2. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть гипотезы В₁, В₂, …, В_n образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в результате осуществления одной из гипотез . Тогда вероятность событияА равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

(2)

где p(В₁) + p(В₂)+…+ p(В_n) = 1.

Допустим, произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Вероятности гипотез В_i после опыта, т.е. условные вероятности: р(А/В₁), р(А/В₂), …, р(А/В_n), вычисляются по формуле Байеса:

7

(3)

Эта формула позволяет оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Задача 1. После вакцинирования животное в период эпидемии заболевает с вероятностью 0,01, а не вакцинированное – 0,8. Вакцинировано 70% животных. Найти вероятность того, что во время эпидемии животное заболеет.

Решение. Обозначим событие А = {животное заболеет}. Возможны следующие гипотезы: В₁ = {животное вакцинировано}, В₂ = {животное не вакцинировано}. Гипотезы В₁, В₂ несовместны и образуют полную группу событий. По условию задачи вероятности этих гипотез: р(В₁) = 0,7, р(В₂) = 0,3. Условная вероятность того, что животное заболеет, если оно вакцинировано р(В₁/ А) = 0,01, а условная вероятность того, что животное заболеет, если оно не вакцинировано р(В₂/ А) = 0,8.

Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

р(А) = р(В₁)·р(В₁/ А) + р(В₂)·р(В₂/ А) = 0,7·0,01 + 0,3·0,8 = 0,247.

Ответ: р(А) = 0,247.

Задача 2. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Завод №1 выпускает 90% продукции отличного качества, завод №2 – 60%, а завод №3 – 80% продукции отличного качества. Извлеченная наудачу из ящика деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на заводе №2.

Решение. Обозначим событие А ={наудачу взятая из ящика деталь окажется отличного качества}. Возможны следующие гипотезы: В₁ = {деталь изготовлена на i-м заводе}, ГипотезыВ₁, В₂, В₃ попарно несовместны и образуют полную группу событий. Поскольку в ящике всего 22+20+18 = 50 деталей, то по классической формуле вероятности:

8

9.5.

X \Y	5	10	15	20	25	30	35	nx
105	2	4	-	-	-	-	-	6
130	-	5	2	-	-	-	-	7
155	-	1	4	50	3	-	-	58
180	-	-	-	8	8	-	1	17
205	-	-	-	2	7	1	2	12
ny	2	10	6	60	18	1	3	n=100

9.6.

X \Y	5	15	25	35	45	55	60	nx
100	3	1	-	-	-	-	-	4
115	-	5	3	-	-	-	-	8
130	-	-	4	40	7	-	-	51
145	-	-	4	9	4	-	2	19
160	-	-	-	6	4	6	2	18
ny	3	6	11	55	15	6	4	n=100

9.7.

X \Y	10	25	40	55	70	85	100	nx
60	-	-	-	-	-	2	5	7
65	-	-	-	3	2	6	1	12
70	2	-	3	8	8	1	-	22
75	-	1	2	1	2	-	-	6
80	1	2	-	-	-	-	-	3
ny	3	3	5	12	12	9	6	n=50

9.8.

X \Y	12	22	32	42	52	62	72	nx
30	-	-	-	-	3	2	2	7
50	-	-	6	7	8	9	1	31
70	-	4	10	25	4	-	-	43
90	1	4	7	2	-	1	-	15
110	1	3	-	-	-	-	-	4
ny	2	11	23	34	15	12	3	n=100

9.9.

X \Y	5	20	35	50	65	80	95	nx
65	3	3	-	6	7	-	-	19
70	3	2	5	-	-	8	-	18
75	2	4	7	2	10	-	3	28
80	-	6	6	2	-	3	-	17
85	-	-	1	5	8	2	2	18
ny	8	15	19	15	25	13	5	n 49 =100

Задача 9. Линии регрессии.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице.

9.1.

X \Y	10	15	20	25	30	35	40	nx
90	1	2	-	-	-	-	-	3
110	4	3	3	-	-	-	-	10
130	-	-	5	10	6	-	-	21
150	-	-	-	6	2	1	3	12
170	-	-	-	-	-	-	4	4
ny	5	5	8	16	8	1	7	n=50

9.2.

X \Y	17	22	27	32	37	42	47	nx
115	-	2	-	-	-	-	-	2
125	1	2	4	-	-	-	-	7
135	-	2	3	14	-	-	-	19
145	-	-	1	6	7	-	-	14
155	-	-	-	-	3	4	1	8
ny	1	6	8	20	10	4	1	n=50

9.3.

X \Y	8	13	18	23	28	33	38	nx
110	-	-	-	-	-	6	3	9
120	-	-	-	-	-	3	1	4
130	-	-	7	10	5	-	-	22
140	3	4	3	-	-	-	-	10
150	2	2	-	1	-	-	-	5
ny	5	6	10	11	5	9	4	n=50

9.4.

X \Y	3	8	13	18	23	28	33	nx
45	-	-	-	-	4	6	1	11
55	-	-	1	3	7	1	1	13
65	-	4	6	40	6	-	-	56
75	4	3	2	8	1	-	-	18
85	1	-	-	1	-	-	-	2
ny	5	7	9	52	18	7	2	n=100

48

Условные вероятности того, что деталь окажется отличного качества, если она изготовлена на i-м заводе () по условию задачи равны:

По формуле полной вероятности (2):

р(А) = 0,24∙0,9 + 0,4∙0,6 + 0,36∙0,8 = 0,744.

По формуле Байеса (3) найдем вероятность того, что извлеченная деталь изготовлена на заводе №2:

Ответ: р(В₂ /А) = 0,323.

3. Схема Бернулли