1.12.Уравнения состояния линейных импульсных систем

Так же как и непрерывные системы [1], импульсные можно описывать с помощью векторно-матричных уравнений, называемых уравнениями состояния.

Уравнениями состояния линейной импульсной системы называются уравнения вида

(1.80)

где  − вектор состояния системы,  − вектор входа системы,  − вектор выхода системы,  − основная матрица системы размерности , − матрица входа системы размерности ,  − матрица выхода системы размерности , − дискретное время.

Первое уравнение в (1.80)− уравнение входа системы, второе − уравнение выхода. Уравнениями (1.80) описываются как многомерные системы, когда ,− вектора, так и одномерные системы, когда, − скалярные величины.

Рассмотрим методику получения уравнений (1.80) для разомкнутой импульсной системы, изображенной на рис. 1.4. Вход и выходлинейного непрерывного звена с передаточной функциейможно описать с помощью уравнений состояния [1]:

(1.81)

где коэффициенты матриц размерности,размерностииразмерностинаходятся по передаточной функции.

Используя матрицу , можно найти [1] переходную матрицу состояния непрерывной системы (1.81), которую обозначим, и записать общее уравнение первого (дифференциального) уравнения (1.81) в виде

где − момент приложения внешнего воздействия,− начальное значение вектора состояния при. Сигналс выхода ФУ представляет собой последовательность прямоугольных импульсов длительностии высоты, поступающих в моменты времени. Рассмотрим произвольный-ый момент времении обозначим значение вектора состояния причерез. Тогда реакция системы (выход звена) на-ый импульс будет

(1.82)

Обозначим при (момент окончания импульса) значение векторачерез. Тогда во время паузы в-ом периоде сигнал на выходе звена будет определяться выражениями:

(1.83)

Из (1.82) находим при вектор, подставляем его в (1.83) и окончательно получаем

(1.84)

Положим в (1.84) и, используя свойства переходной матрицы состояния, получим

.

Сделав под интегралом замену переменной и с учетом, получим

Обозначим числовые матрицы

,,, (1.85)

а векторы ,,,через,,,. Окончательно получим уравнения состояния разомкнутой импульсной системы вида (1.80)

(1.86)

Приведенная методика получения разностных уравнений разомкнутой импульсной системы обобщает подход, изложенный в подразделе 1.2 при выводе уравнения (1.15).

Напомним [1] один из возможных способов определения вида матриц ,,в (1.81) с использованием передаточной функциилинейной непрерывной части системы. Пусть− дробно-рациональная функция переменнойи уравнениеимеетразличных корней, тогда

,,, (1.87)

где ,.

Если − диагональная матрица (87), то нетрудно найти,,,в (1.86)

,, ,.(1.88)

В случае кратных корней матрицабудет в форме Жордана.

Получим уравнения состояния замкнутой линейной импульсной системы рис. 1.3. С учетом уравнения замыкания из (1.86) получим уравнения состояния замкнутой импульсной системы

(1.89)

где − основная матрица замкнутой системы.

Возможно также получение уравнений состояния импульсной системы с использованием в качестве исходных передаточной функций разомкнутой или замкнутой импульсной системы, либо соответствующих разностных уравнений [5].

Пример 1.12. Пусть в разомкнутой импульсной системе . Уравнениеимеет два корня,. Находим,. В соответствии с (1.88) определяем матрицы,,. Окончательно уравнения состояния разомкнутой импульсной системы будут

(1.90)