- •В. П. Кузнецов, с. В. Лукьянец, м. А. Крупская теория автоматического управления
- •Часть 2 Дискретные системы, нелинейные системы, случайные процессы в системах автоматического управления
- •Isbn 978-985-488-070-9 (ч.2)
- •Isbn 978-985-488-048-8
- •Содержание
- •Предисловие
- •1. Дискретные системы автоматического управления
- •1.1.Основные понятия и классификация
- •1.2. Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа
- •1.3. Описание разомкнутых импульсных систем
- •1.4. Частотные характеристики импульсных систем
- •1.5 Характеристики замкнутых импульсных систем
- •1.6. Процессы в импульсных системах
- •1.7. Устойчивость процессов в импульсных системах
- •1.8. Точность импульсных систем
- •1.9. Оценки качества импульсных систем
- •1.10.Условия эквивалентности импульсных и непрерывных сау
- •1.11. Элементы синтеза импульсных систем
- •1.12.Уравнения состояния линейных импульсных систем
- •1.13. Характеристики импульсных систем, описываемых уравнениями в пространстве состояний
- •1.14. Цифровые системы автоматического управления
- •1.15. Исследование цифровых систем автоматического управления
1.5 Характеристики замкнутых импульсных систем
Рассмотрим базовую структуру импульсной САУ (рис. 1.3). Пусть найдена передаточная функция разомкнутой импульсной САУ , связывающая-изображения выходаи сигнала ошибки. Тогда. Очевидно, что. Из этих уравнений нетрудно получить два соотношения:
, (1.33)
. (1.34)
Введем следующие обозначения
,, (1.35)
тогда (1.33), (1.34) запишутся как ,.
Функцию будем называтьглавной передаточной функций замкнутой импульсной системы, а –передаточной функцией замкнутой импульсной системы по ошибке. Итак, зная , нетрудно найтии. Еслиесть отношение двух полиномов некоторых степеней относительно, тоитакже будут отношением полиномов. Поэтому в конечном итогеможно представить в виде
. (1.36)
Используя (1.36) и связь , нетрудно найтиразностное уравнение замкнутой импульсной системы, связывающее вход и выход
. (1.37)
Кроме этого, введем еще одну важную характеристику системы – характеристическое уравнение замкнутой системы
, (1.38)
которое является алгебраическим уравнением n-ой степени. Полином называетсяхарактеристическим полиномом замкнутой системы.
Введем также понятие частотных характеристик замкнутой системы. Делая в передаточной функции заменуполучим частотные характеристики, из которых наиболее часто используются– АФЧХ замкнутой системы,– АЧХ замкнутой системы и– вещественная частотная характеристика замкнутой системы. Физический смысл этих частотных характеристик такой же, как и для разомкнутых систем.
Следующим классом характеристик импульсной системы являются временные характеристики: весовая функция импульсной системы ипереходная функция импульсной системы , определяемые следующими соотношениями:
,. (1.39)
Физический смысл временных характеристик следующий. Если на вход замкнутой системы поступает сигнал в виде функции, изображение которой, то изображение выхода будет равно. Таким образом,, т.е.есть реакция системы на сигнал в видефункции. Если же на вход системы поступает сигнал в виде единичного ступенчатого воздействия, изображение которого равно, то изображение выхода будет, а оригинал. Таким образом, – это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие. Функции исвязаны следующим соотношением.
Если для системы известна весовая функция , то при заданном входе выход определяется следующим образом:
. (1.40)
Выражение (1.40) представляет собой аналог интеграла свертки для импульсных систем.
Пример 1.4. Пусть (см. пример 1.3), тогда, где,,. Нетрудно найти основные характеристики замкнутой системы:
,,
,
,
,
.
1.6. Процессы в импульсных системах
Под процессом в импульсной САУ будем понимать изменение во времени некоторых координат, характеризующих систему. Чаще всего исследуется поведение системы по отношению к выходной координате или по отношению к сигналу ошибки. Будем рассматривать все процессы для дискретных моментов времени , т.е. в виде решетчатых функций , и т.д. Процессы в САУ возникают за счет приложения внешних воздействий (управляющих, возмущений и т.п.), либо за счет изменения значений внутренних координат системы (вариации начальных условий).
Исходными характеристиками при анализе процессов являются разностное уравнение замкнутой системы, главная передаточная функция системы , либо АФЧХ замкнутой системы .
Методы вычисления процессов можно разделить на три категории: аналитические, графоаналитические и методы моделирования с использованием ЭВМ.
С математической точки зрения вычисление процессов – это нахождение решения разностного уравнения (1.37). В теории разностных уравнений доказано, что общее решение уравнения (1.37) всегда представимо в виде суммы двух слагаемых
, (1.41)
где – свободная составляющая общего решения, а – вынужденная составляющая. Свободная составляющая обусловлена ненулевыми начальными условиями по переменной и, если они равны нулю, то . Вынужденная обусловлена входным воздействием и, если , то .
Для оценки динамических свойств системы обычно ищется и наиболее часто для двух видов входного сигнала – единичной ступенчатой функции и – гармонического воздействия, которым соответствуют решетчатые функции , . Реакция системы на сигнал , как отмечено выше, это переходная функция замкнутой системы .
Типичный вид функции приведен на рис. 1.8, на котором представлен
график решетчатой функции и непрерывная функция – огибающая.
Рис. 1.8
Величина – задается, а – установившиеся значение функции . Используя график, введем два важнейших показателя качества системы, характеризующие ее динамические свойства: перерегулирование
,
которое измеряется в процентах, и время регулирования , определяемое как момент времени, когда переходная функция, “войдет” в областьи будет оставаться там при. На рис. 1.8, где– целое число. Обычно. Областьбудем называтьтрубкой.
Рассмотрим аналитический способ вычисления переходной функции замкнутой системы . Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде, гдеиполиномы степенейи, причем. Тогда при входном сигнале, изображение которого равно, изображение выходного сигнала будет
.
Рассмотрим идею получения для простейшего случая. Пусть характеристическое уравнение имеет простые корни (полюса передаточной функции ), тогда дробно-рациональная функцияразлагается на сумму простейших первого порядка
,,
где считаем . С учетом того, что будем иметь
.
Таким образом, изображение будет иметь вид
,
где .
Каждое слагаемое под знаком суммы является табличным, т.е. для него легко найти оригинал. Окончательно, переходя к оригиналам и обозначая будем иметь
(1.42)
Первое слагаемое в (1.42) характеризует установившуюся (постоянную) составляющую, а второе – переходную.
В случае кратных корней характеристического уравнения в литературе [6] приводят соответствующие выражения для вычисления .
Недостатком такого подхода является необходимость вычисления корней алгебраических уравнений. Кроме того, после получения аналитического выражения, требуется строить график для оценки вида переходного процесса и параметров и . Обычно такой подход применим для систем не выше третьего порядка.
Существуют графо-аналитические способы построения переходного процесса , базирующиеся на вещественной частотной характеристике замкнутой системы. Эти методы изложены, например, в [4], однако в настоящее время мало применяются.
Наиболее распространенный в настоящее время путь вычисления и построения переходной функции – это компьютерное моделирование.
Второй тип процессов, исследуемых в импульсных системах, это процессы, вызванные гармоническими входными сигналами вида . Наиболее просто они определяются для случая установившегося режима (для больших значений дискретного времени ). В этом случае исходной характеристикой является АФЧХ системы.После вычисления АЧХ как и ФЧХ как определяется выходной гармонический сигнал в установившемся режиме
. (1.43)
Итак, вычисляя и , найдем амплитуду гармонического сигнала на выходе и сдвиг его по фазе относительно входа.
Одним из способов вычисления процессов в импульсной системе при любом законе изменения входной величины является рекуррентный пошаговый способ решения разностного уравнения (1.37). Рассмотрим разностное уравнение примера 1.1: при и ,. Уравнение запишем в виде
.
Будем последовательно задавать значения и т. д., тогда при имеем , но т.к. задано , , то .
При имеем . При получим и т. д. Это совпадает с результатом аналитического решения , полученного ранее в примере 1.1.
Рассмотрим общий случай уравнения (1.37), для чего представим его в следующем виде (принимаем ):
.
Полагаем следующие начальные условия при ,,вход задан для . Последовательно для найдем .
В импульсных системах, в отличие от непрерывных, при определенных параметрах системы возможно существование процессов “конечной длительности”, т.е. достигающих установившегося положения за конечный промежуток времени.
Если в импульсной системе путем подбора параметров ИЭ и ЛНЧ можно в передаточной функции замкнутой системы (1.36) сделать все , , (далее полагаем ), то передаточная функция (1.36) будет иметь вид
,
а разностное уравнение (1.37) соответственно будет
.
Задавая ,,при , а также, можно вычислить переходную функцию . При этом, начиная с n-го момента времени ее значения будут постоянными , т.е. переходной процесс заканчивается за интервалов. Пусть, например, имеем ,,, ,,,тогда найдем , ,.
Итак, в системах с конечной длительностью процессов всегда время регулирования .
Пример 1.5. Пусть передаточная функция , тогда (см. пример 1.2) передаточная функция разомкнутой системы будет
,
где ,,,,.
Пусть ,,,. Тогда с учетом, нетрудно вычислить коэффициенты,,, .
Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае будет
,
а замкнутой системы
.
Округляя числа, получим окончательное выражение для расчетов
.
Корни характеристического уравнения будут,. Находим величины, входящие в (1.42). Так как, получим,,. Таким образом, будем иметь
После преобразования комплексных чисел с использованием известных правил получаем окончательно
.
Пример 1.6. Пусть , тогда (см. пример 1.4),,. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид. Найдемпри. Очевидно,. По таблице 1 для данного изображения находим оригинал
.
Установившийся процесс в такой системе, при и, будет. Если, процесс будет монотонным, а если колебательным. Пусть выполняется условие , т.е.,что всегда выполнимо. В этом случае имеем систему с процессами конечной длительности, т.е.будет,. Процесс в системе заканчивается через один период.