§3. Устойчивость по первому приближению

Если изучаемая система является нелинейной, то расположение траекторий в окрестности точки покоя x10,x20 «в малом» можно исследовать, как и в линейном случае, по корням характеристического уравнения, в котором

матрица	A имеет элементы a			dfi	(x10,x20 ). Однако это можно делать только в
		ik		dx
				k		т. е. когда Re i 0	и 1 2 .
случае, как принято говорить,			грубой системы,
Если же	Re 2 0	или 1 2 , то даже «в				малом» матрица	линейного

приближения не дает ответа относительно расположения траекторий: оно определяется членами более высокого порядка в разложении f1 и f2 в

окрестности точки x10,x20 .

Замечание. В случае нелинейной системы может быть несколько и даже бесконечно много изолированных точек покоя. При этом глобальное расположение траекторий удается исследовать лишь для некоторых отдельных классов уравнений.

Предположим, что правые части системы

	xi f (x1, ,xn),
		(3.1)
т. е. функции fi x1, ,xn ,	xn f (x1, ,xn),
	i 1,2, ,n дифференцируемы в начале координат

достаточное число раз. Разложим их по формуле Тейлора в окрестности начала

n			fi 0, ,0
координат: fi aij xj Fi x1, ,xn , где aij					, а Fi	– члены второго
			xj
j 1
порядка малости относительно		x1, ,xn . Тогда исходная система (3.1) может
n		F1 x1, ,xn , …, xn		n		Fn x1, ,xn .
быть записана в виде x1 a1j xj				anj xj
j 1				j 1
Рассмотрим систему	n
xi	aij xj , i 1,2, ,n,					(3.2)

j 1

называемую системой уравнений первого приближения для системы (3.1). Тогда справедливы следующие утверждения.

I. Если все корни характеристического уравнения системы (3.2) имеют отрицательные действительные части, то точка покоя системы (3.2), а также исходной системы (3.1) асимптотически устойчива.

II. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы (3.2) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (3.2) (и системы (3.1)) неустойчива.

Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы (3.1) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях такое

130

исследование, вообще говоря, невозможно, поскольку начинает сказываться

влияние членов второго порядка малости.

Пример.

Исследовать

на

устойчивость точку

покоя нелинейной системы

2x

8sin y,

y

2

e

x

3y

cos y. Разлагая

функции sin y,cos y,e

x

по

x

формуле Тейлора и выделяя члены первого порядка малости, можем переписать

2x

8y

1(x, y),

x

3y

2 (x, y), где 1, 2

исходную систему в виде x

y

–

члены

второго

порядка

малости относительно x и y. Соответствующая

система

уравнений

первого

приближения

вида

(3.2)

запишется

в виде

2x

8y,

x

3y .

Корни

ее

характеристического уравнения

x

y

1,2 ( 1 i

имеют

отрицательные

действительные части.

Поэтому,

7)/2

согласно вышеизложенному, точка покоя этой и исходной систем устойчива. Задачи для решения. Исследовать на устойчивость по первому приближению точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений:

1.

1

e

x

1

9y,

y

1

x sin y

. 2.

5x

3

y

.

3x

2y

y

e

x

4

5

x

ycos y, y

3.

x

7x

2sin y, y

e

x

3y

1. 4. x

3

x

1

sin2y ,

y

2x.

2

2

y

§4. Нелинейные системы. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Поскольку подход,

использующий линеаризацию нелинейной системы,

не всегда дает ответ об устойчивости решений, А. М. Ляпуновым был предложен другой метод, в котором заданной системе уравнений сопоставляется функция аргументов x1,...,xn , называемая функцией Ляпунова.

По свойствам функции Ляпунова делается вывод об устойчивости решения. Пример. Рассмотрим идею метода для следующей дифференциальной системы:

x1

A

dx1

x

x

f

,

dx2

2x

f

. (4.1)

dt

dt

1

2

1

2

2

Известно, что тривиальное решение этой

системы

устойчиво,

поскольку

1

1 0,

2 2 0. Однако, для того чтобы убедиться в

x2 устойчивости

тривиального

решения,

можно

рассуждать и по-другому. Рассмотрим функцию

V x

x

2

2x2 x2.

Эта

функция положительна

1,

1

2

	всюду,					кроме точки		x1 0,	x2 0, где она
Рис. 2	обращается в нуль. В пространстве переменных
	x	1	,	x	2	, V уравнение		V 2x2	x2		определяет
								1	2
	параболоид с вершиной в начале координат.
Линии уровня этой поверхности в						плоскости	x1,x2 являются				эллипсами.
Зададим произвольно малое	.			Построим на			плоскости		x ,x	2	круг
									1

131

радиусом . Возьмем одну из линий уровня – эллипс, целиком лежащий внутри

круга		. Построим другой	круг			, целиком лежащий внутриэллипса (рис. 2).
Пусть начальная точка A x ,x				2,0	лежит внутри .
		1,0						gradV, f . Если вместо
Рассмотрим функцию двух переменных W x ,x							2
			x1 t ,			1
x1 , x2	подставить решение					x2 t системы (4.1), то полученная таким

образом функция от t будет представлять собой полную производную dV от dt

V x1 t ,x2 t вдоль траектории решения системы (4.1). Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет

означать, что такая траектория не сможет покинуть . В противном случае

между t 0 и значением t t1, при котором она попадает на границу ,

найдется

значение

t t*,

для

которого выполнено

dV

0, поскольку

V x t ,x

t V x

.

dt

2

,x

2,0

То, что ни одна траектория,

начинающаяся в ,

1

1

1

1,0

не покидает ни при одном t 0

круг , означает устойчивость тривиального

решения.

Таким образом, следует проверить знак dV dt вдоль траектории. Для

этого надо знать саму траекторию. В примере это можно сделать. Но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которой x1 t , x2 t нельзя выписать явно и тем самым проверить нужное неравенство. Поэтому потребуем, чтобы функция W x1,x2 была неположительной как функция двух независимых переменных x1 , x2, в некоторой окрестности 0,0 . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы, не зная решения. В примере так и будет, поскольку W x1,x2 2 x1 x2 2 x12 x22 0 всюду на плоскости x1,x2 , а тем самым вдоль любой траектории, таким образом, устойчивость тривиального решения гарантирована.

Функция V x1,x2 , участвующая в этих выкладках, и есть функция Ляпунова для рассматриваемого примера. Она имеет вид квадратичной формы 2x12 x22 . Хотя вместо 2x12 x22 можно было взять другую функцию, потребовав чтобы она была положительной всюду, кроме точки 0,0 , где она обращается в нуль, а выражение (gradV, f ) W(x1,x2) было неположительным.

Замечание. Еще раз отметим, что в приведенных рассуждениях важны как положительность функции V , так и неположительность функции W , значение которой вдоль траектории представляет собой полную производную от V по t вдоль траектории.

Сформулируем некоторые общие теоремы, в основу которых положена изложенная выше идея. Рассмотрим автономную систему:

132

x1 f1(x1, ,xn),
					fi 0, ,0 0,	i 1,2, ,n.	(4.2)
...........................
x	f	n	(x , ,x ),
n			1	n

Будем исследовать устойчивость точки покоя системы (4.2) при помощи функции Ляпунова V x1, ,xn .

Верны следующие теоремы Ляпунова:

Теорема 1 (об устойчивости). Если существует дифференцируемая функция V(x1, ,xn), удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:

	1)	V(x1, ,xn) 0, причем V 0				лишь при x1 xn 0 ;
				dV	n	V
	2)	W(x) (	gradV, f (x) )				fi(x1, ,xn) 0,
				dt		x
					i 1

то точка покоя системы (4.2) устойчива.

Пример. Приведем пример системы, когда аппарат о первом приближении неприменим, а функция Ляпунова дает ответ. Рассмотрим следующую

нелинейную систему:	dx1	2x		2	x3 sin2 t,		dx2	3x	x5	. Выберем следующую
	dt					1	dt	1	2
функцию: V(x) 3x2	2x2		0.			Тогда		W(x,t) 6x4 sin2 t 4x6				0.
1	2									1	2

Следовательно, согласно теореме тривиальное решение устойчиво. Линеаризация здесь ответа не дает, так как характеристические числа матрицы первого приближения являются чисто мнимыми.

Задачи для решения. Исследовать на устойчивость следующие системы дифференциальных уравнений:

1.x x y x3 y2 , y x y xy .

2.x xy4 , y x4 y.

								2		2	1					5										3				1				3
3.	x		y			x			y						x		, y			2x				2x				y					y		.
												4																				2
4.					x	3	y		2			x		2	y	3				x	3	y	2				x		2		y	3	.
	x																, y

Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если существует

дифференцируемая функция

V x1, ,xn ,

удовлетворяющая в окрестности

начала координат следующим условиям:

1)

V x1, ,xn 0, причем V 0 лишь при x1

xn

0;

dV

n

V

dV

2)

W(x) (

gradV, f (x) )

fi x1, ,xn 0,

причем

0 лишь при

x1 xn

dt

i 1

x

dt

0,

то точка покоя системы (4.2) асимптотически устойчива.

Пример. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость точку покоя системы x x y , y 2y3 x . В качестве функции Ляпунова возьмем

133

V x2 y2 . Тогда	dV	2x x y 2y 2y3 x 2 x2	2y4 , и функция V
	dt

вместе с dV удовлетворяет условиям теоремы 2. Значит, точка покоя системы dt

асимптотически устойчива.

Задачи для решения. Исследовать на асимптотическую устойчивость точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений:

1.x x y, y x 3y .

2.x 2x y, y x y.

3.

x

3y

2

,

xy

y

3

.

x

y

2x

2x

2y

4.

1 x2 2

2y ,

1 x2 2

1 x2 2 .

x

y

Теорема 3 (о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция V x1, ,xn , удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим

условиям:

1) V x1, ,xn 0 и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в

которых V x1, ,xn 0;

dV

n

V

dV

2)

fi x1, ,xn 0, причем

0 лишь при x1

xn 0,

dt

i 1

x

dt

то точка покоя системы неустойчива.

Пример.

Исследовать

на устойчивость точку покоя

следующей

системы:

x

x(2

y .

Возьмем функцию V x, y x

2

y

2

.

Тогда

получаем

cosx), y

dV

2x2 (2 cosx) 2y2

2(2x2 y2 x2 cosx) 2(x2 2x2

cos2

x

y2 ) 0 всюду,

2

dt

кроме начала координат. Кроме того, сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых V 0 (например, вдоль прямой y 0 V x2 0). Следовательно, выполнены условия теоремы 3 и точка покоя неустойчива.

Замечание. Недостаток метода заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций V x . Однако, для ряда важных классов дифференциальных систем такое построение возможно.

Задачи для решения. Исследовать на неустойчивость следующие системы дифференциальных уравнений:

1. x y x3 , y x y3 .

		y		x	5	,			x		y	5	.
2. x							y

3. x 2x 4xy2 , y y 2x2 y.

134