y(x)

Задачи для решения
1.	3x2 6xy 2y2 dx 3x2 4xy 3y2 dy 0. 2. (y	2	)dx (x	3	)dy 0.
		x2		y2
3.	(2x ye x)dx e xdy 0. 4. 2xcos2 ydx 2y x2 sin2y dy 0.
5. 10xy 8y 1 dx 5x2 8x 3 dy 0.

§3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши

Докажем существование и единственность решения задачи Коши

	dy		f x, y , y(x0) y0	(3.1)
	dx
при достаточно общих условиях на функцию f (x, y).				Доказательство будет

проведено конструктивным путем. Вместе с доказательством будет построен алгоритм, который получает функцию , как угодно точно аппроксимируя решение исходной задачи. Идея метода принадлежит выдающемуся немецкому математику Леонарду Эйлеру. Интегральная кривая, являющаяся решением задачи Коши (3.1), последовательными шагами приближенно заменяется

ломаной Эйлера.

Будем

рассматривать

(3.1)

в

замкнутом

прямоугольнике

D

x x0

a,

y y0

b плоскости

(x, y)

с

центром

в

начальной

точке

(x0 , y0 ) . Поставим своей целью определение интегральной

кривой y(x) ,

выходящей из данной начальной точки

(x0 , y0 )

и

идущей

в

сторону

возрастающих x x0 . Справедливо следующее утверждение.

Лемма (лемма Чаплыгина). Если в области

D плоскости (x,

y)

однозначно

разрешимы начальные задачи для дифференциальных уравнений

dy1

f

(x,y),

dy2

dx

1

f

2

(x,y),

правые части и

начальные условия

которых

удовлетворяют

dx

неравенствам

f1(x, y) f2 (x, y),

y1(x0 ) y2 (x0 ) ,

то и решения

y1(x) и y2 (x)

соответствующих задач Коши всюду в области

D удовлетворяют условию

y1(x) y2 (x) .

Предположим, что в D функция

f (x, y) непрерывна вместе с частной

df

производной

(x, y). Отсюда следует их

ограниченность:

f (x, y)

M ,

df

dx

x, y D. Существование непрерывной частной производной

(x, y)

K

,

dx

функции

f (x, y)

потребуется при доказательстве сходимости ломаных Эйлера к

решению задачи (3.1). Это требование может быть, вообще говоря, ослаблено.

16

Искомая интегральная кривая (если она существует) пересечет либо вертикальную x x0 a, либо горизонтальную y y0 b ( y y0 b) границу области D (рис. 1, 2).

II	I	I
	II

x0

x0

b

x0 a

x0

x0 a

x

0

b

M

M

II

II

Рис. 1. b/ M a

Рис. 2. b/ M a

I – интегральная кривая, проходящая через точку (x0 ,y0 );

II– прямые с тангенсом угла наклона, равным M .

Впоследнем случае абсцисса точки пересечения меньше x0 a и искомая

интегральная кривая определена не на всем отрезке x0 x x0 a. Однако из простых геометрических соображений (см. рис. 1, 2) и леммы Чаплыгина ясно,

что до точки

x

b

она не пересечет горизонтальной границы. Поэтому в

0

M

D

дальнейшем

вместо

области

будем

рассматривать

прямоугольник

x

x0

H ,

y y 0

b , где H

min a, b M

.

x0,X ,

Перейдем

к

построению

ломаных

Эйлера.

Разобьем

отрезок

X x0 H

на

n

частей

точками

деления

x0 n x0, n

x1,..., n xn X .

Обозначим

n

xi

n

xi 1

n

hi

и

n

n

hi . На первом шаге зафиксируем

h max

f x,y в точке x0 ,y0 , т.е. заменим правую часть (3.1) значением

f x0 ,y0 . Тогда

d n

получим

уравнение

с

постоянной

правой

частью

y

f x

0 , y0 ,

dx

интегральной кривой

которого служит отрезок прямой:

n

(x) y

f (x ,y

)(x x ),

x x

, n

x .

(3.2)

y

0

0

0

В точке n x1

0

0

1

это решение

принимает значение

n y1 y0 f x0 ,y0 n x1 x0 .

y1 и,

На втором шаге примем за новую начальную точку n x1, n

опять

зафиксировав

f x, y

в этой точке, построим следующее прямолинейное звено

и т.д. В силу леммы Чаплыгина ясно, что полученная таким путем ломаная на отрезке x0 ,X не выйдет из прямоугольника . Полученная ломаная и называется ломаной Эйлера. Примем ее за приближенную интегральную кривую.

17

Для обоснования описанного алгоритма и доказательства теоремы

существования

решения

исходной задачи

достаточно

доказать,

что

n

n

y x

при

h 0

сходится

и

последовательность ломаных Эйлера

предельная функция является решением исходной задачи (3.1).

Определение.

Непрерывная

на отрезке x0 , X

функция

x с кусочно-

y

d

, график

непрерывной

производной

y

которой

целиком

лежит в

,

dx

называется -приближенным по невязке решением начальной задачи (3.1),

если

y

(x0) y0

и при подстановке функции

y

x

в уравнение (3.1) последнее

принимает вид

dy

f (x,

y

) (x),

(3.3)

dx

где невязка (x) удовлетворяет неравенству

sup

(x)

.

(3.4)

x x0,X

Очевидно, что точное решение задачи Коши (если оно существует)

можно считать -приближенным по невязке решением при 0.

Пусть для любого 0 существуют

-приближенные по невязке

решения начальной задачи (3.1). Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Для любого сколь угодно малого 0

можно указать такое 1 0 ,

что все 1-приближенные по невязке решения задачи (3.1) отличаются между собой на отрезке x0 ,X не больше, чем на .

Доказательство. Возьмем два произвольных 1-приближенных по невязке решения задачи (3.1) 1 y x и 2 y x . Очевидно, что

d 1

f x, 1

x 1 x ,

d 2

y

f x, 2

x 2 x ,

y

(3.5)

y

y

dx

dx

где

x

x

1

2

sup

2

y x0

y x0

2 1,

1

2

1 .

(3.6)

x x ,X

0

Введем следующие обозначения:

2

x 1

x z x , 2 x 1 x x .

y

y

Вычитая первое уравнение из второго в (3.5), получим

dz

f x, 2

x f x,1

x x .

y

y

(3.7)

dx

Преобразуем разность первых двух слагаемых в правой части по формуле, называемой тождеством Адамара:

f x, 2 y x f x,1 y x 2 y x 1 y x p x ,

где

18

	p x	1	f	x,1		x 2		x 1		x d .
		0			y		y		y		(3.8)
			y

Эта формула легко проверяется непосредственно. Из (3.8) очевидно, что функция p x непрерывна по x на x0 ,X . Таким образом, для функции z x получается линейное дифференциальное уравнение первого порядка

dz

p x z x x ,

в

котором функции

p x

и

x

являются

кусочно-

dx

x0 ,X .

непрерывными и равномерно ограниченными на отрезке

При этом

z x0

2 1,

x

2 1 .

Тогда в силу полученной оценки решения задачи

Коши для линейного уравнения имеем

2 1

eK(x x0) 1 .

2

x 1

x

z x

2 1eK(x x0)

y

y

(3.9)

K

Отсюда

1

2

1

K X x

K X x

sup

y x

y x

2

1

e

0

e

0

1 2

,

(3.10)

K

1

x x0,X

где 0 –

независящая от 1 постоянная. Выбирая

1

,

получаем

2

утверждение леммы.

n

Определение. Пусть

y x n 1,2,...

–

некоторая

последовательность

n -приближенных по невязке решений такая,

что

sup

n x

n ,

n

x0 y0

n ,

n

0. Если

lim n

0,

x x0 , X

n

x

y

то последовательность

y

n

назовем сходящейся по невязке.

Для дальнейшего нам потребуется утверждение об эквивалентности начальной задачи (3.1) некоторому интегральному уравнению.

Лемма 2. Задача Коши (3.1) эквивалентна интегральному уравнению

			x	x x0,X .
y(x) y0			f ( , y( ))d ,		(3.11)
		x0
Доказательство. Пусть существует решение				начальной задачи (3.1) –
функция y x . Подставив	y x		в уравнение	(3.1), получим	тождество.
Интегрируя это тождество от	x0	до x 0,a и используя начальное условие,

получим (3.11). Следовательно, решение начальной задачи (3.1) удовлетворяет и интегральному уравнению (3.11). С другой стороны, если существует

непрерывное решение интегрального уравнения (3.11) – функция y x , то в силу непрерывности по функции f ,y интеграл в правой части (3.11) является непрерывно дифференцируемой функцией переменной x (по условию

19

y x ,

x0,X

функции f – непрерывная функция своих аргументов и y – непрерывная

функция переменной ). Следовательно, и левая часть (3.11) – функция y x – имеет непрерывную производную, которая, очевидно, удовлетворяет уравнению (3.1). Выполнение начального условия (3.1) проверяется непосредственно.

Лемма 3. Если существует сходящаяся по невязке на отрезке последовательность n-приближенных по невязке решений (n) y(x) начальной

задачи (3.1), то эта последовательность равномерно сходится к функции являющейся решением данной задачи.

							n
Доказательство.		В силу	леммы 2						y x
				последовательность
удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на отрезке								x0,X .
							n
Тем самым существует функция									y x
			y x , к которой последовательность
								n			x
сходится равномерно, и эта функция будет непрерывной, поскольку										y
непрерывны.				n		x
Подставим		n-приближенное решение			y		в уравнение	(3.1) и

заменим получающееся при этом тождество эквивалентным интегральным соотношением

x

f , n

n d .

n

x n

x0

y

y

y

(3.12)

x0

n

x0 y0

n ,

Так как

n

n

и

y

то,

переходя в (3.12) к пределу при

n 0, получим

x

y(x) y0 f ( , y( ))d .

(3.13)

x0

предельная функция y x

Из последнего

тождества

следует,

что

дифференцируема. Дифференцируя, получаем

dy

f (x,y).

(3.14)

y(x0 ) y0 .

dx

Кроме

того,

Таким

образом,

предельная

функция

n

является точным решением задачи Коши (3.1).

y x

последовательности

Для доказательства теоремы существования решения начальной задачи (3.1) остается показать, что существует сходящаяся по невязке

последовательность n-приближенных по невязке решений этой задачи. Покажем, что ломаные Эйлера образуют такую последовательность.

20

Лемма 4. При (n)h 0 невязки ломаных Эйлера, построенных для задачи (3.1), равномерно на отрезке [x0 ,X] сходятся к нулю.

Доказательство. Так как начальные значения ломаных Эйлера (n) y(x) по

построению совпадают с

y0 ,

то достаточно убедиться в том, что при (n)h 0

невязки n (x)

равномерно на [x0 ,X]

стремятся к нулю. Возьмем произвольное

x. Очевидно,

(n) x

s 1

x (n) x

s

,

(n) x

s

(n) x

s 1

(n) h

,

1 s n.

s 1

На этом шаге звено соответствующей ломаной определяется как

n

x n

n x

f n

x

, n

n x

x n

x

(n)

(n)

y

y

s 1

s 1

y

s 1

s 1

,x

xs 1,

xs].

(3.15)

Подставляя (n)

[

y

(x)

в (3.1), найдем соответствующую невязку в точке x:

n(x)

d(n)

y

f (x, (n)

y

(x)) f ((n) xs 1, (n)

y

s 1))

dx

f (x, (n)

y

((n) xs 1) f ((n) xs 1, (n)

y

s 1))(x (n) xs 1)).

(3.16)

В силу равномерной непрерывности функции

f (x,y)

отсюда следует, что

для любого сколь

угодно

малого

0

найдется

такое

h0 ( ), что при

(n)h h0 ( ) выполняется

sup

n x

, что и требовалось доказать.

x x0 ,X

Заметим, что при доказательстве леммы была использована равномерная

непрерывность

функции

f (x,y) и не потребовались равномерная

непрерывность и ограниченность производной

f

(x,y).

y

Из доказанных лемм следуют следующие теоремы.

Если функции f (x, y),

Теорема 1 (существования решения задачи Коши).

f

(x, y) являются непрерывными на

D

x x0

a,

y y0

b , т.е.

y

f (x,y) C(D),

df

(x,y) C(D), (x,y) D,

(3.17)

dy

то на x0 , X существует решение задачи Коши (3.1),

к которому на x0 , X

последовательность

(n)

y

(x)

ломаных Эйлера сходится

равномерно

при

n h 0.

Теорема 2 (единственности решения задачи Коши). При выполнении

требований (3.17) относительно функций f (x, y) и	f	(x, y) ,	(x,y) D задача
Коши (3.1) имеет на x0 , X единственное решение.	y

Эту теорему можно рассматривать как следствие леммы 1. Если допустить, что имеются два точных решения задачи Коши, то их начальные

21

значения совпадают, а их невязки равны нулю. Поэтому по лемме 1 эти решения полностью совпадают на отрезке x0 , X .

Кроме введенного выше понятия -приближенного по невязке решения часто используется понятие решения, приближенного по отклонению.

Определение. Ограниченная на	~
	[x0 ,X] функция y(x) называется

-приближенным по отклонению решением задачи Коши (3.1), если точное решение y x задачи Коши существует и

sup		~		,	0.	(3.18)
		y(x) y(x)
x x0,X

Из предыдущих выкладок непосредственно следует Теорема 3. Если при выполнении условий (3.17) некоторая последовательность

приближенных по невязке решений сходится к точному решению, то она сходится к нему и по отклонению.

Обратное утверждение неверно. Если отклонения приближенных решений от точного стремятся к нулю, то сами решения могут при этом иметь сколь угодно большие невязки. Более того, решения, приближенные по отклонению, могут быть не дифференцируемы и даже не непрерывны.

Замечание. Доказаны существование и единственность решения y(x) задачи Коши на отрезке [x0 ,X]. Если при этом интегральная кривая не вышла из области D, где функция f (x, y) удовлетворяет условиям (3.17), то, взяв точку

x X ,	y Y(x) за начальную, повторяем рассуждения. И продолжим решение
y(x) на новом отрезке [X,X		~
		1], определяющем прямоугольник D D . Процесс

построения можно продолжать до тех пор, пока интегральная кривая не достигнет границы области D. По аналогии интегральная кривая y(x) может быть построена в сторону убывающих x x0 .

Требования непрерывной дифференцируемости на f (x, y) можно ослабить. Для существования и единственности решения в некоторой окрестности начальной точки достаточно потребовать, чтобы в этой области функция f (x, y) была непрерывна и удовлетворяла условию Липшица по переменной

y :	f (x, y1 ) f (x, y2 )	L	y1 y2	, где L является некоторой постоянной, не
зависящей ни от x , ни от y			(константа Липшица).

Переформулируем теорему существования и единственности решения для

следующей задачи Коши:

dy

f (x,y),

y(x ) y

0

, x,y R, f : R R.

(3.19)

dx

0

Теорема 4 (существования и единственности). Пусть

в

некотором

прямоугольнике D

x x0

a,

y y0

b функция

f (x,y)

непрерывна

по совокупности переменных x,

y и удовлетворяет условию Липшица:

22

где (x,

y

), (x,

f (x,

y

) f (x,

y

)

L

y

y

,

(3.20)

) – любые две точки из D, L – постоянная,

не зависящая от

y

выбора этих точек (константа Липшица). Тогда на отрезке

x x0

H , где

H min(a,b/M),

M sup

f (x, y)

,

существует единственное решение задачи

Коши (3.19).

D

Можно доказать существование решения начальной задачи и при одном

требовании непрерывности функции

f (x, y).

D

b

Теорема 5 (Пеано). Пусть в прямоугольнике

x x0

a,

y y0

функция

f (x, y) непрерывна по совокупности своих переменных x,

y. Тогда на

отрезке

x x

H ,

где

H min(a,b/M),

M

sup

f (x, y)

,

существует по

0

крайней мере одно решение задачи Коши (3.19).

D

Одной

непрерывности

функции

f (x,y)

недостаточно

для

доказательства

единственности

решения

начальной

задачи.

Например,

задача

Коши

dy dx

,

y 0 0,

помимо тривиального

решения

y 0,

имеет еще

y

решение

y

x 2

4 ,

удовлетворяющее

нулевому

начальному

условию.

Нетрудно видеть, что правая часть рассмотренного уравнения в окрестности точки (0, 0) имеет неограниченную производную и не удовлетворяет условию Липшица.

Если через точку (x0 ,y0 ) проходит единственная интегральная кривая, являющаяся решением задачи (3.1) для данного дифференциального уравнения, то точка (x0 ,y0 ) называется обыкновенной точкой данного уравнения. Точка (x,y) области D, не являющаяся обыкновенной, является особой точкой данного дифференциального уравнения. Через особую точку, как отмечалось выше, либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходят по крайней мере две интегральные кривые (через особую точку может проходить бесконечное число интегральных кривых). Если в окрестности точки (x0 ,y0 ) выполнены условия теорем существования и единственности, то точка (x0 ,y0 ) будет обыкновенной.

Нарушение условий теорем существования и единственности решения задачи Коши служит необходимым, но необязательно достаточным условием того, что данная точка является особой. Для окончательного решения вопроса, является ли данная точка особой, необходимо дополнительное исследование.

Замечание. Ранее было отмечено, что наряду с уравнением (2.1)

рассматривается уравнение		dx		1	. Если при этом в точке		(x0 ,y0 ) для
		dy f (x,y)					f (x,y) в
(2.1) нарушаются условия		теоремы 2			в результате	обращения
бесконечность, то 1 f (x,y)	в этой точке обращается в					нуль и для уравнения

23

dx		1	условия теоремы существования и единственности выполнены.

dy f (x,y)

Таким образом, в этом случае точка (x0 ,y0 ) является обыкновенной, но проходящая через нее интегральная кривая имеет вертикальную касательную.

Метод ломаных Эйлера не только позволяет доказать существование и единственность решения задачи Коши, но и дает численный алгоритм построения приближенного решения, сколь угодно близко аппроксимирующего точное. Метод является эффективным подходом к численному решению и дискретизации непрерывных начальных задач.

Другим конструктивным подходом к доказательству существования и единственности решения задачи Коши является метод последовательных приближений Пикара. Последовательность Пикара строится следующим образом:сопоставляютначальнойзадачеэквивалентноеинтегральное уравнение

	x					yn 1(x) y0	x
y(x) y0	f (x,y(x))dx	и далее определяют					f (x,yn(x))dx,
	x0						x0
n 0,1,....	При выполнении определенных требований справедлив предельный
переход	y(n)(x) y(x),		x x0		H , (n ),	где y(x) –	решение задачи

Коши. Метод построения решения задачи Коши на итерациях описанной последовательности называют методом последовательных приближений Пикара. Метод эффективно применяется при построении решений интегральных уравнений (уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода) и для исследования зависимости решения дифференциального уравнения от параметра.

Замечание. Линейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода записывается в следующем виде

x

k x,t y t dt f x ,x a, a

а интегральное уравнение второго Вольтерра второго рода имеет вид

x

y(x) k(x,t)y(t)dt f (x), x a

a

Функции k(x,t) и y(t) известны (заданы) и называются соответственно ядром интегрального уравнения и свободным членом этого уравнения, а – действительный или комплексный параметр.

Интегральное уравнение вида

b

k x,t y t dt f x a

и интегральное уравнение

24

x

y(x) k(x,t)y(t)dt f (x)

a

называются линейными интегральными уравнениями Фредгольма первого и второго родов соответственно

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincaré) (1854−1912). Великий французский математик и физик. Член Парижской Академии Наук (1887). Труды Анри Пуанкаре в области математики, с одной стороны, продолжают классическое направление, а с другой – непосредственно примыкают к новым областям естествознания. Большой цикл работ Анри Пуанкаре относится к теории дифференциальных уравнений. Он исследовал разложения решений дифференциальных уравнений по начальным условиям и малым параметрам,

доказал аcимптотичность некоторых рядов, выражающих решения уравнений с частными производными.

После докторской диссертации, посвященной изучению особых точек системы дифференциальных уравнений, написал ряд работ под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1880). В этих работах он построил качественную теорию дифференциальных уравнений, исследовал характер интегральных кривых на плоскости, дал классификацию особых точек, изучил предельные циклы, расположение интегральных кривых на поверхности тора. Анри Пуанкаре дал приложения своих

исследований к задаче о движении трех тел, изучил периодические решения задачи, асимптотическое поведение решений. Им введены методы малого параметра, неподвижных точек, уравнений в вариациях, разработана теория интегральных инвариантов.

Анри Пуанкаре принадлежат также важные для небесной механики труды об устойчивости движения. В области математической физики Анри Пуанкаре исследовал колебания трёхмерных тел, изучил ряд задач теплопроводности, а также различные задачи в области теории потенциала, электромагнитных колебаний. Ему принадлежат труды по обоснованию принципа Дирихле.

Имя Анри Пуанкаре напрямую связано с успехом теории относительности. Он деятельно участвовал в развитии теории Лоренца. При переходе к движущейся системе координат выполняются преобразования Лоренца вместо Галилеевых. Пуанкаре дал полную правильную математическую формулировку этих преобразований. В 1898 г., до работ Эйнштейна, Пуанкаре в своей работе «Измерение времени» сформулировал для механики принцип относительности, а затем ввёл понятие четырёхмерного пространства-времени, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. В 1905 г. Пуанкаре написал сочинение «О динамике электрона», в котором независимо от Эйнштейна развил математические следствия «постулата относительности».

25