1.2. Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа

Основой математической теории описания процессов в импульсных системах является аппарат решетчатых функций и разностных уравнений.

Решетчатой функцией будем называть функцию, определенную для целочисленных значений аргумента(, 1, …). Впредь будем рассматриватьиликак дискретное время. Для ШИМ и АИМ, поэтому функции будем обозначатьили. Решетчатые функциичасто получаются из непрерывныхпри замене.

Аналогом производных непрерывных функций для решетчатых функций являются конечные разности. Конечная разность первого порядка (первая разность) для решетчатой функции обозначаетсяи определяется выражением

. (1.5)

Вторая разность определяется как

и т.д. .

Аналогом операции интегрирования для решетчатой функции является операция суммирования

.

Очевидна связь , а функцияназывается первообразной для решетчатой функции.

Аналогом дифференциальных уравнений непрерывных функций для решетчатых функций являются разностные уравнения, связывающие функцию с ее разностями, …,, или разностные уравнения, связывающие функциюс ее значениями, …,. В дальнейшем будем рассматривать второй вариант разностных уравнений.

Линейные импульсные системы описываются линейными разностными уравнениями следующего вида:

, (1.6)

где  заданная функция (вход),  искомая функция (решение разностного уравнения, выход), , постоянные коэффициенты, при этом чаще всего .

Величина , 2, … определяет порядок разностного уравнения. Для полного задания при нахождении решениякроме вида функцииследует задать начальные условия искомого решения,,…,.

В случае непрерывных систем [1], описываемых линейными дифференциальными уравнениями, в теории автоматического управления широкое распространение находят методы исследования, базирующиеся на преобразованиях Лапласа и Фурье, где функция непрерывного аргумента преобразуется в функцию комплексной переменнойс помощью преобразования Лапласа

{},

где  символ прямого преобразования Лапласа, оригинал,  изображение. Существует обратный переход от к, т.е.{}, где символ обратного преобразования Лапласа.

Аналогом преобразования Лапласа для решетчатых функций является дискретное преобразование Лапласа или преобразование, определяемое соотношениями

{}=,

(1.7)

{}=,

где  решетчатая функция (оригинал),  изображение,  комплексная переменная, а и соответственно символы прямого и обратного преобразования.

В литературе (например, [6]) приводятся таблицы соответствия между и. Например, если единичная ступенчатая решетчатая функция, то . Там же достаточно подробно рассматриваются свойствапреобразования. Например, если , где, постоянные, то (свойство линейности).

Другое свойство: пусть {}, тогдапри условии, что, …,(теорема смещения).

Если применить  преобразование к разностному уравнению (1.6), то с учетом вышеприведенных свойств нетрудно получить алгебраическиe уравнения относительно изображений:

, (1.8)

. (1.9)

Функция комплексной переменной

(1.10)

называется передаточной функцией и определяется как отношение изображений выхода ко входупри нулевых начальных условиях переменных,.

Наряду с решетчатыми функциями используютсясмещенные решетчатые функции, которые получаются из непрерывной функции при заменеи обозначаютсяили в сокращенной записи, где параметр смещения. Уравнение (6) также можно записать относительно смещенных решетчатых функций, т.е. будем иметь разностное уравнение со смещенными аргументом.

Для смещенных решетчатых функций преобразование (1.7) будет иметь вид

, (1.11)

т.е. изображение будет зависеть от параметра . При(1.7) и (1.11) совпадают.

Итак, в рамках изложенного можно говорить о функциях: непрерывной , решетчатой, смещенной решетчатойи соответственно об изображениях:,и.

Существует однозначная связь между перечисленными функциями и изображениями [6]. Эти соотношения для наиболее употребительных функций приведены в табл.1.1. преобразование получается из последнего столбца при .

Таблица 1.1

Непрерывная функция		Решетчатая функция	преобразование для
			,

Отметим, что в литературе наряду с дискретным преобразованием Лапласа в форме преобразования используется так называемое преобразование, получаемое из (1.7), (1.11) заменой , т.е. изображения будут функциями комплексной переменной. Очевидно, свойства и преобразований во многом идентичны.

Решение разностного уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях с использованием преобразования имеет следующий алгоритм:

 по уравнению (1.8) находим передаточную функцию ;

 задавая вход ,находим по таблицам изображение функции;

 перемножая и ,находим изображение, которое обычно будет иметь вид, гдеиполиномы относительно;

 сложную дробно-рациональную функцию представляем в виде суммы простейших дробей первой степени

;

 переходим от изображения к оригиналу

,

где находим по таблицам.

Пример 1.1. Найти решение разностного уравнения при нулевом начальном значениии воздействии вида единичной ступенчатой функции.

Находим ,,.

Представим в виде следующей суммы.

Из табл. 1.1 ,, тогда решение будет иметь вид

.