23 Приближенное выражение приращения функции через дифференциал.

Если функция  дифференцируема в точке , то на основании формулы (1) ее приращение, соответствующее приращению , можно записать следующим образом:

.

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых  может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

,                                                    (7)

которым широко пользуются.

Пусть надо вычислить значение функции  в точке , т. е. число . Однако появилась необходимость заменить  его приближенным значением :

.

Возникает приближенное равенство

.

Его абсолютная погрешность равна

.

Если функция  дифференцируема в точке , то из формулы (7) следует, что при малых  можно считать, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения равна приближению абсолютной величине дифференциала функции:

,

вычисленного для соответствующего приращения .

24 Производная высшего порядка.

25.Локальный экстремум. Теорема Ферма.

Точка называетсяточкой локального максимума (или минимума) функции , сли существует такой окрестностьэтой точки, принадлежащий области определения функции, и для всехиз этого окрестности выполняется неравенство(или).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках - ее экстремальными значениями.

Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале и в некоторой точкеэтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точкесуществует производная, то она равна нулю, т.е.

26.Теоремы Коши и Лагранжа о среднем.

Теорема Коши. Пусть функция и непрерывны наи дифференцируемы наПусть кроме того,.

Тогда существует точка c такая, что справедлива формула

.

Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке определена функцияпричём:

1. непрерывна на

2. дифференцируема на

Тогда существует точка cтакая, что справедлива формула

27.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

1. Раскрытие неопределённостей вида . Первое правило Лопиталя.

Если , то , когда последний предел существует (конечный или бесконечный).

2. Раскрытие неопределённости вида . Второе правило Лопиталя.

Если , то , когда последний предел существует (конечный или бесконечный).

Правила верны и в том случае, когда .

3. Неопределённости вида и их раскрытие.

Неопределённости вида сводятся путём алгебраических образований к неопределённостям вида и, а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Неопределённости вида с помощью тождества

Сводятся к неопределённости вида .

28.Формула Тейлора для функции.

Теорема Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке a и некоторой её окрестности производные порядка n+1. Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула Тейлора.

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

Формула Тейлора

, где R_n(x)(на самом деле R_n+1(x))  - называется остаточные членом в форме Лагранжа и обозначается .

Так как точка то найдется числоиз интервале 0<< 1 такое, чтои остаточный член принимает вид

Если функция ограничена в окрестности точки, то остаточный членявляется бесконечно малой более высо­кого порядка, чемпри: при

Последнее соотношение называется остаточным членом в форме Пеано.

Формулу Тейлора при а = 0 принято называть формулой Маклорена:

.

Остаточный член имеет вид:

1) в форме Лагранжа

2) в форме Пеано .

29.Формулы Тейлора элементарных функций.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена.

1) Так как

,

то формула Маклорена имеет вид

2). Так как

,

то формула Маклорена имеет вид

Остаточный член записан в виде , а не в виде, так как следующий за последним член равен нулю. Тоже самое относится и к формуле сcos x.

3) . Тогда как

,

то формула Маклорена имеет вид

30.Приближенное вычисление функций по формуле Тейлора. Оценка погрешности.

Если остаток в формуле Тейлора ,то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: .

В свою очередь остаточный член: — определяет погрешность формулы.

31.Теорема о возрастании и убывании дифференцируемой функции.

 Теорема 7.2.   Пусть функция дифференцируема на интервалеипри всех. Тогдавозрастает на. Если жепри всех, тоне убывает на.

Аналогично, если при всех, тоубывает на, а еслипри всех, тоне возрастает на.

Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале , то при всех ; если же функция не возрастает на , то при .

32.Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума.

Теорема 1(необходимое условие локального экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

Точки в которых производная функция равна 0, принято называть точками возможного экстремума.

Теорема 2(достаточное условие локального экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки x₀. Тогда если при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума, если f’(x) в точке x₀ меняет знак с «-» на «+», то x₀ – точка локального минимума, если же знак f’(x) в точке x₀ не изменился, то в точке x₀ экстремума не существует.

33.Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .