63. Необходимые условия локального экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Стационарные точки.
Необходимые
условия экстремума функции f(x;y)
в
точке M0(x0;y0)
возможного экстремума заключается в
выполнении в этой точке равенства
.
При этом функция
f(x;y)
имеет
в данной точке максимум,
если
и
И
минимум, если ∆>0 и
>0
(при условии непрерывности частных
производных). Если ∆<0, то в точкеM0
нет
экстремума. Если ∆=0,
то функция f(x;y)в
точке
M0
может
иметь экстремум, но может и не иметь.
Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.
64. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.
Достаточные условия экстремума функции 2–х переменных
Теорема. Пусть функция z = f(x, y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке M(x0, y0) (т.е. z'x (x0, y0) = z'y(x0, y0) = 0 ):
A = z''xx(x0, y0), B = z''xy(x0, y0), C = z''yy(x0, y0).
Тогда:
если AC − B20 , то M — точка экстремума, причем при A0 — точка минимума, при A<0 — точка максимума;
если AC − B2<0 , то M не является точкой экстремума;
если AC − B2 = 0 , то требуется дополнительное исследование.
65. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Вычисление корней многочленов.
Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (x;y), т.е. z=(x;y). При этом x называется вещественной, а y – мнимой частью комплексного числа.
Комплексное число (х,у) при у≠0 называется мнимым. Мнимое число (0;у) называется чисто мнимым, а чисто мнимое число (0;1) - мнимой единицей и обозначается буквой i, т.е. i =(0;1). По определению полагают (х;0)=х, (0;у)=iу, (0;0)=0.
Алгебраическая форма комплексного числа. Любое комплексное число z=(x;y) можно представить в виде
И производить над комплексными числами действия по обычным правилам алгебры многочленов. Запись
называетсяалгебраической
формой комплексного числа.Комплексное число
называетсякомплексно
сопряженным
числу
.Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число
определяется
упорядоченной парой вещественных чисел
(х;у). По формуле
,
,
связывающим полярные и прямоугольные
координаты, получим тригонометрическую
форму записи комплексного числа
:
Число ρ называется модулем, а число
–аргументом
комплексного числа z.
формула Эйлера, выражает показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.
Вычисление корней многочленов Уравнения второй степени (квадратные) Для общего уравнения
Для приведенного уравнения
(Формулы верны при любых коэффициентах, действительных или комплексных.)
Уравнения третьей степени (кубические)
Уравнение
заменой
сводится
к уравнению
,
где
Корни
последнего уравнения находятся по
формуле Кардано:
при этом, беря последовательно по одному из трех значений кубического корня
следует
из трех возможных значений корня
выбрать
то, для которого