функции

e2x cos3x,

e2x sin3x.

Следовательно,

общее

решение

y 4y 13y 0 будет иметь

вид y e2x (C1 cos3x C2 sin3x).

Пример 4.

Решаем

уравнение

4y(4) 4y(2)

y 0.

Характеристическое

уравнение

4 4 4 2

1 0

либо

(2 2 1)2

0

имеет

два

комплексно

сопряженных корня

1

i кратностью два.

Следовательно, фундаментальная

2

x

x

x

x

система решений имеет

вид

cos

, xcos

, sin

,

xsin

. Отсюда

2

2

2

2

получаем общее решение:

y (C C

2

x)cos

x

(C

3

C

4

x)sin

x

.

1

2

2

Задачи для решения
Найти общие решения уравнений:
1.	y y 2y 0. 2. y 25y 0. 3. y y 0. 4. y 4y 4y 0.
5.	yIV 2y y 0. 6. yIV a4 y 0. 7.	yIV 5y 4y 0.

Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям:

1.	y 5y 6y 0;		y(0) 1, y (0) 6.
2.	y 10y	25y	0; y(0)		0,		y (0) 1.
3.	9y y 0			) 2,	y (	3		) 0.
		; y(3	2				2

4.y 9y 0; y(0) 1, y ( 4) 1.

5.y y 0; y (0) 1, y ( 3) 0.

§2. Линейные неоднородные уравнения

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

Ly y(n) a (x)y(n 1)	... a	n	(x)y f (x)	(2.1)
1

Теорема 4 (принцип суперпозиции). Пусть в уравнении (2.1) правая часть

f (x) является линейной	комбинацией		функций						fi(x), i 1,m,	т.е.
f (x) im1 i fi(x), где i	– постоянные числа, и пусть функции									yi(x)
являются решениями уравнений
y(n) a (x)y(n 1) a				n	(x)y	i	f		(x).	(2.2)
i	1	i						i
Тогда линейная комбинация функций yi(x)			с теми же коэффициентами i , т.е.
функция y(x) im1 i yi (x)	будет решением уравнения (2.1).

64

Следствие. Разность двух решений неоднородного уравнения (2.1) удовлетворяет однородному уравнению Ly 0.

Если y1(x), , yn(x) – является ФСР однородного уравнения Ly 0, а ~y(x) – некоторое частное решение неоднородного уравнения (2.1), то общее

решение неоднородного уравнения (1.2) имеет вид

y(x) C1y1(x) Cn yn(x) ~y(x),

где C1, , Cn – произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения есть сумма любого частного решения неоднородного уравнения (2.1) и общего решения однородного уравнения (1.2).

Пусть требуется найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным условиям y(x0) y0, y (x0) y0, , y(n 1) (x0) y0(n 1) . Тогда говорят, что для уравнения (2.1) поставлена задача Коши и записывают ее в виде

y(n) a (x)y(n 1) a					n	(x)y f (x),
	1								(2.3)
y(x0 ) y0 ,		y (x0 ) y0 , , y(n 1) (x0 ) y0(n 1).
Если функции ai(x),i			, и функция f (x) непрерывны на интервале X ,
		1,n
то решение задачи Коши (2.3) существует и единственно всюду на X .
Пусть y1(x), , yn(x) – нормальная (при x x0 ) фундаментальная система
решений однородного уравнения Ly 0. Тогда решение задачи Коши
y(n) a (x)y(n 1) a							n	(x)y f (x),
	1
y(x0) A1,				y (x0) A2, , y(n 1)(x0) An
может быть представлено в виде								~	(2.4)
y A1y1(x) A2 y2(x) An yn (x) y(x),

где ~y(x) – частное решение неоднородного уравнения (2.1), удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Общими подходами к построению решения уравнения (2.1) на базе ФСР однородного уравнения является метод Лагранжа и метод Коши.

2.1. Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных). Пусть известна

ФСР y1(x), , yn(x), а значит,		и	общее решение однородного	уравнения
	n
Ly 0:	y(x) Ci yi (x), где	Ci	– произвольные постоянные.	Решение
	i 1
уравнения (2.1) будем искать в виде
			n
	y(x) Ci (x)yi (x),			(2.5)
			i 1

65

т.е. варьируя и полагая Ci некоторыми функциями переменной x,

подлежащими определению. Для определения Ci(x) получаем следующую систему уравнений:

C1(x)y1 C2(x)y2 Cn(x)yn 0,

C1(x)y1 C2(x)y2 Cn(x)yn 0,

…………………………………………… (2.6)

C1(x)y1(n 2) C2(x)y2(n 2) Cn(x)yn(n 2) 0, C1(x)y1(n 1) C2(x)y2(n 1) Cn (x)yn(n 1) f (x).

Это система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно переменных Ci(x). Определитель системы отличен от нуля, поскольку является определителем Вронского фундаментальной системы решений. Поэтому СЛАУ (2.6) имеет единственное решение, представление которого задается формулой

Ci(x)

ni(x)

f (x),

i

,

откуда

Ci (x)

находятся

непосредственным

1,n

(x)

интегрированием

ni(x)

C (x)

f (x)dx

,

= const.

(2.7)

C

Ci

Здесь (x)

i

(x)

i

–

определитель

Вронского фундаментальной

системы

решений

y1(x), , yn(x),

ni(x) – алгебраическое дополнение i -го элемента последней

строки этого определителя.

Подставляя найденные коэффициенты Ci(x) в искомый вид решения (2.5),

получаем

общее

решение

неоднородного

уравнения

(2.1)

в

виде

n

ni (x)

y(x)

y1(x)

yn(x) yi (x)

f (x)dx. Полагая

0,

C1

Cn

C1

Cn

i 1

(x)

находим частное решение неоднородного уравнения (2.1):

~

n

ni (x)

y(x) yi

(x)

f (x)dx.

(2.8)

(x)

i 1

Выбирая в (2.8) одну из первообразных вида

n

~y(x)

i 1

		x		ni	( )
yi	(x)					f ( )d ,	(2.9)
			( )
		x0

получаем частное решение уравнения (2.1),				удовлетворяющее в точке		x x0
~	~			~(n 1)
нулевым начальным условиям y	(x0) y				(x0) 0. В	этом
			(x0) y

можно убедиться непосредственным дифференцированием формулы (2.9) с использованием условий (2.6) и вида Ci(x).

Пример. Методом вариации произвольных постоянных построить общее решение неоднородного уравнения

66

y y

f (x), f (x)

1

.

(2.10)

sin x

y y 0

ФСР

соответствующего

однородного

уравнения

образуют

функции y1(x) sin x и

y2 (x) cos x. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

y C1 sin x C2 cos x.

Общее решение неоднородного уравнения

(2.10) ищем в виде y C1(x)sin x C2 (x)cosx,

т. е. считаем теперь C1 и C2

функциями x, подлежащими определению.

Для определения C1(x) и C2 (x)

составляем систему уравнений:

C

(x)sin x C

(x)cosx 0,

(2.11)

1

2

C1(x)cosx C2 (x)sin x f (x).

Система (2.11) имеет

единственное

решение,

так как ее определитель,

вронскиан

функций

sinx

и

cos x,

равен

1:

C1(x) cos x f (x),

C2 (x) sin x f (x),

откуда

следует,

что

C1(x) cosx f (x)dx

,

C1

C2 (x) ( sin x) f (x)dx

.

C2

и

– произвольные постоянные. Вычислив

C1(x) и C2 (x) для

Здесь

C1

C2

f (x)

1

и подставив их в искомый вид решения, получаем общее решение

sin x

y(x) (

sin x

)sin x (

x)cos x.

неоднородного уравнения (2.10) в виде

C1

ln

C2

Если положить

0

получившиеся C1(x) и

C2 (x) в

C1

C2

и подставить

искомый вид решения, то получится частное решение неоднородного

уравнения (2.10):
~	(2.12)
y sinx lnsinx xcosx.

1.clf;

2.syms x y LeftPart RightPart InHequation; % Инициализация

3.syms Title Message;

4.syms x_new y_new;

% Нахождение решения

5.LeftPart = 'D2y+y';

6.RightPart = '1/sin(x)';

7.InHequation = [LeftPart, '=', RightPart];

8.y = simplify(dsolve(InHequation, 'x'));

9.fprintf('y = ');pretty(y); % Печать решения

% График решения

10.Title = ['Integral Curves of Equation:', char(InHequation)];

11.Message = ['y = ', char(y)];

12.x_new = -2*pi : 0.1 : 2*pi;

13.for cycle1 = -5 : 1 : 5

14.val = cycle1;

15.y_new = subs(y, 'C2', val);

16.for cycle2 = -5 : 1 : 5

17.val = cycle2;

67

18.y_new = subs(y_new, 'C1', val);

19.y_new = real(double(subs(y_new, x_new)));

20.plot(x_new, y_new);

21.legend(char(Message));

22.hold on; end;end;

23.grid on;

24.title(char(Title));

25.xlabel('X axis');

26.ylabel('Y axis');

Задачи для решения

Методом вариации произвольных постоянных построить общее решение следующих уравнений:

1.	y y secx . 2.			y y	1	. 3. y y		1	. 4. y 2y 4x2ex2 .
					cosx			tanh x
5.	y 2y y	ex	. 6.	y 6y 5 tan x.
		x
2.2. Метод Коши. Зная ФСР					y1(x), , yn (x)		однородного уравнения Ly 0,

можно построить решение следующей специальной задачи Коши:

Ly 0, y( ) 0,

y ( ) 0, ,

y(n 2)( ) 0,

y(n 1) ( ) 1

(2.13)

68

с начальными условиями в некоторой произвольной точке x . Решение такой задачи зависит от , как от параметра. Обозначим это решение K(x, ). Функцию K(x, ) называют функцией Коши уравнения Ly f . Естественно искать функцию Коши – решение уравнения (2.13) – в следующем виде:

n
K(x, ) Ci( )yi(x),	(2.14)
i 1

где – параметр. Такая функция по переменной x удовлетворяет уравнению Ly 0. Подставляя K(x, ) искомого вида в начальные условия задачи (2.13),

получаем алгебраическую систему определителей Ci( ), аналогичную (2.6), откуда

C ( )	ni( )	,	(2.15)
i	( )

где, как и в формуле (2.7), ( ) – определитель Вронского системы функций y1( ), , yn ( ); ni( ) – алгебраическое дополнение i -го элемента последней строки.

Для функции Коши с учетом (2.14) и (2.15) получается выражение

n

K(x, )

ni( )

yi(x).

(2.16)

i 1

( )

Формулу (2.16) удобно записать в следующем виде:

y1( )

y2 ( )

yn ( )

( )

y

2( )

1

y1

yn ( )

K(x, )

.

(2.17)

( )

y

(n 2) ( )

y(n 2) ( )

y(n 2)

( )

1

2

n

y1(x)

y2 (x)

yn (x)

Числитель представляет собой определитель Вронского ( ) системы

функций y1( ), , yn ( ),

в котором

последняя

строка

заменена

функциями

y1(x), , yn(x). В n 1 строке

всюду –

аргумент ,

в последней строке –

аргумент x.

Зная функцию Коши, можно получить частное решение уравнения Ly f

в виде формулы Коши:

x

~

(2.18)

y(x) K(x, ) f ( )d

или с учетом (2.16):

x0

x

ni

( )

~

n

y(x) (

yi (x))f ( )d .

( )

(2.19)

x

i 1

0

69

x x0 удовлетворяет

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция ~y(x) вида

(2.19) является решением уравнения Ly f и в точке

нулевым начальным условиям: ~y(x0) ~y (x0) ~y(n 1) (x0) 0. Замечание. Подстановка в интегралы в формулах (2.18) и (2.19) нижнего

предела x0 дает некоторые постоянные, умножающиеся затем на функции yi(x) – решения однородного уравнения Ly 0. Иначе говоря, подстановка нижнего предела дает некоторое решение однородного уравнения.

Поэтому для поиска частного решения Ly f достаточно в формулах (2.18) и (2.19) ограничиться подстановкой верхнего предела. Символически для этого можно записать формулы для y(x) в следующем виде:

	~	n	x ni( )			x
						~
	y(x) yi		(x)		f ( )d	и y(x) K(x, ) f ( )d .
				( )
		i 1

Полученные таким образом частные решения могут не удовлетворять начальным нулевым условиям, как полученные по формулам (2.18) и (2.19).

Пример.	Найти	методом	Коши			частное			~	неоднородного
								решение y(x)
уравнения	y y f (x),		f (x)	1			, удовлетворяющее нулевым начальным
	~	~			sin x
условиям				Метод состоит					в представлении		частного
	y(x0 ) 0, y (x0 ) 0.
решения	~	неоднородного			уравнения			по	формуле	Коши	в виде
	y(x)
x
~										для построения
y(x) K(x, )f ( )d . Здесь K(x, ) – функция Коши,
x0

которой достаточно знать ФСР однородного уравнения. Построим функцию Коши для нашего уравнения.

Первый способ. Согласно (2.6) найдем функцию Коши как решение однородного уравнения y y 0 в виде K(x, ) C1( )sin x C2 ( )cos x,

где –	параметр, удовлетворяющем специальным следующим начальным
условиям	K(x, )		x 0,	Kx (x, )		x 1. Подставляя представление K(x, )
в начальные условия, получаем СЛАУ для определения C1( ), C2 ( ):
				C1( )sin C2( )cos 0,
				C1( )cos C2( )sin 1,
откуда находим C1( ) cos , C2 ( ) sin и K(x, ) sin(x ).
Частное решение имеет следующий вид:
				~		x		(2.20)
				y(x) sin(x ) f ( )d .
						x0
	~			при неоднородности f (x)				1
Конкретный вид y(x)									подсчитаем ниже.

sin x

70

Второй способ. Функция Коши может быть также найдена по формуле (2.17):

K(x, )

1

sin

cos

, ( )

sin

cos

1,

( )

sinx

cosx

cos

sin

откуда сразу получаем K(x, ) (sin cos x sin xcos ) sin(x ).

Непосредственно убедимся, что

частное решение (2.20)

удовлетворяет

~

~

~

нулевым начальным условиям y(x0 ) 0, y

(x0 ) 0. Действительно, y(x0 ) 0,

~

d

x

так как совпадают пределы интеграла, а

y (x0 )

sin(x ) f ( )d

x x0

dx

x0

x

1

sin(x ) f ( ) cos(x ) f ( ) 0.

Подставляя

в

(2.20)

f ( )

и

sin

x0

вычисляя интеграл, находим конкретный вид частного решения для заданной правой части уравнения (2.10):

~

x

1

(x) sin(x )

y

d

x0

sin

sin xx

cos

d cos x

d sinx lnsinx

lnsinx

cosx (x x )

sin

0

0

x

x

0

0

sinxlnsinx

xcosx sinx lnsinx0

x0

cosx .

(2.21)

Итак, по ФСР однородного уравнения мы нашли функцию Коши K(x, ). После этого частное решение неоднородного уравнения для заданной правой части f (x) находится по формуле (2.21).

Замечание. В данном примере функция Коши K(x, ) sin(x ) является функцией разности x своих аргументов. Это свойство функции Коши уравнений с постоянными коэффициентами.

2.3. Уравнение Эйлера. Уравнение xn y(n) a1xn 1y(n 1) ... an 1xy an y f (x), x 0, где ai (i 1,2,...,n) – постоянные, называется уравнением Эйлера и

является частным случаем линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Оно возникает при решении ряда задач математической физики. Введем новую независимую переменную t с помощью подстановки x et (если x 0) или подстановки x et (если x 0). Пусть

для	определенности					положим x 0. Тогда	yx e t yt ,	yxx e 2t (ytt yt ),
	e	3t
yxxx			(ettt		3ytt 2yt ),… . Уравнение Эйлера преобразуется в линейное
уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнение				(ax b)n y(n) a1(ax b)n 1 y(n 1) ... an 1(ax b)y an y f (x),

где a, b, ai (i 1,2,...,n) – постоянные, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ax b et (в области ax b 0).

71

Решение однородного уравнения Эйлера

xn y(n) a1xn 1y(n 1) ... an 1xy an y 0

можно (при x 0) искать в виде y x . Подставляя выражения для y , y ,..., y(n) в однородное уравнение Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения показателя степени . При этом, если – действительный корень характеристического уравнения кратностью r, то ему соответствует r

линейно независимых решений x , x ln x, x (ln x)2 ,...,

x (ln x)r 1, а если

i – пара комплексных корней кратностью s, то ей соответствует s

пар

линейно независимых решений:

x (ln x)s 1 cos( ln x),

x cos( ln x),

x ln xcos( ln x), ...,

x sin( ln x),

x ln xsin( ln x), ...,

x (ln x)s 1 sin( ln x).

Пример 1. Найдем общее решение неоднородного уравнения Эйлера:

x2 y 3xy 5y 3x2 .

Положим

x et ,

считая

x 0.

Тогда

yx e t yt ,

yxx

e 2t (ytt yt ).

Получаем

e2t e 2t (ytt

yy ) 3et

e t

yt 5y 3e2t ,

или

ytt 4yt 5y 3e2t .

Общее

решение

y0

соответствующего

однородного

уравнения

есть

y0

e

2t

(C1 cost C2 sint),

а

частное

решение

~

y

~

2t

.

Тогда

~

2t

,

неоднородного уравнения будем искать в виде y Ae

y 2Ae

~

4Ae

2t

,

и, подставляя

~

~

~

y

y,

y ,

y в неоднородное уравнение, приходим к

тождеству

Ae

2t

3e

2t

, откуда

A 3.

Следовательно,

~

2t

,

и общее

y 3e

решение неоднородного уравнения есть

~

2t

(C1 cost C2

sint 3).

y y0 y e

Возвращаясь к

первоначальной

независимой

переменной

x,

окончательно

получим y(x) x2(C coslnx C sinlnx 3).

1

2

Если учитывать случай x 0, то общее решение можно записать в виде,

охватывающем оба случая:

y(x) x2(C cosln

x

C

sinln

x

3).

1

2

Пример 2. Найдем общее решение однородного уравнения Эйлера:

(x 2)2 y 3(x 2)y 3y 0.

Положим

y (x 2) .

Тогда

имеем

y (x 2) 1;

y ( 1)(x 2) 2 .

Подставляя выражения

y,

y ,

y

в

уравнение, получим характеристическое уравнение

2 2 3 0, корни

которого 1;

3. Общее решение – функция y(x) C (x 2)

C2

.

1

2

1

(x 2)3

Задачи для решения. Найти общее решение уравнений Эйлера:

1. x2 y xy y 0.

2.

x2 y xy 4y 10x. 3.

x2 y 6y 12ln x.

4. x2 y 3xy

3y 0. 5.

x2 y

2y 0. 6. (2x 1)2 y 2(2x 1)y 4y 0.

72