Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная  выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

19 Свойства производных. Правила дифференцирования

Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Основные свойства производных функций (две таблицы: из Шипачева и из интернета)

20 Производные элементарных функций.

21 Производная сложной функции. Производная обратной функции

Производная сложной функции

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема поx и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно иметь ввиду, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! 

Можно заметить, что производная сложной функции представляется в виде последовательного произведения производных составляющих функций, причем аргументы функций согласованы (сцеплены) таким образом, что значение внутренней функции служит аргументом для следующей за ней внешней функции. Поэтому правило дифференцирования сложной функции часто называют "цепным правилом" (chain rule). 

Производная обратной функции

Пусть - функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Теорема

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

22 Дифференциал функции. Геометрический смысл

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл

На графике функции возьмем произвольную точкуи дадим аргументуприращение . При этом функция получит приращение(на рисунке отрезок).

Проведем касательную к кривой в точкеи обозначим угол ее наклона к осичерез, тогда. Из треугольниканаходим, т.е..

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргументполучает приращение.