Задачи на формулу Байеса

3.45. После второго курса студенты трех групп объединяются в один поток. Процент неуспевающих студентов по группам 1, 2, 3 распределен так: 2%, 7%, 10%. Размер первой группы в 3 раза больше размера второй, а третьей – в 2 раза меньше, чем второй. а) Каков процент неуспевающих будет на потоке? б) Каковы доли неуспевающих каждой группы среди неуспевающих на потоке?

3.46. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, мимо поста ДПС, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 4:5. Вероятность того, что будет остановлена для проверки грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. На посту остановили машину. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3.47. Две девушки набирают компьютерный текст одинакового размера (по количеству знаков). Вероятность того, что первая наборщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй наборщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке текста была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая наборщица.

3.48. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% берут государственные органы, 30% - другие банки, остальные – физические лица. Вероятности не возвращения кредитов соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Начальнику кредитного отдела доложили о не возвращении кредита. Найти вероятность того, что данный кредит не возвращен банком.

3.49. После окончания бакалавриата в магистратуру поступают в среднем 70% девушек и 30% юношей. Вероятность поступления девушек – 0,8, юношей – 0,9. Студент поступил в магистратуру. Какова вероятность того, что это девушка?

3.50. В супермаркет поступает продукция с двух птицефабрик. 2000 десятков яиц с первой птицефабрики и 3000 десятков яиц, со второй. Известно, что в среднем первая фабрика дает 0,1% боя, а вторая – 0,2%. На проверку выбирается один десяток. Какова вероятность, что он содержит бой?; что вероятнее, этот десяток яиц с первой или со второй птицефабрики?

3.51. Телеграфное сообщение состоит из «.» и «–». Искажаются в среднем 2/5 «.» и 1/3 «-». Известно, что среди передаваемых сигналов «.» и «–» встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность, что приняли искаженный сигнал, если отправили «– ».

52. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% – местные, 30% – по СНГ и 10% – дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных – 90%. Из прибывших пассажиров выбирается один. Чему равна вероятность, что он прибыл из СНГ по делам.

53. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-ом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказалось 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-ой. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины.

54. Предположим, что одна монета из 1000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается 10 раз, причем при всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность, что была выбрана монета с двумя гербами.

55. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС. Известно, что вероятности каждой из последовательностей равны соответственно 0,3; 0,4; 0,3. В результате шумов буква принимается правильно с вероятностью 0,6; вероятности приема переданной буквы за две другие равны 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передано АААА, если принято АВСА.

56. Три школьника решали олимпиадную задачу по математике, причем двое ее решили. Предварительный анализ результатов выступления школьников на олимпиадах показал, что вероятности успешного решения задачи распределены следующим образом: 0,6; 0,5; 0,4. Найти вероятность того, что задача решена третьим школьником.