y(0) y( ) 0. Однако у этого уравнения нет двух линейно независимых дважды дифференцируемых решений, каждое из которых удовлетворяло бы лишь одному из этих краевых условий. Чтобы построить частное решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Его ищем в виде Y(x) C1(x)cosx C2(x)sin x. Для определения функций C1(x) и C2 (x) получаем систему уравнений

C1(x)cosx C2 (x)sin x 0; C1(x)sin x C2(x)cosx f (x).

Отсюда получаем C1(x) f (x)sin x, C2(x) f (x)cosx. Следовательно,

x

Y(x) f (s)sin(x s)ds,

0

и общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

x

y(x) c1 cosx c2 sin x f (s)sin(x s)ds.

0

Это решение будет удовлетворять граничным условиям y(0) y( ) 0, если

c1 0,	f (s)sinsds 0.	(2.10)
	0

В частности, если f (x) 1 при всех x 0, , то второе равенство (2.10) не выполняется, и в этом случае краевая задача (2.9) не имеет решения. Замечание. Приведенный пример показывает, что не любое уравнение (1.5) имеет два линейно независимых дважды непрерывно дифференцируемых решения, удовлетворяющих условиям (2.1) соответственно при x 0 и x l . Если таких решений нет, то функцию Грина построить не удается.

§3. Собственные значения и интегральные уравнения

Отметим два важных направления теоретических приложений, непосредственно примыкающих к рассматриваемой теме. Первое направление связано с уравнением вида

	d		du		q(x)u (x)u,	a x b,
		p(x)
	dx		dx

где p(x), q(x) и (x) – заданные непрерывные функции,

рассматривается вместе с граничными условиями вида

A1u(a) B1 dudx(a) 0; A2u(b) B2 dudx(b) 0 ,

(3.1)

– параметр. Оно

(3.2)

где постоянные Ai и Bi удовлетворяют условиям Ai2 Bi2 0 , i 1, 2.

Значения параметра ( 0 ), при котором задача (3.1), (3.2) имеет нетривиальное решение, называется собственным значением этой краевой задачи. Нетривиальное решение U0 (x) краевой задачи

100

d

p(x)

du

q(x)u (x)u,

a x b,

0

dx

dx

du(a)

du(b)

(3.3)

Au(a) B

A u(b) B

0,

0

1

1

dx

2

2

dx

называется собственной функцией краевой задачи (2.8), (3.1), соответствующей собственному значению 0 .

Собственные значения и собственные функции обладают рядом замечательных свойств. Отметим следующие из них12 .

1.Краевая задача (3.1), (3.2) имеет счетное множество собственных значений 1, ..., n , ... При этом обычно n .

2.Соответствующая система собственных функций U1(x), …, Un (x), … всегда может быть сделана ортонормированной, т.е. она обладает свойством

a	1	при	k m,
Uk (x)Um(x)dx		при	k m.
b	0

3. Ортонормированная система собственных функций Uk (x) образует полный базис в пространстве L2(a,b), т. е. каждая функция (x) из L2(a,b) однозначно представима в виде ряда Фурье:

b

(x) nUn (x) ; n (x)Un (x)dx.

n 1

a

Эти свойства системы собственных функций послужили основой для разработки одного из наиболее эффективных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных – метода разложения решения в ортогональный ряд. Различные обобщения краевой задачи (3.1), (3.2) привели к возникновению одного из основных разделов функционального анализа – спектральной теории операторов13 .

Второе направление, основанное на теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, основывается на применении функции Грина. Ее использование позволяет установить связь краевых задач с интегральными уравнениями. Действительно, рассмотрим краевую задачу (3.1), (3.2).

Пусть G(x,s), a x, s b, – функция Грина однородной краевой задачи

d

p(x)

du

q(x)u 0,

a x b,

dx

dx

du(a)

du(b)

(3.4)

Au(a) B

0,

A u(b) B

0.

1

1

dx

2

2

dx

Тогда краевая задача (3.1), (3.2) сводится к интегральному уравнению

101

b

u(x) G(x,s) (s)u(s)ds,	a x b.	(3.5)
a
Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться
теоремой 1. Нужно лишь вместо функции	f (x) взять	(x)u(x). Можно

доказать и обратное: решение уравнения (3.5) является решением краевой

задачи (3.1),

(3.2).

Если дополнительно предположить,

что (x) 0

при

a x b, то уравнения (3.5) можно упростить следующим образом.

Умножим обе его части на

и введем новую неизвестную функцию

(x)

v(x), положив v(x)

u(x) . Тогда уравнение (3.5) приводится к виду

(x)

b

K(x,s)

G(x,s)

v(x) K(x,s)v(s)ds;

(x)

(s)

.

(3.6)

a

G(x,s)

Выше

было

показано,

что

функция

симметрична,

т.е.

G(x,s) G(s,x) при

x,s [a,b].

Поэтому интегральное уравнение (3.6) имеет

симметричное ядро K(x,s). Теория интегральных уравнений с симметричным ядром нашла широкое приложение в физике и механике. В этой теории наряду с однородными интегральными уравнениями вида (3.6) рассматриваются и неоднородные уравнения14

b

v(x) K(x,s)v(s)ds F(x).

a

Они послужили основой для направления в современном функциональном анализе – теории вполне непрерывных (компактных) операторов.

§4. Интегрирование уравнений с помощью рядов Фурье

Исследуя вопрос о возможности представления решений дифференциальных уравнений рядами, необходимо рассмотреть случай построения решения в виде рядов Фурье.

Типичным примером такой задачи является построение периодического решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Пусть в уравнении y p1y p2 y f (x), p1, p2 = const,

f (x) – 2 -периодическая функция,								допускающая разложение в равномерно
сходящийся ряд Фурье			a
	f (x)		0				ak coskx bk sinkx.			(4.1)
	2						k 1
Периодическое решение уравнения (4.1) ищем также в виде ряда Фурье:
			A
	y(x)			0			Ak coskx Bk sinkx.			(4.2)
	2						k 1
Подставляя ряды (4.1) и (4.2) в уравнение y p1y p2 y f (x)										и приравнивая
коэффициенты при	cos(kx)						и	sin(kx),	получаем	бесконечную
последовательность равенств для определения A0 ,									Ak , Bk :

102

A0 p2 a0 ,

(4.3)

A [(p

2

k2 )2

p2k2

] (p

2

k

2 )a

pkb ,

k 1,2,…

(4.4)

k

1

k

1

k

B [(p k2)2

p2k2

] (p

2

k

2 )b

pka

,

k 1,2,…

(4.5)

k

2

1

k

1

k

Подробно рассмотрим уравнения (4.3), (4.4), (4.5).

A0

a0

,

1 2

Если p2 0,

Если p2 0, то

где

a0

f (x)dx.

то для

p2

2 0

существования решения уравнения (4.3) необходимо, чтобы выполнялось

условие a0 0	(правая часть не содержит нулевой гармоники).				Тогда A0	–
произвольная	постоянная,	входящая в		общее решение	уравнения
y p y f (x).	Если же p 0		и a 0,	то периодического	решения	не
1	2		0

существует.

Переходим к уравнениям (4.4), (4.5). Если p1 0 (это означает наличие трения в системе, описываемой уравнением (3.6)), то уравнения (4.4) и (4.5) разрешимы и

(p

k

2)a

p kb

(p

2

k

2)b p ka

k

A

2

k

1

k

;

B

k

1

.

(4.6)

k2)2

(p

k2)2

p k2

k

2

k

(p

2

p2k2

1

1

Если p1 0 (трение отсутствует), то уравнения (4.2), (4.3) принимают вид

A (p

2

k2) a

k

,

B

k

(p

2

k2) b .

(4.7)

k

k

Уравнения (4.7) разрешимы относительно Ak и Bk

в двух случаях:

1) если p k2

, k . Тогда

2

ak

1

1

2

Ak

f (x)cos kxdx,

p2 k2

p2 k2

0

b

1

1

2

Bk

k

f (x)sinkxdx, k 1,2,...

(4.8)

p2 k

2

p2

k

2

0

и существует периодическое решение уравнения (3.6), определяемое формулой

(4.2);

2) если для некоторого k0 выполнено				p2 k02				и при этом значении k0
одноименные коэффициенты Фурье ak			и bk	равны нулю:
			0	0
	1	2				1	2
ak0		f (x)cos(k0x)dx 0,
				bk0				f (x)sin(k0x)dx 0.
		0						0

Иначе говоря, в составе f (x) отсутствуют резонирующие гармоники. В этом случае уравнения (4.7) принимают вид Ak0 0 0; Bk0 0 0. Отсюда следует,

что Ak0 и Bk0 остаются произвольными постоянными. Действительно, при

103

p

0, p

2

k

2

сумма

A

cos k

0

x B

sin k

0

x

при любых A

и

B

k0

1

0

k0

k0

k0

входит в состав общего решения однородного уравнения.

Остальные

коэффициенты Ak0 , Bk0

при

k k0 определяются

по

формулам (4.7). Периодическое решение уравнений (3.6) существует.

Если же

p

0, p

2

k

2 , но хотя бы один из коэффициентов

a

k0

и

b

1

0

k0

отличен от нуля, периодического решения уравнения (3.6) не существует.

Действительно, для k0 -гармоники имеем уравнение (резонансный случай)

y k02y ak0 cosk0x bk0 sink0x,

в общее решение которого входит непериодическая функция x(Ak0 cosk0x Bk0 sink0x).

Замечание. Если функция f (x) разложима в равномерно сходящийся ряд Фурье, то ряд (4.2) для функции y(x) с коэффициентами Ak и Bk , определяемыми формулами (4.6) или (4.7), допускает двукратное почленное дифференцирование, оставаясь равномерно сходящимся.

Действительно, из (4.7) следует, что Ak			O(	ak	), Bk	O(		bk	) и после
				k2
								k2
двукратного дифференцирования коэффициенты ряда для							y (x) будут
отличаться от	ak и bk	в равномерно сходящемся ряде (4.1)					на множители
порядка O(1) .	Значит,	ряд для y (x) будет,	как и		ряд	(4.1), равномерно

сходящимся, и ряд (4.2) допускает двукратное почленное дифференцирование.

Пример 1. Найдем периодическое решение уравнения y (x) 4y								coskx	.
							k 3 k2
Неоднородность	в	правой части				coskx	мажорируется сходящимся
					k 3 k2
			1
числовым рядом				, поэтому	сходится равномерно для x R и имеет
	k 3 k2

непрерывно дифференцируемую конечную сумму – функцию S(x) C (R).

Для нашего уравнения

получаем:

p1 0; p2

4 22 ;

a0 0;

ak

1

;

bk 0,

k2

k 3,4,..

Для

правой части (суммирование начинается

с

k 3,

coskx

f (x)

)

выполнено условие

p2 k2 ,

k 3,4,... . В правой

части

k 3

k2

Ak

отсутствуют гармоники cos2x и sin2x. Поэтому k 3,4,... коэффициенты

104

и

Bk существуют и

находятся

по

формулам

Ak

1

;

Bk 0,

k

2(4 k2)

k 3,4,... . Таким

образом,

периодическое

решение

исследуемого

~

coskx

неоднородного уравнения имеет вид

y(x)

, а все периодические

2(4 k

2)

k 3 k

coskx

, A2 ,

решения содержатся в формуле

y(x) A2 cos2x B2 sin2x

B2

k 3 k

2(4 k2)

– произвольные постоянные.

1.syms Sum Sum1 x k % Инициализируем символьные переменные % Решаем уравнение с частичной суммой в правой части

2.Sum=dsolve('D2y=-4*y+cos(3*x)/9+cos(4*x)/16+cos(5*x)/25','x');

3.pretty(Sum); % Отображаем формулу построенного решения

% Программируем решение, построенное в рассмотренном примере

4.Sum1=0*cos(2*x)+0*sin(2*x)+symsum(cos(k*x)/(k^2*(4-k^2)),k,3,15);

5.pretty(Sum1); % Отображаем формулу построенного решения

6.x = -3:.05:7; % Задаем интервал изменения аргумента

%Произвольные константы в решении С1 и С2 можно задать так:

%С1 = 0; С2 = 0; если это позволяет версия среды Matlab

%Индексы при произв. константах C корректируем самостоятельно 7. C1 = 0:0.0000001:0.00002; % Задание констант в нашей версии

8. C2 = 0:0.0000001:0.00002;

9. xlabel('X axis'); ylabel('Y axis'); hold on; % Рисуем графики 10. plot(x, subs(Sum),'r'); plot(x, subs(Sum1),'.b');

11. legend('Fourier series','Analytical solution'); % Легенда

105