ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

§1. Линейные однородные уравнения n-го порядка

Линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

a	0	(x)y	(n) a (x)y(n 1) ... a		n	(x)y 0, x X , X [x ,x*		]	,	(1.1)
			1				0
где функции ai (x)			непрерывны при x X .
Если a0(x0) 0, то точка				x x0 является особой точкой уравнения (1.1),
поскольку в ней меняется порядок						уравнения. Если a0(x0) 0 в
рассматриваемой области переменной, то уравнение (1.1) делением на										a0(x)
приводится к виду
		y(n) a (x)y(n 1) ... a			n	(x)y 0, x X	.			(1.2)
			1
Далее будем рассматривать именно уравнения вида (1.2). Решением
уравнения (1.2) называется n				раз непрерывно дифференцируемые функции

y1(x),...,ym(x), которые при подстановке в уравнение обращают его в

тождество. Если функции y1(x),...,ym(x)

являются решениями уравнения (1.2),

m

то любая их линейная комбинация

Ci yi (x),

где C1,...,Cm

–

произвольные

i 1

постоянные, снова есть решение уравнения (1.2).

Задача Коши для уравнения (1.1) формулируется следующим образом:

y(n) a (x)y(n 1)

... a

n

(x)y 0,

1

y(x0) y0, y (x0 ) y0, , y(n 1)(x0) y0(n 1) .

(1.3)

Если функции ai (x),

i

, непрерывны на интервале

, то решение

1,n

задачи Коши (1.3) существует и единственно на .

1.1. Определитель Вронского. Пусть функции 1(x),..., n(x)

непрерывны на

интервале со своими производными

до (n 1)-го порядка включительно.

Функциональный определитель вида

1(x)

2(x)

...

n(x)

(x)

[ 1,..., n]

1

2(x)

... n(x)

(1.4)

...

...

...

...

(n 1)

(x)

(n 1)

(x)

...

(n 1)

(x)

1

2

n

называется определителем Вронского (вронскианом)

для системы функций

1(x),..., n(x), x X.

Теорема 1. Если определитель Вронского решений y1(x), , yn (x) уравнения (1.2) тождественно равен нулю на интервале X, тогда эти решения линейно зависимы на X. Если определитель Вронского решений y1(x), , yn (x)

60

уравнения (1.2) не равен нулю ни в одной точке						интервала X,	тогда эти
решения являются линейно независимыми на X.
Замечание.			Если 1(x),..., n(x) –	произвольные функции, то из равенства
нулю их	определителя Вронского,			вообще	говоря,	не следует их линейная
зависимость.			Рассмотрим, например, две		функции	0,	1 x 0,
						1(x)	0 x 1,
						x2 ,
	2	,	1 x 0, Они линейно независимы на отрезке [-1; 1], так как
2 (x) x
0,			0 x 1.

условие C1 1(x) ... Cn n (x) 0 на отрезке [-1; 0] дает C2 0, а на отрезке [0; 1] дает C1 0. Но определитель Вронского функций на каждой половине отрезка имеет нулевой столбец и поэтому тождественно равен нулю. Предположив, что функции являются решениями некоторого уравнения второго порядка, мы придем к противоречию с результатом теоремы.

1.2. Фундаментальная система решений. Нормальная фундаментальная система решений. Фундаментальной системой решений y1(x), , yn (x) уравнения (1.2) (ФСР) называются любые n линейно независимых решений этого уравнения.

Теорема 2. Линейное однородное уравнение всегда имеет фундаментальную систему решений. По заданной системе n линейно независимых функций y1(x), , yn (x) можно построить единственное уравнение (1.2), для которого эти функции образуют фундаментальную систему решений.

Если y(x) – неизвестная функция, то искомое дифференциальное уравнение имеет вид

	y1(x)		y2 (x)		yn (x)
				(x)			(x)
y1, , yn, y	y1(x)		y2		yn
	y							y
		(n 1) (x)	y(n 1) (x)			y(n 1) (x)
	1		2			n
	y	(n) (x)	y(n)	(x)	y(n)		(x)	y
	1		1			1

y

y

0.

(n 1) (x)

(n 1) (x)

Действительно, добавляя к n линейно независимым функциям y1(x), ,yn (x) любое другое решение искомого уравнения n-го порядка, получаем систему из n 1 решений этого уравнения, которые линейно зависимы, а значит, их вронскиан равен нулю.

Замечание. Множество решений линейного однородного уравнения образует линейное пространство. Любая фундаментальная система решений является базисом этого пространства. Существует бесконечно много фундаментальных систем решений однородного уравнения, переходящих одна в другую с помощью невырожденного линейного преобразования.

61

Общее решение

линейного

однородного

уравнения

(1.2)

имеет

вид

y C1y1(x) Cn yn (x), где

y1(x), , y2(x)

–

фундаментальная система

решений; C1, ,Cn

– произвольные постоянные.

Если функция

yi (x),i

,

фундаментальной системы имеет единичную

1,n

матрицу

начальных

значений

в точке

x x

0

,

т.е.

y( j)(x )

ij

,

где

i

0

1,

i j,

– символ Кронекера, то система

y1(x), , yn (x)

называется

i j 0,

i j,

нормальной фундаментальной системой решений при x x0 .

Теорема 3. Пусть

y1(x), , yn (x)

– нормальная при

x x0

фундаментальная

система решений. Тогда решение задачи Коши

y(n) a (x)y(n 1) a

n

(x)y 0,

(1.5)

1

имеет следующий вид:

y(x0) A1,

y (x0) A2, , y(n 1) (x0) An

y A1y1(x) A2 y2(x) An yn(x).

(1.6)

Если для произвольных функций Ai

решению задачи Коши (1.5)

может

быть придана форма (1.6), то входящие в нее функции y1(x), ,y2(x) образуют нормальную при x x0 фундаментальную систему решений.

Замечание. Формулу (1.6) удобно представить как скалярное произведение строки функций, образующих нормальную ФСР, на столбец начальных условий.

1.3. Понижение порядка уравнения. Для произвольного линейного уравнения с переменными коэффициентами не существует общего метода отыскания частных решений для построения фундаментальной системы.

В некоторых случаях удается найти частное решение путем подбора, а затем, используя полученное решение, понизить порядок уравнения на

единицу. Например, зная частное решение

y1(x)

линейного

однородного

уравнения,

можно

понизить

порядок

уравнения

с

помощью

замены

y(x) y1(x) u(x)dx или, что то же самое,

u (y y1) . На практике удобнее

положить

y y1(x)z,

где

z z(x) –

новая

неизвестная

функция. Для z(x)

получается линейное уравнение,

содержащее только производные от

z(x), но

не саму функцию z(x). После этого полагают u z и т.д.

Например, для

уравнения

второго

порядка

y a1(x)y a2(x)y 0,

положив

y y1(x)z,

для

функции

z(x)

получаем

уравнение

y1z (2y1 a1(x)y1)z 0.

Полагая

u z и разделив переменные,

находим

C

a1(x)dx

(x)

e a1(x)dx

u

1

e

, откуда y C1y1

dx C2 y1(x).

y2

y2 (x)

1

1

62

Если известны (n 1) частных решений, то в результате последовательного понижения порядка получается уравнение первого порядка, интегрирующееся в квадратурах.

1.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида (1.1) , где коэффициенты a1, a2 , …, an 1, an – некоторые действительные числа. Для нахождения частных решений уравнения (1.1) составляют характеристическое уравнение

kn a kn 1	a	kn 2 ... a	k a	n	0.	(1.7)
1	2	n

Оно получается из уравнения (1.1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k , причем сама функция заменяется единицей. Левая часть уравнения (1.7) называется характеристическим полиномом. Полином n-й степени имеет ровно n корней. Корни будут действительными и комплексными, среди которых могут быть совпадающие –

кратные корни.

Общее решение дифференциального уравнения (1.1) строится в

зависимости от вида корней характеристического полинома:

I.

Каждому

действительному

простому

корню

k

в

общем

решении

соответствует слагаемое вида Cekx .

m

II.

Каждому

действительному

корню

кратностью

в

общем

решении

соответствует слагаемое вида (C C

2

x ... C

m

xm 1)ekx.

1

III.

Каждой

паре

простых

комплексных

сопряженных

простых

корней

k(1)

i

и k(2)

i

в общем решении соответствует слагаемое вида

e x (C cos x C

2

sin x).

1

IV.

Каждой

паре

комплексных

сопряженных

корней

k(1) i и

k(2) i

кратностью

m в общем решении соответствует слагаемое вида

e x[(C1 C2x ... Cm 1xm 1)cos x (C1 C2 x ... Cm 1xm 1)sin x].

Пример

1.

Решаем

уравнение

y 7y 6y 0.

Характеристическое

уравнение имеет вид k2 7k 6 0; его корни

k 6, k

2

1. Следовательно,

1

ФСР образуют функции e6x и ex , а общее решение имеет вид y C e6x C

ex .

Пример 2. Решаем уравнение y 2y

1

2

y 0. Характеристическое уравнение

k3 2k2

k 0 имеет корни k

0,

k

2

k

3

1. Здесь 1 является двукратным

1

корнем, поэтому ФСР образуют функции 1, ex , xex . Общее решение имеет вид y C0 C1ex C2 xex .

Пример 3. Решаем уравнение y 4y 13y 0. Характеристическое

уравнение k2 4k 13 0 имеет корни k 2 3i. Корни характеристического уравнения – комплексные сопряженные, поэтому ФСР уравнения образуют

63