становится более пологой. При s = const с изменением Хср кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.

5. В промежутке находится 68,3% всех значений признака. В промежуткенаходится 95,4% всех значений признака. В промежуткенаходится 99,7% всех значении признака.

Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими.

Содержание отчета

1. Исходное задание (с таблицей).

2. Расчетная часть (расчеты свести в таблицу).

3. Построить график распределения, где ось ординат - значения частот fi, а ось абсцисс - значения признака Xi. На графике отметить среднее значение изучаемого признака, моду и медиану.

4. Аналитическая записка.