7.4.Тепловой поток в стержнях

Пластинчатые радиаторы (диск, прямоугольная пластина) имеют ограниченную эффективность охлаждения из-за малой площади теплоотдающей поверхности. Для повышения эффективности используют оребренные радиаторы. На основании (обычно прямоугольной формы) многократно размещается так называемый стержень, форма которого может быть разнообразной. На рис. 7.5.3 и 7.5.4 изображены радиаторы с пластинчатым и игольчатым односторонним оребрением.

Мощность из основания радиатора распределяется по стержням, которые рассеивают ее в окружающем пространстве. Отсюда появляется возможность, оценив связь, поступающей в стержень мощности с его тепловым режимом, провести расчет теплового режима, как радиатора, так и полупроводникового прибора, установленного на радиаторе.

Рассмотрим стержень, площадь поперечного сечения которого S, периметр сеченияU, длинаl, причемSиUпо длине стержня неизменны (рис. 7.4.1). В торец стержня втекает тепловой потокР, который кондукцией передается по стержню, рассеиваясь с его поверхности в среду, температура средыt_c, полный коэффициент теплоотдачи с поверхности стержня , теплопроводность материала стержня. Найдем распределение температуры вдоль стержня.

Рис. 7.4.1. Тепловой поток в стержне

Выделим элементарный участок стержня , в который втекает тепловой поток , а вытекает . В стационарном режиме тепловой поток, рассеиваемый с элементарного участка в окружающую среду, будетpaвен , где - перепад температуры между элементарным участком и средой.

С другой стороны, разность потоков на входе и выходе элементарного участка будет . Если учесть, что , тогда разность потоков будет .

Поскольку эта часть потока рассеивается с поверхности в окружающую среду, то .

Обозначая через ,получают

. (7.4.1)

Полученное дифференциальное уравнение описывает распределение температуры вдоль стержня. Чтобы решить это уравнение, необходимо знать граничные условия. Этими граничными условиями будут:

1. Тепловой поток, рассеиваемый с торца стержня, очень мал по сравнению с тепловым потоком, рассеиваемым боковой поверхностью стержня

.

2. При x = 0 тепловой поток равен тепловому потоку, входящему в стержень

.

При указанных граничных условиях решение дифференциального уравнения имеет вид [3]

.

Множитель перед тепловым потоком Рпредставляет тепловой коэффициент

. (7.4.2)

Следовательно,

. (7.4.3)

Здесь Ртепловой поток, рассеиваемый всей поверхностью стержня, равный тепловому потоку, втекающему в его торец.

Чтобы учесть теплоотдачу с торца стержня следует условно увеличить площадь его боковой поверхности на величину площади поверхности торца стержня, приняв условную длину равной , т.е. , откуда , и подставить эту условную длину в выражение теплового коэффициента (7.4.2).

Для неограниченных стержней выражение для теплового коэффициента получают из выражения (7.4.2), устремив lк бесконечности.

После преобразований получают

. (7.4.4)

Перепад температуры вдоль стержня будет меняться по экспоненциальному закону

. (7.4.5)