Тензорное описание воздействий на кристалл (электрические, механические и тепловые воздействия) Электрическое воздействие

Для описания воздействия электрического поля на кристалл и реакции на это воздействие используются три векторные величины:

E – интенсивность или напряженность электрического поля;

p – вектор поляризации или электрический момент диполя, направленный вдоль оси диполя, образовавшегося при поляризации диэлектрика, от отрицательного заряда к положительному, и равный произведению величины наведенных зарядов на расстояние между ними;

D – вектор электрического смещения или индукции.

В общем случае связь между ними задается выражением:

D = ε₀E + p (13)

где ε₀ = 8,85*10^-12 Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума.

При этом p = ε₀χ E, где χ – диэлектрическая восприимчивость. Индукция D является векторной суммой воздействия Е и реакции на это воздействие р.

Очевидно, что

D = ε₀E + ε₀χ E = ε₀(1 + χ) E,

где ε = ε₀(1 + χ) – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Часто пользуются понятием диэлектрической постоянной или относительной диэлектрической проницаемостью

K = (1+ χ)/ ε₀

тогда

D = ε₀ K E.

В изотропном диэлектрике векторы D, E и p коллинеарны, а параметры χ и ε скалярны.

Для анизотропного диэлектрика картина усложняется. Заряды при поляризации смещаются не по направлению электрического поля и векторы D, E и p не совпадают по направлению (рис. 12).

Рис. 12. Направление векторов Е, р и D в анизотропном кристалле.

Т. о. поле E, направленное, например, вдоль одной оси координат, создает в кристалле индукцию D, имеющую компоненты по всем трем координатам:

D_i = f(E₁,E₂,E₃).

В общем случае можно записать

D₁ = ε₁₁ E₁ + ε₁₂ E₂+ ε₁₃ E₃,

D₂ = ε₂₁ E₁ + ε₂₂ E₂+ ε₂₃ E₃,

D₃ = ε₃₁ E₁ + ε₃₂ E₂+ ε₃₃ E₃.

Девять величин ε₁₁, ε₁₂,…. ε₃₃ образуют тензор второго ранга, характеризующий диэлектрическую проницаемость кристалла: ε_ij. Он характеризует кристалл и не зависит от выбора системы координат. К каким эффектам это может привести, рассмотрим ниже.

Пока же отметим очевидный факт: под действием внешнего электрического поля в кристалле могут возникать как продольные, так и поперечные эффекты.

Таким образом, для анизотропной среды справедливо:

D_i = ε_ij E_j, (14)

где ε_ij – тензор диэлектрической проницательности, являющийся параметром анизотропной среды, т. е. тензором материальным.

Механические воздействия

Если тело находится под действием внешних сил или даже если любая часть тела находится под механическим воздействием соседних частей, то говорят, что тело находится в напряженном состоянии.

Выделим в теле некоторый элемент, находящийся в напряженном состоянии. Силы, на него действующие, можно разделить на два типа. Во-первых, объемные силы, действующие на все элементы тела, (например, сила тяжести). Они пропорциональны объему элемента. Во-вторых, силы, действующие на поверхность элемента со стороны окружающих его частей тела. Они пропорциональны площади поверхности элемента. Эти силы , отнесенные к поверхности элемента называются напряжением. Обозначим напряжение буквой T. Это – вектор упругих напряжений.

Если разложить напряжение по координатным осям (рис. 13) , можно выделить нормальные и сдвиговые компоненты напряжений.

Рис. 13. Векторы напряжений на поверхности элементарного куба

Напряжение в кристалле описывается тензором второго ранга T_ij. Он имеет принципиальные отличия от введенных раньше тензоров электрической проводимости и диэлектрической проницаемости, которые описывали физические свойства собственно кристалла и являлись его неотъемлемой характеристикой, жестко связанной со структурой (симметрией) кристалла. Это были так называемые материальные тензоры.

Тензор напряжения не описывает каких либо физических свойств кристалла, может иметь любую ориентацию и имеет смысл как для анизотропных, так и изотропных тел. По смыслу он близок к силе, действующей на кристалл. В этом рассмотрении он подобен электрическому полю, которое также может быть приложено к телу в произвольном направлении. Такие тензоры называют полевыми тензорами или тензорами воздействия.

Под действием напряжений в теле возникают деформации. Деформации, если они невелики, подчиняются закону Гука – основному закону теории упругости – а именно деформация, возникающая в теле под действием силы, пропорциональна этой силе. Деформация является упругой, если после прекращения действия силы форма тела полностью восстанавливается.

Для изотропных тел закон Гука выражается формулой

T = δс,

или

δ = sT,

здесь T – напряжение,

δ – деформация,

с – жесткость(константа упругости, постоянная жесткости),

s – податливость.

Смысл коэффициентов с и s ясен из названия. В анизотропных телах жесткость и податливость является тензорными величинами, т. е. зависит от направления. Естественно, и деформация будет характеризоваться тензором. Тензором же описывается напряжение.

Таким образом, каждая компонента тензора деформации δ_ij связана с каждой компонентой тензора T_ki соотношением

δ₁₁ = s₁₁₁₁ T₁₁ + s₁₁₁₂ T₁₂+ s₁₁₁₃ T₁₃+ s₁₁₂₁ T₂₁+ s₁₁₂₂ T₂₂+ s₁₁₂₃ T₂₃+ s₁₁₃₁ T₃₁+

+ s₁₁₃₂T₃₂+ s₁₁₃₃ T₃₃

и еще восемью аналогичными выражениями для δ_ij , в каждое из которых входит девять коэффициентов s_ijkl , образующих тензор четвертого ранга в матрице которого содержится 81 компонента.

Коэффициент c_ijkl также образует тензор четвертого ранга.

В тензорной форме для анизотропной среды закон Гука принимает форму:

T_ij = δ_kl c_{ijkl ,}

или

δ_ij = s_ijkl T_kl.

Смысл последних выражений заключается в том, что деформация кристалла зависит не только от направлений и типа проложенного напряжения. Если одноосное растягивающее напряжение в изотропном материале вызвало бы только растяжение вдоль той же оси и некоторое сокращение поперечного сечения, то в анизотропном кристалле оно может вызвать растяжение, сжатия и сдвиги в любых направлениях в зависимости от симметрии кристалла.