ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение следующего вида:

F(x,y,y',...,y(n) ) 0,		(1.1)
неразрешенное относительно старшей производной, либо уравнение
y(n) f (x,y,y',...,y(n 1) ),		(1.2)
разрешенное относительно старшей производной.
Напомним, что если общее решение y (x,C1,...,Cn)	уравнения (1.2)
неявно задано уравнением
Ф(x,y,C1,...,Cn ) 0,		(1.3)
то соотношение (1.3) называют общим интегралом уравнения (1.2).
Соотношение
Ф(x,y,y',...,y(n 1),C ) 0 либо (x,y,y',...,y(n 1) ) C		(1.4)
1	1

называют первым интегралом уравнения (1.2). Иногда первым интегралом называют функцию (x,y,y',...,y(n 1) ), входящую в левую часть (1.4).

С помощью n независимых первых интегралов, исключая из них

производные y',..., y(n 1), можно получить общий интеграл (1.3) уравнения

(1.2).

Для независимости n первых интегралов i (x, y, y',..., y(n 1) ) Ci ,

i

, необходимо

и достаточно, чтобы якобиан функций i (x, y, y',..., y(n 1) )

1,n

по

последним

аргументам

не

обращался

тождественно

в

нуль:

D( 1,..., n)

0.

D(y

, y',..., y

(n 1)

)

Если известны m , 1 ≤ m < n

первых интегралов, то исходная задача

интегрирования уравнения n-го порядка сводится исключением

m старших

производных к более простой задаче

(n m)-го порядка.

Если требуется найти решение уравнения (1.2), удовлетворяющего

условиям

y(x0 ) y0 ,

y'(x0 ) y'0 ,...,y(n 1) (x0 ) y0

(n 1) , то говорят, что для

уравнения

(1.2)

поставлена

задача

Коши

и

записывают

её

в

виде

y(n)

f (x,y,y',...,y(n 1)), y(x ) y

, y'(x ) y'

,...,y(n 1)(x ) y (n 1)

. (1.5)

0

0

0

0

0

0

Теорема Коши. Пусть в уравнении (1.2)

функция f (x, y, y',...,y(n 1) )

D x x0

(n 1)

bn

определена в(n 1) -мерной области

a,

y y0

b1,...,

y(n 1) y0

в пространстве своих

аргументов.

Пусть, далее, в

области

D

функция

33

f (x, y, y',..., y(n 1) ) непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по переменным y,y',...,y(n 1) :

(n 1)

n 1

( j)

f (x,y,y',...,y(n 1)) f (x,y,y',...,y

)

N

y( j)

y

. Тогда

на отрезке

H min a, b

,

j 0

x0,x0 H , где

M max

f

,

b minbi ,

существует

M

D

i

единственное решение задачи Коши (1.5).

1.1. Понижение порядка уравнения. В некоторых случаях возможно понизить порядок дифференциального уравнения с целью упростить его интегрирование. Рассмотрим возможные случаи.

I. Уравнение не содержит исходной функции и ее производных до порядка k 1 включительно:

F(x, y(k) , y(k 1) ,..., y(n) ) 0.

(1.6)

Заменой

yk

u , где

u

– новая неизвестная

функция, уравнение

(1.6)

приводится

к

уравнению

(n k)-го порядка

F(x,u,u',...,u(n k) ) 0.

Его

решение примет вид u u(x,C1,...,C(n k) ). Функция y

находится k-кратным

последовательным интегрированием, в результате

появляются

ещё k

произвольных постоянных.

y'' y'2 . Это уравнение не содержит y ,

Пример.

Решим уравнение

поэтому

заменой

y' p,

u p(x)

оно приводится к уравнению

p' p2 , равносильному

совокупности уравнений

p 0 и

dp

dx. Из последнего находим p

1

.

p2

C1 x

Так как

p

dy

, то, интегрируя найденные соотношения, получаем для

y(x):

dx

yC , y C2 ln(C1 x).

II. Уравнение явно не содержит независимой переменной:

F(y, y',...,y(n) ) 0.	(1.7)
Порядок уравнения (1.7) понижается на единицу заменой	y' p, где

p p(y) – новая неизвестная функция. Последовательные производные y', y'', y''',... в новых переменных p и y имеют вид:

d3 y

dx3

dx

p,

d2 y

dp

dy

dp

p ,

dy

dx

2

dy

dx

dy

d

dp

d2 p dy

dp dp dy d2 p 2

dp 2

2

p

2 p

p

p

dy

dx

dy dy dx

dx dy

dy

dy

34

	и т.д. Видно, что производные	dk y	выражаются через производные от p по y
		dxk
	порядка не выше k 1. В результате указанной			замены возможна потеря
	решений y const, что проверяется непосредственной подстановкой.
	Пример 1. Рассмотренное выше уравнение y'' y'2			относится также и к типу,

не содержащему явно независимой переменной x. Поэтому порядок уравнения

понижается

на единицу

заменой

y' p,

где

p p(y) – новая неизвестная

функция.

Действительно,

y' p, y''

dp

p

и уравнение сводится к уравнению

dy

первого порядка

dp

p p2 , равносильному совокупности уравнений p 0 и

dy

dp

dy.

Из

последнего

находим:

C1 p ey .

Возвращаясь к функции y(x),

p

получаем y' 0, а также уравнение с разделяющимися переменными C1		dy	ey .
Интегрируя эти уравнения, находим для y(x): y C ,		dx
	y lnC1 ln(C2 x).
III. Уравнения в полных производных. Если левая часть уравнения
F(x, y, y',..., y(n) ) 0	(1.8)

является полной производной некоторой функции G(x,y,y',...,y(n 1) ), то,

переписывая (1.8) в виде	d	G(x, y, y',..., y(n 1) ) 0	, находим первый интеграл
	dx
уравнения G(x, y, y',...,y(n 1) ) C1 , представляющий собой уравнение уже на

единицу меньшего порядка. Иногда можно подобрать интегрирующий множитель (x, y, y',...,y(n) ), после умножения на который уравнение (1.8) становится уравнением в полных производных. Корни уравнения 0 могут

оказаться лишними решениями, а разрывность			может привести к потере
решений.
Пример. Уравнение yy'' y'2		приводится к уравнению в полных производных
после умножения на интегрирующий множитель 1/ y'2 .
IV. Пусть	уравнение	F(x,y,y',...,y(n) ) 0	однородно относительно
y,y',...,y(n 1) , т.е.	выполнено	условие F(x,ty,ty',...,ty(n) ) tk F(x,y,y',...,y(n) ).

Порядок такого уравнения понижается на единицу подстановкой y' yu , где u – новая неизвестная функция.

Пример. Уравнение yy'' y'2 является однородным, так как сохраняет свой вид после замены y , y'и y'' на ty , ty'и ty'' соответственно. Следовательно, можно понизить его порядок на единицу, полагая y' yu , где u – новая неизвестная функция. Для производных y'и y'' имеем y' yu , y'' y'u yu' y(u2 u') .

35

Исходное уравнение приобретает вид y2 (u2 u')

y2u2 , откуда

y 0

и u' 0.

Интегрируя последнее равенство, получаем u C

,

y'

C1.

1

y

Возвращаемся к переменной

y(x): y 0, y C eC1x (C

2

0).

2

V.

Пусть уравнение

F(x,y,y',...,y(n) ) 0

однородно

в

обобщённом

смысле относительно x

и y . В этом случае вид уравнения должен сохраняться

при замене x на tx и

y на tm y. При этом в соответствующие выражения

перейдут дифференциалы и производные:

dy

m 1 dy

d2 y

m 2 d2 y

dx tdx, dy tmdy, d2 y tmd2x,…;

t

,

t

,… .

dx

dx

dx2

dx2

Таким образом, для сохранения вида уравнения должно выполняться

условие

F(tx,tm y,tm 1 y',...,tm n y(n) ) tk F(x, y, y',...,y(n) ),

которое

может

выполняться не при любом

m . Для получения искомого значения

m надо

приравнять друг другу суммы показателей степеней t

в каждом слагаемом

уравнения. Получается, вообще говоря, переопределённая система. Если

искомое	значение m существует, то делается	замена	переменных x et ,
y uemt ,	где t – новая независимая переменная,	а u(t)	– новая неизвестная

функция. Получается уравнение, не содержащее явно независимой переменной t и допускающее понижение порядка, например, согласно случаю II.

Пример.			Решим		уравнение				y2 x3 y''. Уравнение	не является однородным
относительно y и производных. Но при переходе										x tx, y tm y , получаем
y''	d2 y			tmd2 y	t	m 2 d2 y			Приравниваем суммы показателей степеней t в
								.
	dx2			t2dx2			dx2

левой и правой частях уравнения и находим 2m 3 (m 2), откуда m 1. Уравнение оказывается однородным в обобщённом смысле. Замена переменных x et , y uet приводит к уравнению u u u2 0. Это уравнение является уравнением Бернулли, кроме того, не содержит явно независимой переменной t , и поэтому может быть решено разными способами, в том числе и понижением порядка согласно случаю II.

Задачи для решения

Решить следующие дифференциальные уравнения:

1. y''' x cos x . 2. y'' xex, y(0) y'(0) 0. 3. y'' 2xln x. 4. y3 y'' 1. 5. xy'' y'. 6. xy'' y' x2 . 7. yy'' y'2 y'3 . 8. y'' 1 y'2 . 9. y'' 1 y'2 . 10. y'' 2yy'. 11. yy''' 3y' y'' 0. 12. yy'' y'2 1. 13. yy'' y'2 0.

14. xyy'' xy'2 yy'. 15. 2yy'' 3y'2 4y2 .

36