2.3.4. Температурное поле тел с внутренними источниками тепла

В этом разделе рассматривают тепловые процессы в телах, содержащих внутренние источники тепла. При этом полагают, что тела однородны, коэффициенты теплопроводности этих тел , источники энергии по объему тела распределены равномерно. Удельную мощность, т.е. мощность, выделяющуюся в единице объема в единицу времени, обозначают через W, выделяющееся в теле тепло через поверхность тела передается в окружающую среду. Поверхность тела считают изотермической с температурой .

2.3.4.1. Плоская неограниченная стенка

Под неограниченной стенкой понимают такую, у которой толщина во много раз меньше ее минимального линейного размера (рис. 2.3.5). Процесс теплопередачи в стенке будет протекать симметрично средней плоскости, которую принимают за начало координат, а осьxнаправляют перпендикулярно боковой поверхности.

Рис. 2.3.5. Температурное поле неограниченной однослойной стенки

При наличии внутренних источников тепла на основании закона сохранения энергии получают S(x) W = q_x S. Плотность теплового потока в плоской стенке будет возрастать пропорционально координатеx: q_x = W x,т.е. при x = 0 получаютq = 0,а при x = получают соответственноq = W .

Согласно закону Фурье, можно записать

.

После разделения переменных и интегрирования, получают

.

Постоянную интегрирования Cнаходят из граничных условий: при из последнего уравнения следует, что. Учитывая это, получают выражение для распределения температуры по толщине стенки

. (2.3.18)

Так как при (рис. 2.3.5),перегрев между центральной областью стенки и ее поверхностью будет равен

. (2.3.19)

Приведенные выражения показывают, что при равномерно распределенных источниках тепла распределение температуры в стенке имеет параболический характер. Максимальное значение температура имеет в средней плоскости при х=0.

2.3.4.2. Параллелепипед

В изотропном параллелепипеде (рис. 2.3.6,а) с внутренними источниками тепла, равномерно распределенными по объему, стационарное температурное поле описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое, как это следует из (2.3.5), имеет вид

.

Принимая температуру всех шести граней одинаковой, равной t_s, и отсчитывая температуру любой точки относительно, граничные условия принимают вид

.

Точное решение дифференциального уравнения при указанных граничных условиях, которое позволяет рассчитать температуру в любой точке тела t(x, y, z), приведено в работе [1].

Там же показано, что температура в центре параллелепипеда может быть найдена по формуле

. (2.3.20)

Коэффициент Сзависит только от двух параметров:H/L₁ иH/L₂. Направление координатных осей выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие: L₁ > H, L₂ > H. Зависимость представлена на рис. 2.3.6.

Рис. 2.3.6. Расчет поправочного коэффициента С = F(H/L₁, Н/L₂)

На основании точного решения предложена приближенная формула, позволяющая определить температуру t_j в любойj-ой точке параллелепипеда

, (2.3.21)

где l_j- расстояние от центра параллелепипеда доj-ой точки;L_j- расстояние от центра до грани параллелепипеда по прямой, проходящей через точкуj.

Для анизотропного параллелепипеда, коэффициенты теплопроводности которого по координатным осям x, y, zразличны, и источники энергии по объему распределены равномерно, выражения (2.3.22) и (2.3.23) остаются справедливыми, если в дифференциальное уравнение изотропного тела подставить преобразование координат

где за базовую теплопроводность принимается одно из значений λ_x, λ_y, λ_z.

Если за λ принятьλ_z, то новые размеры параллелепипеда будутL₁₀,L₂₀,H. Из этих размеров новой высотой считают наименьший из трех, а два других записывают какL₁ иL₂. Поэтому коэффициентСопределяется по той же методике (рис. 2.3.6), но размеры параллелепипеда (рис. 2.3.6а) будут преобразованными и зависимостьС=F(H/L₁,Н/L₂) (рис. 2.3.6б) становится универсальной.