pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Пример 1. 6. А =	1	2	1)	, В = (1	3)	. Тогда произведение
	( 3	1	0	1	2

А· В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпада­ ет с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение

В х А, которое считают следующим оЩ:>азом:

В . А = (1	3) .(1	2 1) = (1 + 9 2+ З		1 + о) _(10	s 1)
1	2 з	1 о	1+6 2+2	1+0 - 7	4 1 .

Матрицы А и В называются nерестаново'Чн'ЬlМи, если АВ = ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А· (В· С) = (А· В) ·С;	З. (А + В) · С = АС+ ВС;
2. А· (В +С) = АВ + АС;	4. а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имf'ют

смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1. Основные понятия

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А

(или IAI, или д), называемое ее определителем, следующим образом:

1.	п = 1.	А= (а1); detA = а1.
2.	n = 2.	А= (ан	а12	) ; det А = j а11	at2 '= а11 ·а22 - а12 ·а21 ·
		а21	а22	а21	а22

(""аз1	аз2	"")		а11	ai2	а~з
З. n = З, А = а21	а12
	а22	а2з	;	detA = а21	а22	а2з
		азз		аз1	аз2	азз

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.

Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N являет­

ся довольно сложны~ для восприятия и применения. Однако известны

методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких

порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов

20

основан на свойстве разложения определителя по элементам некото­

рого ряда (с. 23, свойство 7). При этом ~аметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно

определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример 2.1.	Найти определители матриц
			coso:	sina).
		и	( -sша
				rosa
Q Решение:
j ~	~з j = 2 · б- 5 . ( -з) = 12 -				(-15) = 21;
ro~o:		sina 1= cos2 о:+ s•ш2			(t = 1.	•
1 -sша		COSO'

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться

правилом треуголышков (или Саррюса), которое сим1юличf'СКИ можно

записать так:

1:: :1=	(1~1основания	(1~1основания
	равнобедренных	треугольников
	треуrольников	параллельны
	пара.ллельны	побочно!!
	главной	диагонали)
	диаrонали)

Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы

5	-2	1
А= 3	1	-4
б	о	-3

Q Решение:

detA =

= 5· 1 · (-3) + (-2) · (-4) ·6+3·0·l-б·l·1-3· (-2) · (-3) -О· (-4) ·5 =

= -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9. •

21

2.2. Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие опре­ делителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на опре­

делителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель

не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами,

а21 а22 а2з = а12 а22 аз2

аз1 аз2 азз

а1з а2з азз

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами опре­ делите.ля.

Cвoficmвo 2. При пер('Становке двух параллельных рядов опрсдf'-

литель меняет знак.

Своfiство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, ранен

нулю.

Свойство 4. Общий множитель элемt>н 1on какого-либо ряда опре­

делителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств З и 4 следует, что есл:и все элементы некоторого ряда

пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда,

то такой определитель равен нулю.

Q Действительно,

ан	ai2	а~з	ан	а12	а~з
k · а11	k · ai2	k · а~з	= k · ан	ai2	а~з = k ·О = О.	8
аз1	аз2	азз	аз1	аз2	азз

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя пред­ ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть

разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

ан	ai2	а1з + Ь	ан	а12	а13		а11	а12	Ь
а21	а22	а2з +с	а21	а22 а2з		+ а21 а22			с
аз1	аз2	азз + d	аз1	аз2	азз		аз1	аз2	d

Своfiство 6 («Элементарные преобразования определителя»).

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить

соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на лю­

бое число.

Пример 2.3. Доказать, что

ан	а12	U13		ан	а12	а~з + k · а12
д= а21	• а22	а2з	= а21		а22	а2з + k · а22
аз1	аз2	азз		аз1	аз2	азз + k ·аз2

22

Q Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим
а11	ai2	а1з + k · ai2
а21	а22	а2з + k · а22	=
аз1	аз2	азз + k · аз2

а11	а12	а1з	а11	ai2	ai2		•
а21	а22	а2з	+k· а21	а22	а22	= Л+k·О =Л.
аз1	аз2	азз	аз1	аз2	аз2

Дальнейшие свойства определителей свяэаны с понятиями минора

и алгебраического дополнения.

§Минором некоторого элемента а,1 определителя п-го порядка на­

зывается определитель п -1-го порядка, полученный иэ исходного

путем вычеркивания строки и сrолбца, на П{'р<'С{'Чf'нии которых нахо­ дится выбранный элемент. Обозначается rn,1 .

Так, если

ан	а12	а1з	то 1п11 = 1 аи
д = а:н а22		а2з
аз1	аз2	азз	аз2

§АJtгебраuческuм доnолн.ен.uем элемента a,J определителя на­

зывается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j - четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозна­

чается А,3: А,1 = (-1)•+3 ·m,3 .

Так, А11 = +m11, Аз2 = -mз2·

СвоiJ,ство 7 («Разложение определителя по эJ1ементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

Q В самом деле, имеем

=	а11· 1::~	::: 1+ ai2 · ( -1 ::~		::: 1) + а1з· 1::~	::~ 1=
= а11	(а22азз -	а2заз2) -	а~2(а21азз -	а2заз1) + а~з(а21аз2 -	а22аз1) =
= а11а22азз - а11а2заз2 -			а~2а21азз + а~2а2заз1 +
			+ а~за21аз2 - а1за22аз1 = д.			•

23

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей вы­

соких порядков.

Пример 2.4. Вычислите определитель матрицы

(	-~	~	~-	~)
	о	5	3	2 .
	1	-1	7	4

О Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд,

где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз­

ложении будут равны нулю.

1---.

: 3: 5 7 8

:-1:		7	о	1
:о:		5	32=
1	1
t_~J -1			7	4
		7	01	5	78			5	78		578	=
=3·		5	3 2	+1· 5	3	2 +0·		7	о	1 -1·	7 о 1
		-1 7 4		-1 7 4				-1 7 4			5 з 2
:::: 3. (7. 3. 4 + (-1) . о. 2 + 5. 7. 1 -							(-1) . 3. 1 - 7. 7. 2 - 5. о. 4)+
	+ (5. 3. 4 + (-1). 7. 2 + 5. 7. 8 -						(-1). з. 8 -			5. 7. 4 -	5. 7. 2)-
-	(5 . о .2 + 7. 1 . 5 + 7. 3 . 8 -					5 . о. 8 -		3.	1 . 5 -	7. 7. 2) :::: 122.		•

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда оп­

ределителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен­

тов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, а11А21 + а12А22 + а1зА2з = О.

§ З. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ 3.1. Основные понятия

Пусть А - квадратная матрица n-го порядка

А== (;~~	:~~	:~:)
Un1	an2	ann

~Квадратная матрица А называется 'Кевыри.>tСде'К'Коt'1, если опре­

делитель д = det А не равен нулю: д = det А '::1 О. В противном

случае (д ==О) матрица А называется выро;нсде'К'КОiJ.

24

§Матрицей, союэноit к маmрuце А, называется матрица

А* =	А11	А21	An1)
	~-1~	А22	~~~	,
	(A1n	Ain	Ann

где A,J - алгебраическое дополнение элемента aiJ данной матрицы А

(оно определяется 1ак же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

§Матрица л-1 называt>тся oбpamнoit матриц<' А, Е'<'ЛИ выпоJJняеrся

условие	А·А-1 =А- 1 ·А=Е,	(З.1)

где Е - единичная матрица того жР порядка, ч 1о и маrрица А. Ма­

трица л- 1 ИМ('f'I 1<'ЖР ра'JМРры, что и малрица А.

3.2. Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Q Прове;~ем дока·~атС'л1.с rво для случая матрицы З-1·0 поря;~ка. Пуеr ''

А= (::~ ~~~	~::)	причемdct А"# О.
аз1 аз2 азз
Составим союзную матрицу
А*=	(~~~	Аз1)
		Аз2
	А1з	Азз

т. е.

А ·А* = det А ·Е.

(3.2)

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

25

Аналогично убеждаемся, что
А* ·А= det А· Е.		(3.3)
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
А'"	А*
А·--=Е и --·А=Е.
detA	detA

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

A	- l А*	т. е. л-	1	l	(А11	•
	= detA'			= -- ·	А12
				detA	А13

Отметим своtl.ства обратной матрицы:

1.det(A-1) = delл;

2.(А. в)-1 = в-1 . л-1 ;

З. (A-l)T = (Ат)-1.

Пример 3.1. Найти А-1, если А= (-~ ~).

Q Решение: 1) Находим detA: detA =1-~			~ 1=2 + 3 =5 f. О.
2) Находим А*: Ан = 1, А21	= -3,	А12	= -(-1) = 1, А22 = 2,
поэтому А* = (~ -~).
3) Находим л-1 : л-1 = ! ( 1l	-32)· =	(_5~..1,	--~;).., .
Проверка:

А.л-1 = ( 23) .(t -~) = ( t + ~ -~ + ~) = (1 о) = Е. 8
-1 1 !	g	_! + !		I	+ g	О 1
5	5	5	5	5	5

Пример 3.2. Определить, при каких значениях Л существует ма­

трица, обратная данной:

26

О Решение: Всякая невырожденная

определитель матрицы А:

матрица

имеет

обратную.

Найдем

ЛА=

1 Л 2

-2 3 1

2 О 1

=

3 -

О+

2.Л

-

12 -

О+

2Л

=

4Л

-

9.

Если 4.Л-9 -:f:. О, т.

имеет обратную.

е.

,\-:/:-~'то

ЛА-:/:-

О,

т.

е.

матрица

А

невырожденная, 8

Пример 3.3.

Пока·3агь,

чго

матрица

А

явля<'1ся

обрюной

для

В,

если

А=О

1 2 3

i)'

В=

(

~3

-3 5 -2

~2)

Q

Решение:

НаVщем

11рои·шеде1rие

ма~ри1~

А

и

В:

=

(

3-3+1 3-6+3 3-9+6

-3		+ 5
-3		+ 10
-3	+ 15

- -

-

2 6 12

1-2+ 1)

1 - 4 + 3 1-6+6

=

(1 О

о

о 1

о

о) О

1

=

Е.

Аналогично для В.

В·

А=

Е.

Следовательно,

матрица

А

является обратной 8

3.3.

Ранг

матрицы

Рассмотрим

матрицу

,4

размера

т

х

n.

А=

i-~~~:_-:;;~j
~	.. ~.J~...
.~·3·1·
ат1	ат2

:~:

~~~...

атз

·. .

	~~:]
·. ·... ~.3~.
· ·	атп

.

Выделим

в

ней

k

строк

и

k

столбцов

(k

~

min(m;

n)).

Из

элемен­

тов,

стоящих

на

пересечении

выделенных

строк

и

столбцов,

составим

определитель

k-го

порядка.

Все

такие

определители

называются

ми­

норами

это11

матриt.j'Ы..

В

матрице

А

пунктиром

вьщелен

минор

2-го

порядка. где С~=

(Заметим, k!(nn~ k)!

что таких миноров можно составить С~ · С~
-	число сочетаний из п элементов по k.)

штук,

27

~Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от

нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или

rangA.

Очевидно, что О ~ r ~ min(m; п), Г'!:_е min(m; п) - меньшее из чисел

тип.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример З.4. Найти ранг матрицы:

2	о	4
А= З	О	6
( 1	о	-3

О Решение: Все миноры 3-ro порядка равны нулю. Есть минор 2-ro

порядка, отличный от нуля 1 ~ -~ 1 = -15 -::/:- О. Значит, r(A) = 2.

Базисный минор стоит на нересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

•

Отметим своil,ства ранга матрицы:

1.При транспонировании матрицы ее ранг не меняет<:"я.

2.Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не

изменится.

3.Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа­ гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример З. 5. Найти ранг матрицы

А=(~ ~ ~1 о'

используя результаты примера 1.4.

О Решение: В примере 1.4 показано, что

А-а !~ ~)'

то есть А~ ( ~ ~ ~ ~) .

Таким образом, ранг матрицы А равен r(A) = 2.	•

28

§ 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия

Сuстемо11 лuне11ных алгебраu-ческuх уравненu11, содержащей т

уравнений и п неизвестных, называется система вида

а11х1+а12х2+···+а1пХn=Ь1,

{ ~~~~·1·~·~~~~·2·~:::.~.~~~~~.~.:2.'...

am1X1 + am2X2 + ···+ amnXn - Ьт,

где числа а,1, i = 1,т, j = 1,п называются коэффuцuентамu системы, числа Ь, - свободными -членами. Подлежат нахождению числа Xn.

~Такую систему удобно записьшап, u компактной мampuчнoiJ

форме

IA·X=B.I

Здесь А матрица ко~ффициентов системы, на1ываf>мая оr·новноt'1

матрице11:

-	(x:·:n~)	-
х-			вектор-столбец из Нf>ИЗВССТПЫХ Х3,

В= ( i)-векто~к=л~цизсвободныхчленовЬ,.

Произведение матриц А· Х определено, так как в матрице А столб­

цов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук).

Расширенно11 матрицей системы называется матрица А системы,

дополненная столбцом свободных членов

г	а12 ...	ain	ь,)
А= ~~~	а22 ...	a2n	Ь.2
am1	ат2 ...	amn	Ьт

Решением системы называется п значений неизвестных х1 =с1 , х2 =с2,

... , Xn =Cn, при подстановке которых все уравнения системы обраща­ ются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в

29