ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

§1. Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим следующую нормальную систему дифференциальных уравнений с начальными условиями:

		dy		F (t, y) , y (0) y0 ,			(1.1)
		dt
							)T .
где y y(t) это n-мерная вектор-функция с компонентами y (y ,...,y						n
			1
Как отмечалось ранее, при определенных условиях гладкости на правую
часть F(t,y) решение	y y t,y0 задачи Коши (1.1) является				непрерывной
функцией параметров	t,		y0 в точке t,y0 , где t 0,T . Поэтому малая

погрешность в начальных условиях не оказывает существенного влияния на характер процесса на некотором конечном отрезке 0,T времени t.

Часто в приложениях требуется исследовать модель на сколь угодно большом промежутке времени: 0 t . Будем предполагать, что решение задачи (1.1) существует на этом бесконечном промежутке. Возникает вопрос: останется ли кривая y y(t,y0 y0) в -трубке кривой y y(t,y0 ) для всех

t 0, при достаточно малых y0 , либо с ростом t кривые разойдутся?

Интегральная кривая, обладающая свойством, что все достаточно близкие к ней при t 0 интегральные кривые остаются близкими к ней и для всех t 0, называется устойчивой интегральной кривой. Соответствующее ей решение называется устойчивым решением. В противном случае говорят, что решение неустойчиво. Понятие устойчивости решения было введено выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость.

1.1. Определение устойчивости по Ляпунову. Дадим строгое определение понятия устойчивости по А. М. Ляпунову.

Определение 1. Решение y y(t,y0 )

задачи (1.1) называется устойчивым по

Ляпунову, если для 0

такое, что при

y0

для всех t 0

y(t,y0 y0 ) y(t,y0 )

, где

y

справедливо неравенство

y12 ... yi2 ,

yi , i 1,2, n – координаты вектор-функции y.

Среди устойчивых решений может встретиться решение, обладающее свойством, что все близкие к нему в начальный момент решения с течением времени бесконечно приближаются к нему.

Определение 2. Решение y y t,y0 задачи (1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует такое достаточно малое 0 0,

что при y0 0 выполнено lim(y(t,y0 y0) y(t,y0)) 0.

t

1.2. Устойчивость по Ляпунову тривиального решения. Исследование на устойчивость решения y t,y0 системы (1.1) можно свести к исследованию на

117

устойчивость тривиального, т.е. тождественного равного нулю решения некоторой другой системы, связанной с (1.1).

Действительно, введем новое неизвестное x по формуле x y y t,y0 . Тогда система (1.1) примет вид

				dx		f t,x ,
		d		dt
где f t,x F t,x y t,y0				y t,y		0 . Решению
		dt

(1.2)

y (t,y ) в прежних

0

переменных	отвечает решение	x 0 системы (1.2).	Обозначим
x0 y 0,y0 y0 y 0,y0 y0 ,		x t,x0 y t,y0 y0 y t,y0 .	Тогда в
переменных t,	x определения устойчивости и асимптотической устойчивости
выглядят следующим образом.

Определение 1. Тривиальное решение системы (1.2) называется устойчивым по Ляпунову, если для 0 такое, что при x0 для всех t 0

справедливо неравенство x t,x0 .

Определение 2. Тривиальное решение системы (1.2) называется

асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и 0 0 такое, что при
	x 0				0 выполнено	limx t,x0 0.
						t

Замечание. Часто в записи x t,x0 опускают зависимость от x0 и пишут x t , а

x0 можно тогда записать как x 0 , и тогда устойчивость означает, что

x t

при

x 0

, а асимптотическая устойчивость означает

limx t

0,

если

x 0

t

0 .

Ознакомимся с методами исследования на устойчивость тривиального решения. Устойчивость тривиального решения допускает удобную

	x2	геометрическую		интерпретацию в
		двухмерном	фазовом пространстве
		переменных	x	(рис.1). Тривиальное

решение в фазовом пространстве изображается точкой – началом

координат.

Неравенство

x t

означает, что фазовая траектория при

x

t 0

лежит

в круге радиусом

с

1

центром

в

начале

координат.

Неравенство

x 0

означает,

что

начальная точка траектории лежит в

круге

радиусом , т.е.

траектория,

начинающаяся в -окрестности начала

Рис. 1.

координат, не выйдет из -окрестности

начала

координат при всех t 0.

В

118

случае асимптотической устойчивости траектория при t бесконечно приближается к началу координат.

Замечание. Вместо того чтобы говорить об устойчивости тривиального решения, часто говорят об устойчивости точки 0,...,0 фазового пространства.

§2. Устойчивость линейных систем

Будем считать, что уравнения (2.1) описывают движение, где аргумент t есть время, и при этом уравнения не содержат явно времени t, т.е. имеют вид

dx

f (x,y),

dy

f

(x,y), Нам известно,

что

такая система

называется

dt

1

dt

2

автономной. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

dx

cx gy,

dy

ax by.

(2.1)

dt

dt

g – постоянные. Очевидно,

Будем предполагать, что коэффициенты a,

b, c,

что x 0, y 0 есть решение системы (2.1). Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение x 0, y 0 было устойчиво.

Дифференцируем первое уравнение и исключаем y

и

dy

на основании

dt

d2x

dx

dy

dx

dx

dx

уравнений системы

c

g

c

g ax by c

gax b

cx

dt

или

dt2

dt

dt

dt

dt

d2x

dx

b c

ag bc x 0.

(2.2)

dt2

dt

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (2.2) имеет вид

2 b c ag bc 0.

Это уравнение принято записывать в виде определителя

	c	g	0.	(2.3)
	a	b

Обозначим корни характеристического уравнения (2.3) через 1 и 2 . Устойчивость или неустойчивость системы (2.1) определяется характером корней 1 и 2 . Рассмотрим все возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные

и различные:				1 0,		2	0,		1	2 .	Из	уравнения			(2.2)		находим
x C e 1t	C	2	e 2t	. Зная		x,	из первого уравнения (2.1) находим										y. Таким
1
образом, решение системы (2.1) имеет вид											1t				1
				t		t							t
	x Ce 1 C				e	2 ,	y		C ( c)e		C	( c)e	2			.	(2.4)
			1	2					1	1	2	2
														g

Замечание. Если g 0 и	a 0, то уравнение (2.2) мы составим для функции
y. Найдя y, из второго	уравнения системы (2.1) находим x. Структура

119

решений (2.4) сохранится. Если же g 0, a 0, то решение системы уравнений принимает вид x C1ect , y C2ebt .

Анализ характера решений в этом случае производится проще. Подберем

C1

и C2

так,

чтобы решения

(2.4) удовлетворяли начальным

условиям

x

t 0 x0 ,

y

t 0 y0 .

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет иметь вид

x

cx0 gy0 x0 2

e 1t

x0 1 cx0 gy0

e 2t ,

1 2

1 2

(2.5)

cx0 gy0 x0 2

x0 1 cx0 gy0

y

1

c e 1t

2

c e 2t .

1

g

1 2

1 2

Из последних равенств следует, что при любом 0 можно выбрать

x0

и

y0

столь малыми,

что для всех t 0

будет

x t

,

y t

,

так как e 1t

1;

e 2t

1.

x(t) 0,

lim y(t) 0.

Отметим, что в данном случае выполнено lim

t

t

Рассмотрим плоскость xOy. Для системы дифференциальных уравнений (2.1) и дифференциального уравнения (2.2) эта плоскость будет фазовой плоскостью. Решения (2.4) и (2.5) системы (2.1) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости xOy:

x t,C1,C2 , y t,C1,C2 ,
x t,x0,y0 , y t,x0,y0 .	(2.6)

Эти кривые являются интегральными кривыми или траекториями дифференциального уравнения

dy		ax by	,	(2.7)
dx cx gy

следующего из системы (2.1) делением друг на друга правых и левых частей. Началокоординат O 0,0 является особой точкой для дифференциального

уравнения (2.7), так как эта точка не принадлежит области существования и единственности решения.

Характер решений (2.5) и вообще решений системы (2.1) иллюстрируется

расположением	интегральных кривых F(x,y,C) 0, образующих				общий
интеграл дифференциального уравнения (2.7).
Постоянная	C определяется из начального условия y		x x0	y0.	После
подстановки значения C получаем уравнение семейства в форме
	F(x,y,x0,y0 ) 0.				(2.8)

В случае решений (2.5) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при t .

120

Очевидно, что соотношение (2.8) может быть получено путем

исключения

параметра

t

из

системы (2.6). Не производя полного анализа,

ограничимся иллюстрацией простейших примеров. Отметим, что характер

поведения траекторий уравнений (2.7) вблизи начала координат при

произвольных коэффициентах качественно такой же, какой будет рассмотрен в

примерах.

x 0, y 0 системы уравнений

Пример. Исследовать устойчивость решения

dx x,

dy 2y. Характеристическое уравнение имеет вид

1

0

0.

dt

dt

0

2

Корни характеристического уравнения 1

1,

2 2. Решением (2.6) в данном

случае будут функции x C e t ,

y C

2

e 2t

. Решениями (2.5) будут

1

x t 0

x x0e t

,

y y0e 2t .

(*)

Очевидно,

что

и

y t 0

при

t .

Решение

x 0,

y 0

устойчиво.

Вернемся

к

фазовой

плоскости. Исключая параметр

t

из

уравнений (*), на фазовой плоскости получим семейство парабол вида

(x x )2

y

y

0

.

(**)

0

Уравнением вида (2.7) для системы будет dy 2y . Интегрируя, получаем

dx

x

ln y 2ln x lnC ,

y Cx2 .

(***)

Определяем

C

из условия

y

y

,

C y

x2 .

Подставляя

найденное

x x0

0

0

0

значение C в (***), получаем решение (**). Особая точка O 0,0 есть

устойчивый узел.

home;

1500

hold on;

syms x y C1 C2

1000

t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = -x','Dy = - 2 * y');

x = subs(s.x);

500

y = subs(s.y);

for C1 = [-2:2] for C2 = [-2:2]

0

fx = double(subs(x)).*10;

fy = double(subs(y));

-500

plot(fx, fy);

px = gradient(fx);

-1000

py = gradient(fy);

quiver(fx, fy, px, py, 0.6);

-1500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

end; end

-500

II. Корни характеристического уравнения действительные,

положительные и различные: 1 0,

2

0,

1 2 . Решения выражаются

формулами (2.4) и соответственно (2.5). Но в данном случае при как угодно

малых

x

и

y

0

будет

x t

при t , так как e 1t

и e 2t . На

0

121

фазовой плоскости особая точка – неустойчивый узел: при t точка на

траектории удаляется от точки покоя x 0, y 0.

Пример. Исследуем систему dx x, dy 2y. Характеристические корни

1,

dt

dt

1

2 2.

Решение будет

x x0et ,

y y0e2t . Решение

неустойчиво,

так

как

x t ,

y t при

t .

Исключая

t,

получаем

2

y .

Особая

x

y0

точка O 0,0 есть неустойчивый узел.

x0

home;

800

hold on;

syms x y C1 C2

600

t = [-pi:0.3:pi];

400

s = dsolve('Dx = x','Dy = 2 * y');

x = subs(s.x); y = subs(s.y);

200

for C1 = [-2:2] for C2 = [-2:2]

fx = double(subs(x)).*10;

0

fy = double(subs(y));

-200

plot(fx, fy);

px = gradient(fx);

-400

py = gradient(fy);

-600

quiver(fx, fy, px, py, 0.6);

end; end;

-800

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-400

III. Корни характеристического уравнения действительные, разных

знаков, например: 1

0, 2 0. Из формул (2.5) следует,

что при как угодно

малых

x0

и y0 , если

cx0 gy0 x0 2 0,

будет

x t ,

y t при

t .

Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.

Пример.

Исследовать систему

dx x,

dy 2y .

Характеристические корни

dt

dt

1,

2. Решение

системы:

x x e t ,

y y

e 2t .

Решение неустойчиво.

1

2

0

0

Исключая параметр t, получаем

семейство

кривых

на

фазовой

80

плоскости

yx2 y

x2 .

Особая

60

0

0

точка O 0,0 есть седло.

40

home;

20

hold on;

syms x y C1 C2

0

t = [-pi:0.3:pi];

-20

s = dsolve('Dx = x','Dy = - 2 * y');

x = subs(s.x); y = subs(s.y);

-40

for C1 = [-2:2]

-60

for C2 = [-2:2]

plot(fx, fy);

-80

px = gradient(fx);

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

122

py = gradient(fy); quiver(fx, fy, px, py, 0.6); end; end;

IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной

действительной частью:

1

i ,

2

i

0 .

Решение системы

(2.1) будет иметь вид

x e t C1cos t C2 sin t ,

1 t

(2.9)

y

e

C1 C2 cC1 cos t C2

C1 cC2

sin t .

g

C1

C2

Если ввести обозначение

C

sin

,

cos

, то уравнения

C12

C22

,

(2.9) можно представить в виде

C

C

x Ce tsin( t ),

t

(2.10)

y

Ce

(a c)sin( t ) cos( t ) ,

g

где C1 и C2 – произвольные постоянные, которые определяются из начальных

условий:

x x0 ,

y y0

при

t 0,

причем x0

Сsin ,

y

C

a c sin cos , откуда находим

0

g

gy0 x0(a c)

C x

0

,

C

2

.

(2.11)

1

Снова заметим, что если g 0, то вид решения будет несколько иной, но

характер анализа не изменится.

x0

y0

Очевидно, что при любом

0

при достаточно малых

и

будут

выполняться соотношения

x t

,

y t

. Решение устойчиво.

В данном

случае при t x t 0, y t 0,

неограниченное число раз меняя знаки.

На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом.

Пример.

Исследовать устойчивость решения системы уравнений

dx

x y,

dt

dy x y. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: dt

	1	1		0, 2	2 2 0,	1 1i,								1						1. Находим											C	и C	2
	1	1			1,2																										1
по формулам (2.11): C1 x0 , C2 y0. Подставляя в (2.9), получаем
				x e t	x0 cost y0 sint ,			y e t y0 cost x0 sint .																								(2.12)
Очевидно, что при любых значениях t								x				x0				y0		,		y				x0				y0		. При t
имеем x t 0,				y t 0. Решение устойчиво.

123

Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в этом

случае. Преобразуем выражения (2.12). Пусть

x0 M cos ,

y0

M sin ,

M

x02 y02 , tg y0 . Тогда равенства (2.12) примут вид

x0

y Me t sin t .

x Me t cos t ,

(2.13)

На фазовой плоскости перейдем к полярным координатам и и установим

зависимость f . Уравнения (2.13) принимают вид

cos Me t cos t , sin Me t sin t .

(2.14)

Возведя в квадрат правые и левые части и складывая, получим

2 M 2e 2t

или

Me t .Установим зависимость t от . Разделив члены нижнего из равенств

(2.14) на соответствующие члены верхнего равенства, получим tg tg t ,

откуда t . Подставляя в Me t , получаем Me

или

Me .

Обозначая

Me M1, окончательно

получаем

M1e .

Это

семейство

логарифмических спиралей.

В этом случае при t точка по траектории

приближается к началу координат. Особая точка O 0;0 – устойчивый фокус.

home;

hold on;

50

syms x y C1 C2

40

t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = - x + y','Dy = - x - y');30

x = subs(s.x);

20

y = subs(s.y);

10

for C1 = [-2:2]

for C2 = [-2:2]

0

fx = double(subs(x));

-10

fy = double(subs(y));

-20

plot(fx, fy);

-30

px = gradient(fx);

py = gradient(fy);

-40

quiver(fx, fy, px, py, 0.6);

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

end;end

-50

V. Корни характеристического уравнения – комплексные с положительной

действительной частью:

1 i ,

2

i

0 .

В

этом случае

решение также выразится формулами (2.9),

где 0. При любых начальных

условиях x0

и y0 x02 y02

0 и при

t величины

x t

и

y t могут

принимать сколь угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой

плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по

траектории неограниченно удаляется от начала координат.

124

Пример. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx x y, dt

	dy	x y. Составим		характеристическое		уравнение:	1	1	0,
							1	1
	dt
2 2 2 0,			1 i,	1 i. Решение		(2.9) с учетом	(2.11)	в данном
			1	1
случае будет			x et x0 cost y0 sint ,		y et y0 cost x0 sint . На			фазовой

плоскости получим кривую в полярных координатах M1e . Особая точка –

неустойчивая фокус.

home; hold on;

syms x y C1 C2 t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = x + y','Dy = - x + y'); x = subs(s.x);

y = subs(s.y); for C1 = [-2:2] for C2 = [-2:2]

fx = double(subs(x)); fy = double(subs(y)); plot(fx, fy);

px = gradient(fx); py = gradient(fy);

quiver(fx, fy, px, py, 0.6); end; end;

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50	-40	-30	-20	-10	0	10	20	30	40	50
-50

VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: 1 i ,

2

i .

Решения (2.9) в этом случае примут вид

x C cos t C

sin t

y

1

C

cC cos t C cC

sin t .

(2.15)

2

2

1

g

1

1

2

Постоянные C1 и C2 определяются по формулам (2.11):

C x

0

, C

2

gy0 сx0

.

1

Очевидно, что при любом 0 и при всех достаточно малых

x0

и

y0

будет

x t

,

y t

при

любом t.

Решение устойчиво.

Здесь

x

и

y –

периодические функции от t.

Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости,

первое из решений (2.15) запишем в следующем виде (см. (2.10)):
x Csin t ,	y	C	cos t	Cс	sin t ,	(2.16)
		g
				g

125

где С,

– произвольные постоянные. Из выражений (2.16) следует, что x и

y – периодические функции от t. Исключаем параметр t

из уравнений (2.16):

y

C

1

x2

c

x. Освобождаясь от корня, получаем тождество

g

C2

g

c

2

C 2

x2

y

x

1

.

(2.17)

2

g

C

g

Это семейство кривых 2-го порядка (кривые дополнительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при C 0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром.

Пример. Исследовать устойчивость решения системы уравнений dx y, dt

dy 4x. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: dt

			1			0	,		2		4 0,								2i. Решениями			(2.16) будут	x Csin 2t ,
4																1,2
y 2Ccos 2t .												Уравнение								(2.17)	будет	иметь следующий вид:
	2			2				x2			,	y2					x	2	1.	На	фазовой	плоскости	имеем систему
y		4C			1
									2				2					2
								C				4C					C

эллипсов. Особая точка – центр. hold on;

syms x y C1 C2 t = [-pi:0.1:pi];

s = dsolve('Dx = y','Dy = - 4*x'); disp([s.x,s.y]);

x = subs(s.x); y = subs(s.y); for C1 = [-2.1:2] for C2 = [-2.1:2]

fx = double(subs(x)); fy = double(subs(y)); plot(fx, fy);

px = gradient(fx); py = gradient(fy);

quiver(fx,fy,px,py,0.3); end; end

6
4
2
0
-2
-4
-6	-2	-1	0	1	2	3
-3

VII. Пусть 1 0, 2 0. Решение (2.5) в этом случае принимает вид

x C	C e 2t	,	y	1	Cc C				c e 2t .	(2.18)
1	2			g		1	2	2

126

Очевидно, что при любом 0 и при всех достаточно малых x0 и y0 x t , y t при t 0. Следовательно, решение устойчиво.

Пример. Исследовать устойчивость решения системы dx 0, dy y. Находим dt dt

корни характеристического			уравнения					0	0,	2 0,				1 0,
						0		1
2 1. Здесь g 0.	Решения находим, непосредственно решая систему, не
пользуясь формулами (2.18)			x C ,	y C			e t . Решением,				удовлетворяющим
			1		2						x x			y y e t .
начальным условиям	x x	0	, y y	0	при			t 0,	будет			0	,
														0

Очевидно, что решение устойчиво. Дифференциальное уравнение на фазовой плоскости будет иметь вид dxdy 0. Его общий интеграл x C. Траектории –

прямые, параллельные оси Oy. Из уравнений x x0 , y y0e t следует, что точки по траекториям приближаются к прямой y 0.

home; hold on;

syms x y C1 C2 t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = 0','Dy = - y');

x= subs(subs(s.x)+t-t);

y= subs(subs(s.y)+t-t); for C1 = [-2:2]

for C2 = [-2:2]

fx = double(subs(x)).*10; fy = double(subs(y)); plot(fx, fy);

px = gradient(fx); py = gradient(fy);

quiver(fx, fy, px, py, 0.6); end; end

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25
-25

VIII. Пусть 1 0, 2 0. Из формул (2.18) следует, что решение неустойчиво,

так как x t y t при t .

IX. Пусть 1 2 0. Решение будет иметь вид

x C C t e 1t				y	1	e 1t C c C 1 t ct .
	1	2			g	1	1	2	1
Так как e 1t 0	и te 1t 0		при t , то для любого 0 можно подобрать

C1 и C2	такие (путем выбора x0 и y0 ), что будет выполнено			x t		,		y t
при любом t 0		. Следовательно, решение устойчиво. При		этом x t 0 и
y t 0	при t	.

127

Пример 8.

Исследовать устойчивость

решения

системы

dx

x,

dy

y.

dt

1

0

dt

Находим корни характеристического уравнения:

0,

( 1)2 0,

0

1

2

1. Здесь

g 0. Решение системы

будет

иметь

вид

x C e t ,

1

1

y C2e t ,

причем

x(t) 0,

y(t) 0

при t .

Решение

устойчиво.

Семейством кривых на фазовой плоскости будут

y

C2

k , т. е.

y kx. Это

x C1

семейство прямых, проходящих через начало координат. Точки по траекториям приближаются к началу координат. Особая точка O 0;0 – узел.

home; hold on;

syms x y C1 C2 t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = - x','Dy = - y'); x = subs(s.x);

y = subs(s.y); for C1 = [-2:2] for C2 = [-2:2]

fx = double(subs(x)); fy = double(subs(y)); plot(fx, fy);

px = gradient(fx); py = gradient(fy);

quiver(fx, fy, px, py, 0.6); end; end;

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50	-40	-30	-20	-10	0	10	20	30	40	50
-50

Заметим, что в случае 1 2

0 форма решения (2.18)

сохраняется,

но при

t получаем

x(t)

,

y(t)

. Решение неустойчиво.

X. Пусть 1 2

0. Тогда

1

x C C

t, y

cC C

cC

t .

2

1

2

g

1

2

Откуда видно, что x , y при t . Решение неустойчиво.

Пример. Исследовать устойчивость

решения

системы

уравнений

dx

y,

dy

0

dt

0.

Находим корни характеристического уравнения

0,

2 0,

0

dt

1 2

0. Находим решения

y C2,

x C2t C1. Очевидно, что

x при

t . Решение неустойчиво. Уравнение на фазовой плоскости будет

dy

0.

dx

128

Траектории y C – прямые, параллельные оси. Особая точка называется

вырожденным седлом.

home; hold on;

syms x y C1 C2 t = [-pi:0.3:pi];

s = dsolve('Dx = y','Dy = 0'); x = subs(s.x);

y = subs(subs(s.y)-t+t); for C1 = [-2:2]

for C2 = [-2:0.3:2] fx = double(subs(x));

fy = double(subs(y)).*5; plot(fx, fy);

px = gradient(fx); py = gradient(fy);

quiver(fx, fy, px, py, 0.6); disp('okay');

end; end;

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10
-8

Замечание. Математические аспекты устойчивости весьма актуальны применительно к колебательным системам. Если колебательный процесс

описывается уравнением вида			d2x		f (x,			dx	), то, вводя обозначение	dx	v,
			dt2
	dx					dv		dt		dt
получаем систему уравнений		v,					f (x,v). Фазовой плоскостью для этой
	dt					dt

системы будет плоскость x,v . Траектории на фазовой плоскости дают геометрическое изображение зависимости скорости v от координаты x. Например, если особая точка системы уравнений есть центр, траектории на фазовой плоскости есть замкнутые линии, окружающие начало координат, то

движения,

определяемые

уравнением

d2x

f (x,

dx

)

–

это незатухающие

dt2

dt

колебательные движения.

Если уравнение

d2x

f (x,

dx

)

является линейным

dt2

dt

d2 x

dx

dx

dv

вида

ax b

, то система примет вид

v,

ax bv, изученный

dt

2

dt

dt

dt

выше. Точка x 0,

v 0 – особая точка, она определяет положение равновесия.

Задачи для решения

Определить характер точек покоя следующих систем:

1

1

1.

x

x

2y , y

3x

y . 2. x

2x

y,

y

2x

y .

3

2

3.

x

x

3y, y

x

2y . 4. x

x

2y.

y , y

x

2x

5y .

5. x

6x

5y , y

2x

5y . 6. x

2y , y

129