Неравенства Маркова и Чебышева в условиях схемы Бернулли

Здесь М(X) = np и D(X) = npq. Тогда неравенство Маркова записывается как:

- первая форма неравенства;

- вторая форма неравенства.

С учетом дисперсии:

23

А неравенство Чебышева принимает вид:

- первая форма неравенства;

- вторая форма неравенства.

Если в задаче отсутствует информация о вероятностях p и q, то необходимо воспользоваться ограничением pq  0,25.

Задача 1. Среднее число телевизоров, получаемых ремонтной мастерской в течение недели, равно 10 со средним квадратическим отклонением 3. Оценить вероятность того, что в предстоящую неделю в мастерскую поступит не более 25 телевизоров.

Решение. Случайная величина X – число телевизоров, получаемых ремонтной мастерской в течение недели.

Нанесем данные задачи на числовую прямую:

10 15

x

0 а=10 25

Итак, границы интервала заданного изменения Хнесимметричны относительно математического ожидания, следовательно, для решения задачи применяется неравенство Маркова (вторая форма в (16)):

С другой стороны, известно среднее квадратическое отклонение  = 3, а тогда D(X) =  ² = 9. Используем неравенство Маркова при известной дисперсии:

Сравнивая полученные результаты, делаем вывод: p(X  25)  0,8256.

Ответ: p(X  25)  0,8256.

З

24

адача 2. Завод отгрузил реализатору 5000 бутылок пива. Вероятность боя стеклотары в пути и при погрузочно-разгрузочных работах в целом

2. Составим вспомогательную таблицу для условных вариант с учетом: n_u = n_x; n_v = n_y; n_uv = n_xy. В углах клеток с n_uv  0 укажем отличные от 0 произведения соответствующих вариант u_iv_j.

U/V	–3	–2	–1	0	1	2	nu
–2	6 2	4 4					6
–1		2 2	1 5	1			8
0			3	10	1		14
1			–1 1	4	1 8	2 2	15
2					2 2	4 5	7
nv	2	6	9	15	11	7	n =50

3. Находим средние арифметические условных вариант:

и, следовательно,

4. Находим средние арифметические квадратов условных вариант:

И, следовательно, с требуемой точностью среднеквадратичные отклонения условных вариант:

5

33

. Находим среднее арифметическое произведения условных вариант, суммируя произведения значенийв углах клеток вспомогательной таблицы на соответствующие частотыв этих клетках:

ления достаточно оставлять не более трех значащих цифр после запятой; результирующее значение r округлить до сотых.

3. При выводе заключения о тесноте линейной корреляционной связи между Y и X предполагается придерживаться следующей градации:

- если r = 0, то между X и Y линейная корреляционная связь отсутствует (при этом не исключена другая форма корреляционной связи);

- если 0 < |r|  0,6, то между X и Y линейная корреляционная связь слабая;

• если 0,6 < |r|  0,8, то между X и Y линейная корреляционная связь тесная;

• если 0,8 < |r| < 1, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная;

• если , то междуX и Y линейная корреляционная связь функциональная.

Задача. В нескольких одинаковых отрезках проволоки исследуется взаимозависимость силы тока Y и температуры X при заданном напряжении. Полученные значения случайных переменных X и Y в условных единицах сведены в корреляционную таблицу

X/Y	20	40	60	80	100	120	nx
1,5	2	4					6
2		2	5	1			8
2,5			3	10	1		14
3			1	4	8	2	15
3,5					2	5	7
ny	2	6	9	15	11	7	n =50

Найти выборочное линейное уравнение регрессии Y на X, выборочный коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте линейной корреляционной связи между X и Y.

Решение.

1. Значения как X, так и Y заданы в таблице равноотстоящими, поэтому перейдем к условным вариантам: где учтено, что шагиh₁ = 0,5; h₂ = 20, а максимальной частоте n_xy = 10 соответствует пара x* = 2,5; y* = 80.

32

составляет 0,06. Оценить вероятность того, что число разбитых бутылок у реализатора превзойдет 500.

Решение. Случайная величина X – число разбитых бутылок.

Нанесем данные задачи на числовую прямую:

x

0 a=300 500 5000

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формулам a = np и D(X) = npq, так как задача относится к задачам на схему Бернулли. Итак, a = 50000,06 = 300; D(X) = 50000,060,94 = 282.

Используем неравенство Маркова в условиях схемы Бернулли:

Сравнивая результаты, делаем вывод: p(X > 500)0,3611.

Ответ: p(X > 500)  0,3611.

Задача 3. Среднее число автобусов автопарка, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, равно 10 при среднем квадратическом отклонении 4 автобуса. Оценить вероятность того, что в течение месяца автопарк отправит в ремонт от 5 до 15 машин включительно.

Решение. Х – число автобусов, отправляемых в ремонт.

Нанесем данные задачи на числовую прямую:

5 5

x

0 5 a=10 15

Известно, что  = 4, а, следовательно, D(X) =  ² = 16; интересуемый интервал значений Х симметричен относительно математического ожидания этой случайной величины, поэтому воспользуемся неравенством Чебышева (второй формой в (18)):

Ответ: p(|X – 10|  5)  0,36.

З

25

адача 4. Вероятность задержки рейса самолета по техническим причинам равна 0,03. Оценить вероятность того, что из 1200 планируемых в

течение месяца вылетов из аэропорта произойдет по этим причинам задержка более 72 рейсов.

Решение. X – число задержек вылетов самолетов в месяц.

Нанесем данные задачи на числовую прямую:

36 36

x

0 a=36 72 1200

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формулам a = np и D(X) = npq, так как задача относится к задачам на схему Бернулли. Итак, a = 12000,03 = 36, D(X) = 12000,030,97 = 34,92.

Дисперсия известна, а также интервал значений случайной величины Х вне искомого имеет границы, симметричные относительно математического ожидания а = 36, следовательно, используем для решения задачи неравенство Чебышева в условиях схемы Бернулли:

p(X > 72) = 1 – p(X  72) = 1 – p(|X – 36|  36)  1 – =

= 34,92/ 36 ² = 0,0269.

Ответ: p(X > 72)  0,0269.