V. Элементы математической статистики Статистическое распределение
Различают два вида совокупностей однородных объектов:
Генеральная – исходное множество объектов с соответствующим признаком, о котором необходимо составить представление;
Выборочная (выборка) – сравнительно небольшая часть генеральной совокупности, которая подлежит непосредственному исследованию.
В силу случайного попадания объектов в выборку числовые данные в выборке также случайны.
Задачей математической статистики является отбор выборочной информации и ее обработка, по результатам которой делают выводы о параметрах генеральной совокупности, рассчитываются оценки числовых характеристик распределения генеральной совокупности и устанавливается степень достоверности этих оценок.
П
26
)
признакаX
называют вариантами, а последовательность
вариант, записанных в возрастающем
порядке, – вариационным рядом.
где
– выборочное среднее для вариант
(наблюдавшихся различных дискретных
значений)xi
компоненты X
(
- сумма по индексуi
произведений вариант x
= xi
на соответствующие частоты этих вариант
nx);
– выборочная средняя вариантy
= yj
на соответствующие частоты этих вариант
ny;
(
– сумма по паре индексовij
произведений xiyj
на соответствующие частоты этих пар
вариант nxy);
– выборочные дисперсии компонентX
и Y
соответственно;
Выборочное линейное уравнение регрессии Y на X имеет вид
,
где
– выборочной коэффициент регрессииY
и X;
;a
+ bx
– линейное
приближение условного среднего
выборочного
,
то есть среднего значения случайной
переменнойY
при условии, что случайная компонента
X
принимает значение x.
Уравнения регрессии являются математической моделью изучаемой зависимости, исключающей случайные факторы, повлиявшие на полученные результаты.
Рекомендации к решению задачи:
1. Если в корреляционной
таблице варианты заданы равноотстоящими
соответственно для компоненты X
с шагом h1
и для компоненты Y
с шагом h2,
то для упрощения расчетов следует
перейти к условным вариантам
,
где паре вариантx*,
y*
соответствует максимальная частота
nxy
(если максимальная частота nxy
соответствует нескольким парам X
= x,
Y
= y
, то выбирается ближайшая к центру
корреляционной таблицы). Для новых
переменных справедливы следующие
соотношения:
.
2
31
6) Искомый доверительный интервал для математического ожидания a имеет вид
причем
(поскольку стандартное отклонение0
генеральной совокупности неизвестно).
Следовательно, 2 – 1,718 < a < 2 + 1,718 или 0, 282 < а < 3,718.
7) Определим по таблице № 5 Приложений величину q = q(n; ) = = q(10; 0,95) = 0,65.
8) Доверительный интервал для стандартного отклонения 0 определим согласно неравенству s(1 – q) < 0 < s(1 + q), так как q < 1.
Следовательно, 2,404(1 – 0,65) < 0 < 2,404(1 + 0,65) или
0,8414< 0 < 3,9666.
9) Построим полигон частот:
ni
2
1
х
–2 –1 0 1 2 3 4 5
Рис. 4.
Ответ: 0, 282 < а < 3,718; 0,8414 < 0 < 3,9666 с надежностью = 0,95.