- •1. Натуральные числа.
- •1. Если функции иявляются бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.
- •2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.
- •3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
- •4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
- •8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел
- •9. Критерий Коши сходимости последовательности
- •10. Предел функции, два определения.
- •12. Непрерывность функции. Разрывы первого и второго рода
- •13. Теоремы Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке.
- •14. Теорема о свойстве непрерывной на отрезке функции принимающей на концах отрезка значения разных знаков (Больцано-Коши).
- •15. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.
- •16. Сравнение бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно большие величины.
- •17.Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин для вычисления пределов.
- •18 Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.
- •Тангенс угла наклона касательной прямой
- •Скорость изменения функции
- •19 Свойства производных. Правила дифференцирования
- •20 Производные элементарных функций.
- •21 Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •22 Дифференциал функции. Геометрический смысл
- •23 Приближенное выражение приращения функции через дифференциал.
- •24 Производная высшего порядка.
- •Формула Тейлора
- •34. Асимптоты
- •35. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •43.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •44.Приложение интегралов. Площадь плоской фигуры.
- •45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость интегралов.
- •51.Предел последовательности n-мерных точек.
- •52. Предел функции многих переменных, два определения.
- •В этом случае пишут илипри.
- •53. Непрерывные функции многих переменных.
- •54. Частные производные первого порядка.
- •60. Градиент функции, свойства градиента
- •63. Необходимые условия локального экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Стационарные точки.
- •64. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
- •65. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Вычисление корней многочленов.
- •66. Дифференциальные уравнения, основные понятия.
- •67. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •68. Линейные уравнения первого порядка.
- •69. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.
45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость интегралов.
Несобственный интеграл 1-го рода.
Определение. Пусть функция f ( x) определена при x≥a и имеет определенные интегралы при∀b>a . Эти интегралы называются частными. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода и обозначается, при этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится.
Несобственный интеграл 2-го рода.
Определение. Пусть функция f (x) определена на полуинтервале [a ,b) и не ограничена вблизи точки b, которую в этом случае будем называть особой. Пусть для любого существуют определенные интегралы, которые будем называть частными интегралами. Если существует конечный предел, то он называется несобственным интегралом 2-го рода и обозначается.
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода . Сходимость интегралов.
Абсолютная и условная сходимости несобственного интеграла.
Числовые ряды, основные понятия, сходимость ряда. Общие признаки сходимости ряда.
Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами.
Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения рядов. Признаки сходимости положительных рядов.
Арифметическое n-мерное пространство. Расстояние между точками пространства. Открытый и замкнутый шар в n-мерном пространстве.
Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х1,х2,...,хn) называется арифметическим n-мерным пространством (Rn)
(n - размерность пространства).
Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние по формуле (1.1), называется n-мерным Евклидовым пространством.
Свойства расстояния между двумя точками:
1. r(А,В) ³ 0, причем если r(А,В) = 0, следовательно, А = В.
2. r(А,В) = r(В,А) для всех точек А, В Î Rn,
3. r(А,C) £ r(A,В) + r(B,C) для всех точек А, В, C Î Rn,
51.Предел последовательности n-мерных точек.
52. Предел функции многих переменных, два определения.
а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции в точке, если эта функция определена в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки, и для каждогонайдется числотакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
В этом случае пишут илипри.
б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки, т.е., и для любой последовательности {xn}, сходящейся к . И такой, что для всех , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.
Теорема. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
53. Непрерывные функции многих переменных.
Определение 1: Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.
или
Определение 2: Функция называется непрерывной в точке, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при
По аналогии с определением предела функции:
Определение по Коши. Функция называется непрерывной в точке, если для любогосуществуеттакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Если (), то функциюназывают непрерывной в точкесправа (слева). Если функциянепрерывна в точкеи слева, и справа, то она непрерывна в этой точке. В данном случае, по теореме связи между односторонними пределами и пределом функции, предел функции в точкеравен значению в этой точке
Теорема об арифметических действиям над непрерывными функциями: Пусть функции инепрерывны в точке. Тогда,и (при ) также непрерывны в той точке.