Расчет вероятности события Классическое определение вероятности
При классическом определении вероятность события определяется равенством
р(A)=
, (1)
где m – число исходов проводимого опыта, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных исходов.
Основные элементы комбинаторики
Пусть даны 2 множества:
{а
,а
,…,а
}
и {b
,
b
,…,b
}.
Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, а объект типа «b» – m2 способами, то выбор или «а», или «b» может быть осуществлен N = m1 + m2 способами.
Правило произведения: Если объект типа «а» может быть выбран m1 способами, и после любого такого выбора объект «b» может быть выбран m2 то выбор и «а», и «b» можно осуществить N = m1·m2 способами.
Основной принцип комбинаторики: Если имеется k множеств, причем из каждого можно составить комбинации соответственно n1, n2,…, nk способами, то комбинация, содержащая комбинации по одной из исходных множеств, может быть составлена N = n1·n2·…·nk способами.
Определение
1. Сочетаниями
из n
различных элементов по m,
причем m
n,
называются такие комбинации, каждая из
которых содержит ровно m
элементов и отличается от любой другой
хотя бы одним элементом. Число сочетаний
из n
элементов по m
элементов обозначается С
и находится по формуле
С
=
,
где n!, m!, (n – m)! – факториалы, то есть произведения соответственно n, m, n – m последовательных натуральных чисел, начиная с 1, например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению 0! = 1.
Задача 1. В лотерее разыгрывается 100 билетов; из них 10 являются выигрышными, а остальные 90 – «пустые». Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность, что среди них будет 2 выигрышных и 3 «пустых».
Решение. Событие А = {среди 5 отобранных билетов 2 выигрышных и 3 «пустых»}.
3
Для наглядности решения задачи составим схему взаимосвязанных множеств:
Всего Выигрышные Пустые
100 = 10 + 90
↓ ↓ ↓
5 = 2 + 3
Согласно (1)
вероятность события А
определяется как p(А)
=
.
Общее числоn
возможных различных способов отбора
равно числу способов, которыми можно
отобрать 5 билетов из 100: n
= C
.
Число исходов m,
благоприятствующих событию А,
зависит от двух условий: среди отобранных
билетов должно оказаться 2 выигрышных
и 3 «пустых». Число различных способов
отбора двух выигрышных билетов из 10
возможных: m1
= C
;
а число различных способов отбора трех
«пустых» билетов из 90: m2
= C
.
Используя правило произведения, получаем:
m
= m1·m2
– число способов, благоприятствующих
событию А.
Следовательно, искомая вероятность
p(A)=
=
·
:
≈
0,07.
Ответ: p(A) ≈ 0.07.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.
Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
р(А + В) = р(А) + р(В).
Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий А1, А2,…, Аn равна сумме вероятностей этих событий:
p(А1 + А2 +…+ Аn) = p(А1) + p(А2)+…+ p(Аn).
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу (то есть, когда эти события попарно несовместны, но в результате испытания одно из них произойдет обязательно), равна 1.
Следствие 3. Сумма
вероятностей противоположных событий
равна 1: р(А)
+ р(
)
= 1, где
– событие противоположное событиюА.
4
Таблица 3.
Значения
функции
для
0 ≤ x<
1,
e ≈
2,7183
|
x |
с о т ы е д о л и x | |||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 | |
|
0,0 |
1,0000 |
0,9900 |
0,9802 |
0,9704 |
0,9608 |
0,9512 |
0,9418 |
0,9324 |
0,9231 |
0,9139 |
|
0,1 |
0,9048 |
0,8958 |
0,8869 |
0,8781 |
0,8694 |
0,8607 |
0,8521 |
0,8437 |
0,8353 |
0,8270 |
|
0,2 |
0,8187 |
0,8106 |
0,8025 |
0,7945 |
0,7866 |
0,7788 |
0,7711 |
0,7634 |
0,7558 |
0,7483 |
|
0,3 |
0,7408 |
0,7334 |
0,7261 |
0,7189 |
0,7118 |
0,7047 |
0,6977 |
0,6907 |
0,6839 |
0,6771 |
|
0,4 |
0,6703 |
0,6637 |
0,6570 |
0,6505 |
0,6440 |
0,6376 |
0,6313 |
0,6250 |
0,6188 |
0,6126 |
|
0,5 |
0,6065 |
0,6005 |
0,5945 |
0,5886 |
0,5827 |
0,5769 |
0,5712 |
0,5655 |
0,5599 |
0,5543 |
|
0,6 |
0,5488 |
0,5434 |
0,5379 |
0,5326 |
0,5273 |
0,5220 |
0,5169 |
0,5117 |
0,5066 |
0,5016 |
|
0,7 |
0,4966 |
0,4916 |
0,4868 |
0,4819 |
0,4771 |
0,4724 |
0,4677 |
0,4630 |
0,4584 |
0,4538 |
|
0,8 |
0,4493 |
0,4449 |
0,4404 |
0,4360 |
0,4317 |
0,4274 |
0,4232 |
0,4190 |
0,4148 |
0,4107 |
|
0,9 |
0,4066 |
0,4025 |
0,3985 |
0,3946 |
0,3906 |
0,3867 |
0,3829 |
0,3791 |
0,3753 |
0,3716 |