того же остаточного члена при фиксированном п и x x0 дает асимптотическую формулу.

Еще раз подчеркнем, что если функция допускает дифференцирование только до некоторого порядка, то говорить о сходимости ряда нельзя, а о построении асимптотики возможно.

§3. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме

Системой дифференциальных уравнений, разрешённых относительно старших производных, называется система следующего вида:

y1	(m1) f1(t, y1, y1',..., y1	(m1 1) ,..., yn , yn ',..., yn(m1 1) ),
………………………………………………			(3.1)
yn(mn ) fn (t, y1, y1',...,y1(mn 1),...,yn, yn',...,yn(mn 1) ).
Число N=m1 ... mn называется порядком системы (3.1). Напомним,			что

нормальной системой, или системой уравнений, разрешённых относительно производных от неизвестных функций, называется система вида

y1' f1(t, y1,...,yn ),

......…………….	(3.2)
yn ' fn (t, y1,..., yn ) .

Систему (3.1) всегда можно привести к виду (3.2). Полагая в системе (3.1)

z

y ,

z

2

y'

,..., z

m

y(m1 1) ,…,

zm ... m

n 1

1 yn ,

zm ... m

n 1

2

y'n ,...,

1

1

1

1

1

1

(mn 1)

1

z

N

y

, получаем нормальную систему относительно функций

z ,...,z

N

.

n

1

Поэтому, не ограничивая общности, можно рассматривать нормальные

системы.

Отдельно отметим, что частным случаем системы (3.1) является одно

уравнение n-го порядка

y(n) f (t,y,y',...,y(n 1) ),

которое

также

всегда

можно

свести

к нормальной

системе. Полагая z

y

, z

2

y',...,

z

n

y(n 1) ,

получаем

1

z'1 z2 ,

z'2

z3

,…, z'n 1 zn ,

z'n f (t,z1,z2,...,zn ).

Решением системы

(3.2) на

интервале

T

называется

упорядоченная

совокупность непрерывно дифференцируемых функций

y1 1(t),…, yn n (t),

t T ,

(3.3)

которые при подстановке в систему обращают все её уравнения в тождества. Множество всех решений системы (3.1) или (3.2) называется общим решением

этой системы.
Уравнения (3.3) задают на интервале T в пространстве			переменных
(t,y1,...,yn ) интегральную кривую системы. Если множество функций
yi i (t,C1,...,Cn ) , i		,	(3.4)
	1,n

44

удовлетворяющих системе (3.2), где C1,...,Cn – произвольные постоянные,

позволяет за счёт выбора C1,...,Cn получить любую интегральную кривую системы (3.2), то (3.4) является общим решением системы (3.2).

Нормальные системы допускают более простую форму записи в векторно-матричных обозначениях. Введём обозначения:

Y ( y1(t)... yn (t))T , F(t,Y) ( f1(t,Y)... fn (t,Y))T .

Тогда систему (3.2) можно записать в виде векторного уравнения Y' F(t,Y). Формулы (3.4) в векторной записи имеют вид

Y (t,C),

C (C ,...,C )T ,

(3.5)

1

n

где C – произвольный постоянный вектор. Выражение (3.5)

будет общим

решением системы (3.2) в тех же случаях, что и формулы (3.4).

Если общее решение системы (3.2) может быть неявно задано системой n

независимых уравнений

i (t,y1,...,yn ) Ci , i

,

(3.6)

1,n

то систему (3.6) называют общим интегралом системы (3.2).

Любое из соотношений (3.6) называют первым интегралом системы (3.2).

Иногда первым интегралом называют любую

функцию

i (t,y1,...,yn ) ,

входящую в (3.6).

Если функция i(t,y1,...,yn)

непрерывно

дифференцируема, то её

производная в силу системы (3.2) равна нулю:

d i

i

n

i

y'j

y'

f (t,y

,...,y

) 0

t T .

j

n

dt

t

j 1

yj

1

Иначе говоря, первый интеграл обращается в постоянную вдоль любого

решения (3.4) системы (3.2).

Для независимости n первых

интегралов

необходимо и достаточно,

1

y1

1

y2

...

1

yn

чтобы якобиан J

D( 1, 2,..., n)

2

y1

2

y2

...

2

yn

........................................................

D(y1,y2,...,yn)

y1

y2

...

yn

n

n

n

функций i (t,y1,...,yn ) по последним n аргументам y1,y2,...,yn

не обращался

тождественно в нуль: J 0.

Если известны т (1 ≤ т ≤ п) первых интегралов, то исходная задача

интегрирования системы (2.2) с n неизвестным исключением

m переменных

сводится к более простой задаче интегрирования системы с

n m

неизвестными.

Если требуется найти решение системы (3.2), удовлетворяющее условиям yi (t0 ) yi0 , i 1,n, то говорят, что для системы (3.2) поставлена задача Коши

45

fi (.)

yi ' fi (t, y1,..., yn ),

yi (t0 ) yi0 ,

и записывают её в виде

i 1,n

либо в векторной

форме

Y(t0 ) Y0 .

Y' f (t,Y) ,

(3.7)

Теорема Коши. Пусть в системе (3.2) функции

fi (t, y1,..., yn ) , i

,

1,n

d

y0

b , i

.

определены в

(n 1)-мерной области

D:

t t

a,

y

1,n

0

i

i

i

Пусть, далее, в области D функции fi (t, y1,..., yn )

непрерывны по совокупности

своих

аргументов и

удовлетворяют

условию

Липшица

по

переменным

n

fi (t,

y

1,...,

y

n ) fi (t,

y

1,...,

y

n )

N

y

j

y

j

. Тогда на

отрезке t0 ,t0 H , где

j 1

M maxmin f

i

, b minb существует единственное решение задачи Коши (3.7).

i

D

i

i

3.1. Автономные системы. Точки покоя. Важнейшей моделью нормальной системы являются уравнения движения механических систем. Роль неизвестных функций играют при этом координаты и скорости. Роль независимой переменной t играет время. Производные по t принято по

	dy			dy	2
традиции обозначать точкой		y	,			y	,… В n-мерном пространстве
	dt			d2t

переменных y1,..., yn решение (3.3) описывает движение точки ( y1(t),..., yn (t)) в зависимости от t как от параметра. Это пространство называют фазовым пространством. Кривую, описываемую параметрическими уравнениями (3.3) в фазовом пространстве, называют траекторией точки ( y1,..., yn ). Очевидно, что траектория точки ( y1,..., yn ) в фазовом пространстве есть проекция интегральной кривой (3.3) в пространстве переменных (t, y1,..., yn ) на фазовое пространство.

В частном случае, когда неоднородности не зависят явно от времени, система (3.2) называется автономной:

y1' f1(y1,..., yn ), y2 ' f2 (y1,...,yn),…, yn ' fn (y1,..., yn ) .

В автономной системе скорость движения в фиксированной точке ( y1,..., yn ) остаётся неизменной с течением времени.

В фазовом пространстве траектория движения может обращаться в точку − постоянное решение. Такая точка называется точкой покоя либо

положением равновесия.

Точка ( y1,..., yn ) является точкой покоя системы (3.2) тогда и только тогда, когда fi (t, y10 ,..., yn0 ) 0 , t T .

Пример. Найти точки покоя автономной системы x' y x2 x, y' 3x x2 y. Координаты точки покоя (положения равновесия) системы определяются

46

алгебраической системой y x2 x 0, 3x x2 y 0, получающейся приравниванием нулю правых частей системы дифференциальной системы.

Решая нелинейную алгебраическую систему, находим точки покоя x 0, y 0
и x 1,	y 2. В пространстве переменных (t,x,y) уравнения x 0, y 0 и

x 1, y 2 определяют две прямые, вдоль которых сохраняются постоянные

значения функций x(t) и y(t). На фазовой плоскости xOy уравнения x 0,
y 0 и	x 1, y 2 определяют две неподвижные при изменении t точки –

точки покоя рассмотренной системы.

Задачи для решения

Найти точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений:

1.	x' x2	y;	y' ln(1 x x2 ) ln3. 2.	x' (2x y)(x 2);	y' xy 2.
3.	x' x2 y;		y' x2 (y 2)2 .

3.2. Приведение системы дифференциальных уравнений к одному уравнению. Одним из подходов интегрирования нормальной системы уравнений (3.2) является приведение её к одному уравнению n-го порядка либо нескольким уравнениям порядка, меньшего, чем n. Пусть функции

fi (t,y1 ,..., yn ) имеют непрерывные частные производные до n 1-го порядка по всем аргументам. Предположим, что подстановкой некоторого решения y1(t),..., yn (t) все уравнения (3.2) обращены в тождества. Продифференцируем,

например, первое из этих тождеств

по t

n 1

раз, заменяя каждый раз

производные yi '(t) в силу уравнений (3.2). Получим n тождеств вида

y1' f1(t,y1,...,yn ),

y1'' F2 (t,y1,...,yn ),…,

y (n 1)

F

(t,y ,...,y

n

),

y (n)

F (t,y ,...,y

n

).

(3.8)

1

n 1

1

1

n

1

Предположим, что в рассматриваемой области якобиан

f1

y2

f

y

.........

f

y

1

3

1

n

D( f 1,F 2,...,F n 1)

F2

y2

F

y

.........

F

y

J

=

2

3

2

n

..............................................................

D(y2,y3,...,yn)

Fn 1 y2

F

y

...

F

y

n 1

3

n 1

n

первых n 1 функций

f1,

F2 ,…,

Fn 1

по переменным y2,y3,..., yn отличен от

нуля: J 0.

n 1

Разрешаем первые

уравнений (3.8)

относительно

переменных

y

2

,..., y

n

. Они будут выражены через

t,y' ,...,y

(n 1) . Подставляя найденные

1

1

выражения в последнее из уравнений (3.8), получаем уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции y1 :

y(n) F(t,y , y'			,..., y(n 1) ).	(3.9)
1	1	1	1

47

Решая уравнение (3.9), находим функцию y1(t) , а затем подставляем её производные в полученные выше выражения для y2 (t),..., yn (t).

Замечание. Проведенные преобразования показывают, что нормальную систему не всегда можно привести к уравнению n-го порядка. Например, система y'1 y1 , y'2 y2 , не приводится к уравнению второго порядка.

Пример 1. Решить систему уравнений

x' y x2, y' y(2x 3) 2x3 3x2 2x. (3.10)

Попытаемся свести систему (3.10) к уравнению второго порядка. Дифференцируя первое из уравнений (3.10) и заменяя образующиеся производные в силу (3.10), получаем систему

x' y x2;	(3.11)
x'' y' 2xx' 3y 3x2 2x.

Исключая y из второго уравнения (3.11), приводим систему (3.10) к виду,

допускающему последовательное определение x и y: x'' 3x' 2x 0, y x' x2 ,

откуда получаем x C1et C2e2t , y C1et 2C2e2t (C1et C2e2t )2 .

Пример 2. В некоторых случаях систему n уравнений первого порядка можно свести не к уравнению n-го порядка, а только к нескольким уравнениям меньшего порядка, чем n. Например, систему x' y, y' x, z' z можно свести лишь к уравнениям x'' x, z' z и невозможно свести к уравнению 3-го порядка.

Задачи для решения

Свести дифференциальные системы к дифференциальным уравнениям более высокого порядка:

1. x'' y, y'' x. 2. x'' 3x y, y' 2x. 3. x' y2 sint, y' x/2y.

3.3. Интегрируемые комбинации. Другим подходом к интегрированию нормальной системы уравнений (3.2) является метод интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений системы (3.2), которое получается обычно путём арифметических операций и может быть легко проинтегрировано. Стремятся получить уравнение вида dФ(t, y1,..., yn ) 0 или уравнение, сводящееся заменой переменных к интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Для отыскания интегрируемых комбинаций часто бывает удобно перейти к симметричной форме записи системы дифференциальных уравнений:

		dy1			...			dyn				dt
													.	(3.12)
f	1	(t,y ,...,y	n	)		f	n	(t,y ,...,y	n	)		1
		1						1

В симметричной форме системы (3.12) все переменные входят равноправно, что часто облегчает нахождение интегрируемых комбинаций.

Прежде всего выбирают пары соотношений, допускающие разделение переменных. В других случаях полезно использовать свойство равных дробей:

48

a1

a

2

...

am

k1a1

k2 a

2

... km am

,

(3.13)

b1

b

bm

k1b1

k2b

2

2

... km bm

выбирая произвольные коэффициенты ki удобным образом, например, числитель есть дифференциал знаменателя, либо числитель есть полный дифференциал, а знаменатель равен нулю (в этом случае пропорции рассматриваются как равенства произведений средних и крайних членов).

Пример 1. Решить систему		dx		dy		dz	. Из первого равенства нашей системы,
		y		x
						z
допускающего	разделение		переменных, получаем xdx ydy 0 либо
d(x2 y2 ) 0,	откуда выписываем первый интеграл x2 y2 C1 . Запишем для

исследуемой системы свойство (3.13):

dx

dy

dz

k1dx k2dy k3dz

. Полагая

y

x

z

k y k

2

x k

z

1

3

k1 1,

k2 1,

k3 0,

получаем

dz

dx dy

,

откуда

d(x y)

dz

и,

z

z

y x

y x

следовательно,

другой

интеграл

имеет вид

x y C2z. Якобиан найденных

интегралов по переменным

x

и y

равен

2x

2y

2(x y). Матрица Якоби

1

1

имеет ранг 2 при

x y 0. Следовательно,

при

x y

найденные интегралы

независимы, и их совокупность даёт общий интеграл исходной системы.

Пример 2. Решить систему

dx

dy

dz

dt

. Запишем для заданной

y z

x y

z x

1

k1dx k2dy k3dz

dx

dy

dz

системы

свойство

(3.13):

.

y z

z x

x y

k (y z) k

2

(z x) k

3

(x y)

1

Полагая

k1 k2

k3 1,

получаем

dz

dx dy dz

, откуда

d(x y z) 0

и,

x y

0

следовательно, один из первых интегралов имеет вид

x y z C1.

Полагая

k1 x, k2 y, k3 z, получаем

dz

xdx ydy zdz

, откуда d(x2 y2

z2 ) 0

x y

0

и, следовательно, другой первый интеграл имеет вид x2 y2 z2 C2 .

Задачи для решения

Решить следующие системы дифференциальных уравнений:

1.

x' x2 y2 , y' 2xy. 2. x' x/ y, y' y/x. 3. x' y/(x y), y' x/(x y).

4.

x' sinxcosy,

y' cosxsin y. 5.

dt

dx

dy

. 6.

dt

dx

dy

.

ty

t

x

xy

yt

xt

7.

dx

dy

dz

. 8.

dx

dy

dz

. 9.

dx

dy

dz

. 10.

dx

dy

dz

.

2y z

y x

x y

y

x

xy z

y

z

x z

z

xz

y

49