Линейная корреляция

Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле

30

Определение 14. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант x_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот _i (сумма всех относительных частот равна единице).

Определение 15. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Определение 16. Полигоном относительных частот (частости) называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

Числовые характеристики статистического распределения выборки

Определение 17. Выборочное среднее – среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности

.

Определение 18. Выборочной дисперсией D называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

Дисперсию можно рассчитать по формуле:

Определение 19. Выборочным средним квадратическим отклонением называется величина характеризующая отклонение, разброс в линейных размерах данных выборки относительно выборочного среднего.

Точечные оценки

Определение 20. Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется приближенное значение, полученное по данным выборки.

Определение 21. Точечная оценка – оценка, которая определяется одним числом . Это точка на числовой оси, около которой находится оцениваемый параметр генеральной совокупности ₀.

О

27

пределение 22. Оценка  параметра ₀ называется несмещенной, если M() = ₀; в противном случае – смещенной.

Определение 23. Оценка  параметра ₀ называется состоятельной, если для любого положительного  , то есть стремится к ₀ по вероятности и означает неограниченное увеличение точности с ростом объема выборки.

Определение 24. Оценка  параметра ₀ называется эффективной, если она является несмещенной и имеет наименьшую дисперсию при заданном объеме выборки.

Теорема 5. Выборочное среднее – несмещенная, состоятельная и эффективная оценка математического ожидания признака генеральной совокупности.

Теорема 6. Дисперсия выборочного среднего в n раз меньше дисперсии генеральной совокупности:

.

Теорема 7. Математическое ожидание выборочной дисперсии рассчитывается по формуле

.

Следовательно, дисперсия выборочного среднего является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку вводится исправленная дисперсия:

.

Интервальные оценки

Определение 25. Интервал ( – ,  + ), в пределах которого с вероятностью  находится оцениваемый параметр генеральной совокупности ₀, называется доверительным интервалом. Значение  называется доверительной вероятностью или надежностью оценки; предельная погрешность  – точность оценки.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определяется следующим образом:

причем, если стандартное отклонение этого распределения известно, то

;

е

28

сли стандартное отклонение неизвестно, то

Здесь число t определяется из равенства (t) =  / 2; t_ находится по таблице коэффициентов Стьюдента при заданных n и  (таблица № 4 Приложений); s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервальной оценкой (с надежностью ) стандартного отклонения ₀ нормально распределенного количественного признака X по исправленному выборочному стандартному отклонению s служит доверительный интервал

s(1 – q) < ₀ < s(1 + q) при q < 1,

0 < ₀ < s(1 + q) при q > 1,

где q = q(n;) определяется по таблице № 5 Приложений.

Задача. По данным выборки найти доверительные интервалы для оценок с надежностью  = 0,95 неизвестных математического ожидания a и стандартного отклонения  нормально распределенного признака X генеральной совокупности. Построить полигон частот по данным выборки:

xi	–2	1	2	3	4	5
ni	2	1	2	2	2	1

Решение.

1. Найдем объем выборки

.

2. Найдем выборочную среднюю

3. Вычислим дисперсию

4) Вычислим «исправленную» дисперсию и «исправленное» стандартное отклонение

5. О

   29

   пределим по таблице № 4 Приложений величинуt_ = t(n, ) = = 2,26, так как n = 10 и  = 0,95.