12. Непрерывность функции. Разрывы первого и второго рода

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть.

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть. Точкув этом случае называют точкой скачка функции.

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева, либо предел справа, не существует или бесконечен.

13. Теоремы Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке.

Т1.Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то f ограниченна на отрезке [a,b], т.е. существует такое число М, что , при всех

Т2.Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

14. Теорема о свойстве непрерывной на отрезке функции принимающей на концах отрезка значения разных знаков (Больцано-Коши).

Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезкеи принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть,, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения междуи.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

15. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Определение 1. Функции  и  называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если.  Определение 2. Функция  называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если.  Определение 3. Функция  называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если.  Определение 4. Функция  называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если.  Определение 5. Функции  и  называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если  не существует и не равен .  Определение 6. Две бесконечно малые величины  и  называются эквивалентными, если . 

16. Сравнение бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно большие величины.

17.Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин для вычисления пределов.

18 Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Геометрический и физический смысл производной