6. Тензорезисторы

Пьезорезистивный эффект и анизотропия пьезорезистивных коэффициентов

Для измерения деформации кристалла под действием каких либо сил (давления, инерции) необходимо установить связь межу изменением электрического сопротивления полупроводника и механическими напряжениями в нем или его деформациями. Рассмотрим феноменологическую картину этой связи на примере тензорезисторов, расположенных на круглой мембране (рис 19).

Рис. 19. Распределение механических напряжений в тензорезисторе, расположенном на круглой мембране.

Мембрана радиусом a и толщиной h жестко закреплена по контуру. На нее действует давление q. Тензорезистор расположен на расстоянии r от центра мембраны на обратной стороне по отношению к приложенному избыточному давлению. Для этого случая радиальные напряжение Тr и тангенциальное напряжение Tt в любой точке мембраны можно рассчитать по формулам:

где ν - коэффициент Пуассона.

Напомним, что коэффициент Пуассона представляет собой относительное изменение поперечного размера тела под нагрузкой, деленное на относительное изменение его длины, т.е.

Для кремния <001> – ν = 0,28 ,

<011> – ν = 0,06,

< 010> – ν = 0,28,

поликремния – ν = 0,22.

Если материал мембраны изотропен, то напряжение зависит только от расстояния от центра мембраны r и не зависит от угла θ . Линейная зависимость T(q) наблюдается только при малых прогибах мембран меньших ее толщины h .

Если мембрана имеет анизотропные упругие свойства , то в общем виде её упругие свойства описываются тензором второго ранга , содержащим 9 компонент. Для инженерной практики использование такого сложного описания мало пригодно. Его упрощение возможно за счет использования связей между отдельными компонентами тензора и учета симметрии кристалла. В результате механические напряжения в кремниевой мембране удается выразить через три компоненты тензора механических напряжений, соответствующие продольной, поперечной и сдвиговой составляющей напряжения следующим образом:

,

,

,

где ψ = φ–θ.

Механические напряжения в кристалле приводят к изменениям в электропроводности. Эту связь можно представить, например, в такой форме:

,

где i,j,k,m,s = 1,2,3; ρ₀ – удельное сопротивление материала при механическом напряжении равном нулю; E_s - компонента вектора напряженности электрического поля;

ji – компоненты вектора плотности тока, π_i,j,k,m - тензор четвертого ранга, характеризующий пьезорезистивные коэффициенты. Таким образом , число независимых переменных чрезвычайно велико. Для кубических кристаллов симметрии, к которому принадлежит кремний, удается получить формулу, характеризующую относительное изменение сопротивления тензорезистора под нагрузкой в следующем виде

∆R/R=π′₁₁Τ′₁+π′₁₂Τ′₂+π′₁₆Τ′₆

и π и Τ зависят от положения резистора .

Т.о. для расчета необходимо знать значение π′₁₁, π′₁₂, π′₁₆ соответственно продольного ,поперечного и сдвигового пьезорезисторных коэффициентов. Их величины могут зависеть от ориентации резистора на кристалле и могут быть выражены в приемлемой для расчетов форме в частности:

В плоскости (001)

π′₁₁=π₁₁-(π_А/4)(1-cos 4φ) ,

π′₁₂=π₁₂+(π_А/4)(1-cos 4φ),

π′₁₆= - (π_А/2)sin 4φ.

В плоскости (011)

π′₁₁=π₁₁-(π_А/16)(4-4cos 2φ-3cos4φ),

π′₁₂=π₁₂-(3π_А/16)(1-cos4φ),

π′₁₆= -(π_А/8)(2sin 2φ+3sin4φ).

В плоскости (111)

π′₁₁=π₁₁-π_А/2,

π′₁₂=π₁₂-π_А/6,

π′₁₆= 0.

Где π_А=π₁₁-π₁₂- π₄₄; π₁₂– не главный, а π₁₁ и π₄₄- главные пьезорезистивные коэффициенты. Их значения зависят также от легирования кристалла и температуры. В частности для равномерно легированного сравнительно высокоомного кремния значения главных пьезорезистивных коэффициентов приведены в таблице:

Тип проводимости	Уд. сопротивле-ние,Ом см	Конц. прим., м^-3	π11, 10^-11м^2/н	π12, 10^-11м^2/н	π44, 10^-11м^2/н
n	11,7		-102,2	53,4	-13,6
p	7,8		6,6	-1,1	138,1

Таким образом, все необходимые исходные данные для расчета зависимости сопротивлений тензорезисторов от давления на мембрану могут быть установлены.

Кроме того в практике проектирования тензорезисторов могут учитывать ряд других факторов, например, нелинейность сопротивления при больших деформациях мембраны. В частности, известно, что резисторы на основе p-кремния линейны в более широком интервале давлений, чем резисторы на кремнии n-типа, в тоже время резисторы, сформированные из донорного полупроводника, имеют более высокую температурную стабильность по сравнению с резисторами на основе акцепторных материалов. Для всестороннего учета множества факторов для полного расчета тензорезистивных датчиков справочных данных, как правило, недостаточно, их проектирование связано с проведением значительного объема исследовательских работ и обычно опирается на экспериментальные результаты. Результаты этой работы обобщаются в виде зависимости

∆R/R=εK или ∆R/R=Mq,

где K- коэффициент тензочувствительности (K=(∆R/R )/(∆l/l)) ,

относительная деформация ε=∆l/l.

Для полупроводников значение К обычно составляет 50–200.