- •«Статистические методы обработки экспериментальных данных»
- •Вариант № 3
- •Москва – 2012г Вариант №3
- •1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.
- •2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.
- •, .
- •3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.
- •4. Построение графика теоретической плотности распределения.
- •5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пуассона.
- •5.1. Группировка исходных данных.
- •5.2. Вычисление теоретических частот.
- •5.3. Статистика и вычисление ее значения по опытным данным.
- •5.4. Распределение статистики .
- •5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.
- •5.6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в примерах.
5.4. Распределение статистики .
Случайная величина имеет -распределение с r степенями свободы (r=1;2;3...), если ее плотность имеет вид
x
r-2
0
где - некоторая положительная постоянная (- определяется из равенства). Случайная величина, имеющая распределениесrстепенями свободы, будет обозначаться через.
Для дальнейшего изложения важно отметить, что, во-первых, распределение определяется одним параметром – числомrстепеней свободы и, во-вторых, существуют таблицы, позволяющие приближенно найти вероятность попадания значений случайной величиныв любой промежуток.
Вернемся теперь к статистике .Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные значения, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, что закон распределения статистики зависит:
1)от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты);
2)от количества произведенных наблюдений (от числаn) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа 1);
3)от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности и теоретические частоты).
Если выдвинутая гипотеза верна, то, очевидно, закон распределения статистики зависит только от закона распределения измеряемой случайной величины, от числаnи от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражения для) справедливо куда более сильное утверждение. А именно, при достаточно большихnзакон распределения статистики практически не зависит ни от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количестваnпроизведенных опытов:при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через.
Если в качестве предполагаемого выбрано одно из трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то
,
где - количество промежутков, на которое разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае
,
Nпар – количество параметров предполагаемого распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками. Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения ,, т.к. количество параметров предполагаемого распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценкам, равно 2 – этодля нормального распределения. Следовательно,
5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.
Статистика принимает только неотрицательные значения (всегда), причем в нуль она обращается в одном-единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (то есть придля каждого).
Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут сгруппированы около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .
Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением(или критической точкой) и обозначаемый через, который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающиеся подмножества:область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством, икритическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством.
Область принятия Критическая
гипотезы область
0
Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие () должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через α :
,
называется уровнем значимости.
Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое-либо малое значение уровня значимости и найдемкак корень уравнения
и приближенное значение можно найти из уравнения
.
Геометрические соображения показывают, что после уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число , при котором площадь под графиком функции(плотности- распределения) над участкомравнаα. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц. Эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимостиαи числу степеней свободы определить критическое значение.
Зададим уровень значимости как (условие курсовой работы).
Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:
1.Проводятнезависимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть)
2.Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков
так, чтобы количество результатов измерений в каждом из них (называемое эмпирической частотой ) оказалось не менее пяти.
3. Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).
4.С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятностии теоретические частоты попадания значений случайной величины в
-йпромежуток.
5.По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значение статистики, обозначаемое через.
6.Определяют число степеней свободы.
7.Используя заданное значение уровня значимостиαи найденное число степеней свободы, по таблице находят критическое значение .
8. Формулируют вывод, опираясь наосновной принцип проверки статистических гипотез:
если наблюдаемое значение принадлежит критической области, то есть если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента ;
если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то есть если , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.