Нормальное распределение

Наиболее важным с экономической точки зрения является нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если

Для нормально распределенной случайной величины М(Х) = а, D(X) = =  ², среднее квадратическое отклонение (Х) =  называется стандартным отклонением, а также имеют место соотношения:

, (8)

, (9)

,

,

где – функция Лапласа, значения которой находятся по таблице №2 Приложений;

Задача. Заданы математическое ожидание а = 10 и стандартное отклонение  = 5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (9; 14);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше  = 6.

Решение. Для решения необходимо использовать формулы (8), (9).

а) Подставив значение а = 10,  = 5,  = 9,  = 14 в (8), получим:

б) Подставив значения  = 6,  = 5 в (9), получим

.

Ответ: а) р(9 < x < 14) = 0,3674; б) p(|X – 10| < 6) = 0,7698.

18

Задача 2. Полная вероятность и формула Байеса.

2.1. Машина фирмы должна заехать за сырьем на одну из четырех баз. Вероятность наличия нужного сырья на 1-ой базе – 0,9; на 2-ой – 0,95; на 3-ей – 0,9; на 4-ой – 0,6. Найти вероятность того, что задание фирмы будет выполнено, если вероятность заехать на 1-ую базу – 0,3; на 2-ую – 0,2; на 3-тью – 0,4; на 4-ую – 0,1.

2.2. Мастер собирает 60% приборов, монтажник – 40%. Надежность работы прибора, собранного мастером, равна 0,9, а монтажником – 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран мастером.

2.3. На склад поступает обувь с 2-х фабрик. С 1-ой фабрики 35% обуви, среди которой брак составляет – 2%; со 2-ой – 65%, а брак составляет 3%. Проданная пара обуви оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена 1-ой фабрикой.

2.4. В магазин поступает одна и та же продукция от 3-х предприятий. От 1-го предприятия поступило 20 изделий, от 2-го – 10 и от 3-го 70. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03; 0,05. Определить вероятность получения некачественного изделия.

2.5. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 15 счетов, 2-ая – 10, 3-тья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит 2-ой организации.

2.6. Имеются две урны. В 1-ой 3 белых и 4 черных шара, во 2-ой – 2 белых и 3 черных. Из 1-ой урны наугад перекладывают во 2-ую один шар, после чего из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он оказался белым.

2.7. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, успешно прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

2.8. Имеются две урны. В 1-ой 4 белых и 3 черных шара, во 2-ой – 3 белых и 2 черных шара. Из 1-ой урны во 2-ю перекладывают 2 шара, после чего из 2-ой урны берут один. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если извлеченный шар оказался белым?

2.9. Из пяти стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и три с вероятностью 0,4. Наугад выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее:

39