Вероятность события в условиях схемы Бернулли
Несколько испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в любом из этих испытаний не зависит от исхода других испытаний.
Схема Бернулли:
производится n
независимых
испытаний, в каждом из которых с одной
и той же вероятностью p
наступает некоторое событие А
и, следовательно, с вероятностью q
= 1
– p
наступает событие
,
противоположноеА.
Обозначим через
вероятность того, что вn
испытаниях схемы Бернулли событие А
наступит m
раз (
).
Справедливы следующие формулы:
|
n |
npq |
Локальная
вероятность
|
Интервальная
вероятность
|
|
10 |
для всех npq |
(формула Бернулли) |
|
|
10 |
> 9 |
(локальная формула Муавра-Лапласа) |
(x2) – (x1) (интегральная формула Муавра-Лапласа) |
|
9 |
(формула Пуассона) |
9 |
где a = np – математическое ожидание числа появления события A в n испытаниях в условиях схемы Бернулли;
,
функция стандартного распределения
–
четная табулированная функция (то есть,
нормированная функция Лапласа(x)
=
– нечетная табулированная функция (то
есть,(–x)
= – (x));
– вероятность того, что приn
испытаниях в условиях схемы Бернулли
событие А
наступит ровно m
раз;
– вероятность того, что приn
испытаниях в условиях схемы Бернулли
событие А
наступит не менее m1
раз и не более m2
раз, то есть
Справедливы также следующие формулы:
Наивероятнейшее
число m0
появления события А
в n
испытаниях в условиях схемы Бернулли
определяется из:
гдеm0
– целое число.
Отклонение относительной частоты от вероятности
Вероятность того,
что абсолютная величина отклонения
относительной частоты
появления события от вероятности
появления события в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна p
(0 < p
< 1) не
превысит положительного числа
,
приближенно равна удвоенной функции
Лапласа при
=
2
(4)
Задача 1. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 1/7. Найти вероятность выиграть: а) по двум билетам из шести; б) не менее чем по двум билетам из шести.
10
Задача 8. Расчет точечных и интервальных оценок по данным выборки. Полигон.
По данным выборки найти доверительные интервалы для оценок с надежностью =0,95 неизвестных математического ожидания a и стандартного отклонения 0 нормально распределенного признака X генеральной совокупности. Построить полигон частот и полигон относительных частот по данным выборки.
8.1.
|
xi |
2,5 |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
3,1 |
3,2 |
|
ni |
1 |
2 |
5 |
4 |
3 |
2 |
8.2.
|
xi |
3,1 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
3,8 |
|
ni |
2 |
2 |
3 |
4 |
4 |
2 |
8.3.
|
xi |
3,5 |
3,6 |
3,8 |
3,9 |
4,0 |
4,1 |
|
ni |
1 |
3 |
5 |
6 |
5 |
2 |
8.4.
|
xi |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,5 |
4,6 |
4,7 |
|
ni |
6 |
7 |
7 |
9 |
6 |
5 |
8.5.
|
xi |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,7 |
2,9 |
3,0 |
|
ni |
4 |
5 |
6 |
6 |
3 |
2 |
8.6.
|
xi |
5,0 |
5,2 |
5,5 |
5,6 |
5,9 |
6,2 |
|
ni |
5 |
6 |
7 |
8 |
6 |
4 |
8.7.
|
xi |
4,6 |
4,7 |
4,8 |
4,9 |
5,0 |
5,1 |
|
ni |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
2 |
8.8.
|
xi |
2,1 |
2,2 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
2,7 |
|
ni |
3 |
5 |
6 |
7 |
5 |
4 |
8.9.
|
xi |
3,2 |
3,4 |
3,7 |
3,9 |
4,1 |
4,3 |
|
ni |
2 |
3 |
4 |
4 |
2 |
1 |
8.10.
|
xi |
5,1 |
5,3 |
5,5 |
5,7 |
5,9 |
6,0 |
|
ni |
3 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2
47 |
Задача 7. Неравенства Маркова и Чебышева.
7.1. Среднее число желающих пройти курс лечения в санатории «Ставрополье» составляет 240 человек в месяц. Оценить вероятность того, что число обратившихся за лечением в санаторий в течение месяца составит более 600.
7.2. Оценить вероятность того, что при проверке контролирующими органами района 60 частных предпринимателей на соблюдение ими правил торговли число выявленных нарушений отклонится от ожидаемого не более чем на 5.
7.3. Номинальный размер выпускаемой детали a = 10 мм с допуском 0,1 мм. Оценить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной, если среднее квадратическое отклонение размера детали при изготовлении = 0,05 мм.
7.4. Среднее число заявок в пансионат «Нева» на июнь составляет 500 при среднем квадратическом отклонении 60. Оценить вероятность того, что заявок на этот месяц окажется не менее 350, но не более 650.
7.5. Вероятность того, что не потребуется доработка проекта в процессе строительства объекта равна 0,15. Оценить вероятность того, что из 120 проектов не потребуют доработки более 50 из них.
7.6. Фирма по пошиву женского платья ежемесячно обновляет 10% своей продукции. Оценить вероятность того, что через месяц из 1-ых 70 моделей каталога фирмы окажутся снятыми с производства менее 15 моделей.
7.7. Завод отгрузил реализатору 10000 бутылок с напитком. Вероятность боя стеклотары в пути и при погрузочно-разгрузочных работах в целом составляет 0,01. Оценить вероятность того, что число доставленных в торговую сеть бутылок в сохранности окажется более 9800.
7.8. По данным журнала «Cosmopolitan» в среднем у 75% женщин после 2-х недель применения крема, разработанного лабораториями фирмы L’Oreal, кожа лица становится более упругой. Оценить вероятность того, что этот эффект не проявится у более чем 20 из 40 женщин, применявших в течение 2-х недель рекламируемый крем.
7.9. Раскрываемость преступлений в регионе составляет в среднем 75%. Оценить вероятность того, что из 60 совершенных за месяц преступлений число нераскрытых окажется в пределах от 10 до 20 включительно.
7.10. По телефонному кабелю одновременно пропускается не более 30 аналоговых сигналов. Оценить вероятность того, что линия перегрузится, если математическое ожидание числа одновременно подсоединяющихся абонентов равно 12.
46
Решение.
Событие А =
{выиграть по билету лотереи},
Так какn
= 6, то используется формула Бернулли.
а) Пусть событие В = {выиграть по двум билетам из шести}:
б)
Пусть событие С
= {выиграть
не менее чем по двум билетам из шести}:
Получается сложная формула для вычисления
вероятности. С другой стороны, используя
противоположное событие,
Ответ: а) р(В) = 0,165; б) р(С) = 0,207.
Задача 2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число поражений мишени будет: а) равно 73; б) находится между 80 и 95.
Решение. Событие А = {поражение мишени}, р = р(А) = 0,8; q = 0,2. Так как n = 100, то необходимо найти npq = 1000,80,2 = 16 > 9. Следовательно, используется формула Муавра-Лапласа.
а)Локальный случай:
где
То
есть
Значение функции
определяется по таблице №1 Приложений.
б)Интервальный случай:
11
;
То есть, р100(80; 95) = (3,75) – (0) = 0,4995 – 0 = 0,4995.
Значение функции (x) определяется по таблице №2 Приложений.
Ответ: а) р100(73) = 0,022; б) р100(80; 95) = 0,4995.
Задача 3. В среднем левши составляют 1%. Найти вероятность того, что в аудитории из 200 студентов окажется: а) ровно 2 левши; б) не менее чем 4 левши; в) хотя бы 1 левша.
Решение. Событие А ={студент – левша}, р = р(А) = 0,01; q = 0,99. Так как n = 200, то найдем npq = 2000,010,99 = 2 < 9. Следовательно, используется формула Пуассона.
а)Локальный случай:
Значение функции е –х определяется по таблице №3 Приложений.
б)Интервальный случай:
в)Интервальный случай:
.
Ответ: а) р200(2) = 0,27; б) р200( 4) = 0,14; в) р200( 1) = 0,864.
Задача 4. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 30 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
Решение. Событие А = {мяч заброшен в корзину}, р = р(А) = 0,4; q = 0,6; n = 36; npq = 7,2.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства
.
Подставив данные задачи, получим
30∙0,4 – 0,6 m0 30·0,4 + 0,4 или 11,2 m0 12,4.
Так как m0 – целое число, то m0 = 12.
Поскольку npq
= 7,2 < 9, то, используя локальную формулу
Муавра-Лапласа, найдем
где
Т
12
|
5.7. |
f(x)
= |
|
5.8. |
f(x)
= |
|
5.9. |
f(x)
= |
|
5.10. |
f(x)
= |
