Тема №7. Статистическое изучение взаимосвязей. Кореляционно-регрессионный анализ Методические указания
Корреляционной связью между различными явлениями называют связь, при которой разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой переменной.
Корреляционная связь носит вероятностный характер и может быть выражена только в случае множества значений признака.
Задачами корреляционного анализа являются:
расчет показателей тесноты связи;
статистическая оценка точности и надежности параметров корреляции и оценка их значимости , например, путем сравнения средней ошибки оценки коэффициента с эталонным значением по t-критерию Стьюдента, либо критерию Фишера.
Регрессионный анализ - это раздел математической статистики, объединяющий методы исследования по статистическим данным зависимости среднего значения одной случайной величины Y от одной или нескольких других величин X1,X2,...Xn. При этом Y называется результативным признаком, а X1,X2,...Xn – факторными признаками.
С помощью регрессионного анализа решают следующие основные задачи.
1. Выбор уравнения регрессии.
Все наиболее часто применяемые виды уравнений регрессии можно свести к нескольким типам:
|
Линейная функция |
|
|
Показательная функция |
|
|
Cтепенная функция |
|
|
Парабола |
|
|
Гипербола |
|
2. Оценка параметров (a,b,c..) в выбранной модели.
Так как корреляционная связь имеет вероятностный характер, то в процессе решения должна осуществляться проверка на типичность параметров уравнения. Проверку целесообразно проводить в том случае, если численность объектов анализа меньше 30.
3. Проверка значимости уравнения регрессии.
Если расчет производится по нескольким моделям, то выбирается такая модель, которая обеспечивает наибольшее соответствие фактических данных и результатов расчетов по данным модели. Такое соответствие проводится с использованием следующих показателей.
Средняя ошибка аппроксимации может быть вычислена по следующей формуле:
(7.1)
где: |Yi - Yxi| - разность линейных отклонений абсолютных величин эмпирических (фактических) Yi и выравненных Yxi по уравнению точек регрессии.
Возможна оценка типа связи по остаточной дисперсии, рассчитанной для каждой модели, аппроксимирующей зависимость результирующего признака от факторных признаков:
(7.2)
Нахождение
параметров уравнения регрессии
осуществляется методом наименьших
квадратов. В основу этого метода положено
требование минимизации сумм квадратов
отклонений эмпирических данных Yi
от выравненных Yxi,
т.е.
.
Регрессия может быть парная Y = f (X), если исследуется зависимость между результирующим и факторным признаком, и множественная, если число факторных признаков равно двум и более, т.е. Y = f (X1,X2,...Xк ).
Регрессионный анализ и корреляционный анализ тесно связаны, т.к. с помощью регрессионного анализа находится уравнение связи между признаками (уравнение регрессии), а с помощью корреляционного анализа оценивается теснота связи.
Корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает значимыми коэффициентами детерминации и регрессии.