1. Если функции иявляются бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.

7. Арифметические действия над последовательностями

Пусть даны последовательности {x_n} и {у_n}.

• Произведением последовательности {x_n} на число т назовем последовательность т *х₁, т*x₂, ... т*x_n, ....

• Суммой данных последовательностей назовем последовательность x₁+y₁, x₂+y₂,…,x_n+y_n,…

• Разностью - последовательность x₁-y₁, x₂-y₂,…,x_n-y_n,…

• Произведением — последовательность x₁*y₁, x₂*y₂,…,x_n*y_n,…

• Частным — последовательность x₁/y₁, x₂/y₂,…,x_n/y_n,…,если все члены последовательности {у_n} отличны от нуля.

Указанные действия над последовательностями символически записываются так:

8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

 Определение.   Первым замечательным пределом называется предел

            Теорема. Первый замечательный предел равен 1:

 Определение  Вторым замечательным пределом называется предел

    Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Числочасто называютоснованием натуральных логарифмов.

Теорема.  Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее междуи.

9. Критерий Коши сходимости последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется фундаментальной, если для любого положительного числа ε найдется номер N такой, что для всех номеров n удовлетворяющих условию n≥N и для любого натурального p(p=1,2,3…) справедливо неравенство

Установим два важных свойства любой фундаментальной последовательности.

Свойство 1. Для любого положительного числа ε найдется элемент фундаментальной последовательности x_N такой, что в ε-окрестности этого элемента x_N  находятся все элементы x_n этой последовательности с номерами n удовлетворяющими условию n≥N

Другими словами, для любого ε>0 найдется элемент фундаментальной последовательности x_N вне ε-окрестности которого лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности.

Свойство 2. Фундаментальная последовательность является ограниченной.

10. Предел функции, два определения.

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке ):

 — предел функции  в точке  (и пишут ), если:

 

В определении допускается, что , то есть  может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

 называется пределом функции в точке , если , то есть , соответствующая последовательность значений , то есть .

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка принадлежит проколотой -окрестности точки ()

11. Односторонние пределы функции

Определение. Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Определение. Число называетсяправым пределом функции в точке, если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство. Правый предел обозначается

Число называетсялевым пределом функции в точке, если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство. Левый предел обозначается.

Теорема Если существуют и, причем, то существует и. Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то пределне существует.