Індив. завдання

Ðозділ «Ðяди»

Òемà: Ðяди тà їх зàстосувàння

×ислові ряди

Òеоретичні відомості

Íехàй u ,u ,...,u ,... – числовà послідовність.

1

2

n

ßкщо елементи дàної числової послідовності з'єднàти знàком плюс, то отримàємо числовий ряд u + u + ... + u + .... Àбо можнà зàписàти у вигляді:

1 2		n
		∞
	u1 + u2 + ... + un + ... = åun.
		n=1

Òàкий вирàз нàзивàють числовим рядом, à дійсні числà u1,u2 ,..., un ,... – нàзивàють членàми цього ряду.

Òеоремà (необхіднà умовà збіжності ряду).

∞

ßкщо числовий ряд åun збіжний, то його зàгàльний член прямує до

n=1

нуля, тобто виконується умовà lim un = 0.

n→ ∞

	Òеоремà (ознàкà	Ä’Àлàмберà).ßкщо для ряду з додàтними членàми
	∞			un+1
	u1 + u2 + ... + un + ... = åun	існує грàниця	lim		= l	, то:
	n=1		n→∞ un

1)ряд збіжний приl <1,

2)ряд розбіжний при l >1;

3)при l =1потребує додàткового дослідження.

Òеоремà (рàдикàльнà ознàкà Êоші).ßкщо для ряду з додàтними членàми

∞

u1 + u2 + ... + un + ... = åun існує грàниця lim n un = l, то:

n→∞

n=1

1)ряд збіжний при l <1;

2)ряд розбіжний при l >1;

3)при l =1 потребує додàткового дослідження.

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь.

Ïриклàд 1. Ïеревірити чи виконується необхіднà умовà збіжності

∞ 3n + 2

числового ряду ån=1 5n +1 і зробити висновок.

Ðозв'язàння:

Çнàйдемо грàницю зàгàльного члену ряду, тобто

101

3n + 2

é ¥ ù

3n

+

2

3

+

2

3

lim

=

= lim

n

n

= lim

n

=

¹ 0.

ê

ú

n→∞ 5n + 1

¥

n→∞ 5n

2

n→∞

2

5

ë

û

+

5

+

n

n

n

1

1

1

∞

1

Ïриклàд

2.

Äослідити

збіжність

ряду 1+

+

+ ...+

= å

,

3

n

2

n=1

n

користуючись першою ознàкою порівняння.

Ðозв’язàння:

Âикористàємо ознàку порівняння. Äля цього порівняємо зàдàний ряд із

1

1

1

∞

1

гàрмонійним рядом 1 +

+

+ ... +

+ ... = å

, який, як відомо є розбіжним.

n

1

1

2

3

n=1 n

Îскільки

³

і гàрмонійний ряд розбігàється, то і досліджувàний ряд

n

n

розбіжний.

Ïриклàд 3.

∞ 1

Äослідити ряд ån=1 n! нà збіжність зà ознàкою Ä’Àлàмберà.

Ðозв’язàння:

Äослідимо ряд нà збіжність зà ознàкою Ä’Àлàмберà. Äля цього обчислимо lim un+1 .

n→∞ un

1

1

Çгідно умови u

=

, à u

n+1

=

, тоді

n

(n +1)!

n!

lim

un+1

= lim

1

:

1

= lim

n!

= lim

1× 2 ×...× n

= lim

1

= 0 .

n→∞ un

n→∞ (n +1)!

n!

n→∞ (n +1)!

n→∞ 1× 2 ×...× n ×(n +1) n→∞ n +1

Çà ознàкою Ä’Àлàмберà, якщо для додàтного

ряду åun існує грàниця

lim

un+1

= l , то для l

< 1

ряд збігàється, для l > 1 – розбігàється. ßкщо l = 1 , то

n→∞ un

ряд може як збігàтися, тàк і розбігàтися.

Ó нàшому випàдку l = 0 < 1 , тому дàний ряд збігàється. Âисновок: ряд збігàється.

Ïриклàд 4.

	∞	æ	2n		ö2n
	Äослідити збіжність ряду åç				÷	зà ознàкою Êоші
			3n +1
	n=1	è			ø

Ðозв’язàння:

Äослідимо ряд нà збіжність зà ознàкою Êоші.

Äля цього обчислимо lim n un .

n→ ∞

102

Çгідно умови зàдàчі u	=	æ	2n		ö2n	, тоді
		ç			÷
n			3n	+1
		è			ø

æ 2n ö2n

æ 2n ö

2

æ

2n

ö

2

æ

2

ö2

æ 2 ö

2

4

l = lim n ç

÷

= lim ç

÷

= ç lim

÷

=

ç lim

÷

= ç

÷

=

9

n→∞ è

3n + 1 ø

n→∞ è

3n + 1ø

è n→∞ 3n + 1

ø

è n→∞ 3 + 1/ n ø

è 3

ø

Çà ознàкою Êоші для l <1 ряд збігàється, à для l >1 – розбігàється.

Îскільки у нàс l =

4

< 1, то дàний ряд збігàється згідно ознàки Êоші.

9

Âисновок: ряд збігàється.

Ïриклàд 5.

∞

1

Âикористовуючи інтегрàльну ознàку, дослідити нà збіжність ряд å

.

2

Ðозв’язàння:

n=1

n

1

1

Çàгàльний

член

ряду

u

=

, відповідно

f (x) =

.

Öя

функція

n

n2

x2

неперервнà, додàтнà, спàднà нà проміжку [1;+∞).

∞ dx

1

∞

Îбчислимо інтегрàл ò1

= −

1

= 0 − (−1) = 1. Îтже, інтегрàл збіжний.

x2

x

∞

Çà

інтегрàльною

ознàкою

числовий

ряд

åf (n)

і невлàсний

інтегрàл

n=1

∞

ò f (x)dx збігàються àбо розбігàються одночàсно.

1

Îтже, тàк як інтегрàл збіжний, то збіжний і дàний ряд. Âисновок: ряд збіжний.

Çнàкопочергові ряди Òеоретичні відомості

×исловий ряд, знàки членів якого строго чергуються, тобто довільні двà сусідні члени якого мàють різні знàки, нàзивàють знàкопочережним:

∞

u1 − u2 + u3 − u4 + ... + (1)n−1 un + ...= å(−1)n+1un ,де un > 0, n = 1, 2,...

n=1

Äàні ряди досліджуються зà допомогою ознàки Ëейбніцà.

Îзнàкà Ëейбніцà. Çнàкопочережний ряд збіжний, якщо виконується дві умови:

1) un+1 ≤ un ; n = 1, 2,3,...

103

2) limun = 0.

n→∞

Ïриклàд 1. Êористуючись ознàкою Ëейбніцà дослідити ряд нà збіжність

å∞ (−1)n .

n=1 2n + 3

Ðозв’язàння:

Äàний ряд знàкопочережний, тому використàємо ознàку Ëейбніцà.

1		1
un =		, тоді lim		= 0 , отже, ряд збіжний.
	2n + 3
		n→∞ 2n + 3
Ïриклàд 2.				∞		1
Äля знàкопочергового ряду å(−1)n+1
					n	3
				n=1		+1

1)зàписàти перших п’ять членів ряду;

2)дослідити збіжність ряду;

3)обчислити суму ряду з точністю до 0,01.

Ðозв’язàння.

1)Çàпишемо перших п’ять членів ряду:

Äля того щоб отримàти перший член ряду підстàвимо у зàгàльний член

ряду u

= (−1)n+1

1

знàчення n = 1 ,

тоді

u1 = (−1)1+1

1

=

1

= 0,5 – перший

n

3

n

+1

3

2

член ряду.

1 +1

1

Àнàлогічно

при n = 2 u

2

= (−1)2+1

≈ −0,111 отримàємо другий член

23 +1

ряду;

1

u3

= (−1)3+1

≈ 0,036 – третій член ряду;

3

+1

3

u

4

= (−1)4+1

1

≈ −0,015 – четвертий член ряду;

43 +1

5+1

1

u5

= (−1)

≈ 0,008 – п’ятий член ряду.

53 + 1

2) Äослідимо ряд нà збіжність.

Ïеревіримо виконàння умов ознàки Ëейбніцà:

∙ 0,5 > 0,111> 0,036 > ...отже, члени ряду монотонно спàдàють зà àбсолютною

величиною;
∙ обчислимо їх грàницю без врàхувàння знàків: lim	1		= 0 .
n→∞ n3 + 1

Òàк як обидві умови виконуються, то дàний ряд збігàється згідно ознàки Ëейбніцà.

Âисновок: ряд збіжний.

3)Îбчислимо суму ряду з точністю до 0,01.

104

Ï'ятий член ряду менше зàдàної точності. Òому, щоб обчислити суму ряду із

зàдàною точністю

достàтньо

взяти

суму

перших

чотирьох

його членів:

S ≈ 0,5 − 0,111+ 0,036 − 0,015 = 0,41.

Îтже, сумà дàного знàкопочергового ряду з точність до 0,01 дорівнює

0,41.

Ñтепеневі ряди

Òеоретичні відомості

Ñтепеневим рядом нàзивàється функціонàльний ряд вигляду:

a

0

+ a x + a

2

x2

+ ... + a

n

x

n

+ ...

àбо

∞

n

(1)

1

å an x

n =0

де a0 , a1, ...,an – дійсні числà, які нàзивàються коефіцієнтàми ряду.

Çàгàльний член степеневого ряду познàчàється un (x) = an xn .

Ñтепеневим рядом зà степенями двочленà

x - x0 , де

x0 – дійсне число,

нàзивàють функціонàльний ряд вигляду:

∞

a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − x0 )n

+ ... = åan (x − x0 )n , (2)

деai R, x0 R .

n=0

Òеоремà Àбеля. 1. ßкщо степеневий ряд (1) збіжний при x = x0

¹ 0 , то він

àбсолютно збіжний і при x тàких, що

x

<

x0

.

2. ßкщо

при

x = x0

степеневий ряд (1) розбіжний при, то він

розбіжний всюди, де

x

>

x1

.

f (x ) +

f ′(x

)

(x − x

)

f ′′(x

)

(x − x

)

2

f

(n) (x

)

(x

− x )

n

Ðяд

0

+

0

+ ... +

0

+ ...

0

1!

0

2!

0

n!

0

нàзивàється рядом Òейлорà для

f (x).

Ïри x0 = 0 мàємо ряд вигляду:

f (x) = f (0)

f ′

(0)

f ′′(

0)

f (n) (0)

+

x +

x

2 + ...+

xn + ....

2!

n!

1!

який нàзивàється рядом Ìàклоренàдля f (x).

Ðозклàд елементàрних функцій у ряд Ìàклоренà

ex = 1+

x

+

x2

+

x3

+ ...+

xn

+ ...;

x (−∞;+∞)

n!

1!

2!

3!

x3

x5

n

x2n+1

x (−∞;+∞)

sin x = x −

+

− ... + (−1)

+ ... ;

3!

5!

(2n + 1)!

105

cos x = 1−

x2

+

x4

− ... + (−1)n

x2n

+ ... ,

x (−∞;+∞)

(

2!

4!

2n)!

(1 + x)α

α (α −1)

α

(

α −1

)

...

(

α −

(

n −1

))

xn

= 1 + α x +

x2

+ ... +

+ ...;

(n + 1)!

2!

− 1 < x < 1

1

= 1+ x + x2 + x3 + x4 + ... + xn ;

− 1 <

x

< 1

1− x

1

= 1− x2 + x4

− x6

+ ...;

− 1 <

x < 1

1+ x2

arctg x = x −

x3

+

x5

−

x7

+ ... + (−1)n

x2n+1

;

x [−1;1]

5

2n +1

3

7

ln (1+ x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+ ... + (−1)n−1

xn

+ ...;

− 1 <

x

≤ 1

2

3

4

n!

1 + x

æ

x

3

x

5

ö

; − 1 <

ln

= 2

ç x +

+

+ ...÷

x

< 1

1 - x

è

3

5

ø

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвддàнь

∞

x

n

Ïриклàд 1. Çнàйти облàсть збіжності ряду å

.

Ðозв'язàння. Ìàємо:

n=1

2n +1

1

1

un (x) =

, un+1 (x) =

.

2n + 3

2n + 1

Òоді R = lim

an

= lim

2n + 3

= 1.

an+1

n→∞

n→∞ 2n + 1

Îтже, інтервàл збіжності ряду: − 1 < x

<

1 .

Äослідимо збіжність ряду нà кінцях інтервàлу. Íехàй x = − 1 . Òоді мàємо

∞

(−1)

n

1

1

1

ряд å

=1−

+

−

+ ....

Öе

знàкопочережний

ряд,

що

збігàється зà

2n +1

5

n=1

3

7

ознàкою Ëейбніцà.

∞

1

1

1

1

Ïри x = 1 мàємо ряд å

=1+

+

+

+ ..... Äàний ряд є розбіжним

7

n=1 2n +1

3

5

зà ознàкою порівняння з гàрмонійним рядом.

Îтже, остàточно для облàсті збіжності зàдàного ряду мàємо − 1 ≤ x < 1 . Ñтепеневі ряди зàстосовують для:

106

1)Íàближеного обчислень знàчень функції.

2)Íàближене обчислення визнàчених інтегрàлів;

3)Íàближене інтегрувàння диференціàльних рядів;

Ïриклàд 2. Îбчислити

1

з точністю до 0,00001.

5 e

Ðозв’язàння. Âикористàємо розвинення функції ex в степеневий ряд і

отримàємо:

1

−

1

1

1

1

1

1

= e 5 = 1−

+

−

+

−

+ ... ≈

1!5

4!54

5 e

2!52

3!53

5!55

= 1 − 0 , 2 + 0 , 0 2 − 0 , 0 0 1 3 3 3 + 0 , 0 0 0 0 6 7 − 0 , 0 0 0 0 0 2 6 7 + . . .

Ïриклàд3. Ðозклàсти в степеневий ряд функцію

f (x) = e−x2 .

Ðозв’язàння. Â розвиненні

ex = 1

+

x

+

x2

+

x3

+ ... +

xn

+ ...; x (−∞;+∞),

3!

n!

зàмінимо x нà (−x2 ) і отримàємо:

1!

2!

e− x2

=1−

x2

+

x4

−

x6

+

x8

− ...,

x

(−∞;+∞).

1!

2!

3!

4!

	²ндивідуàльне зàвдàння 11.
1. Çàпишіть	зàгàльний		Âàріàнт 1	диференціàльного	рівняння
			розв’язок

ydx + (x − y3 )dy = 0 .

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок лінійного диференціàльного рівняння

y′ −

3y

= x , який зàдовольняє почàтковим умовàм y (2) = 20 .

x

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ − 4 y′ + 3 y = 3e4 x при у(0)=1, у(0)=1.

Âàріàнт 2

2y

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

рівняння y′

=

.

x3

1 − 2x

2.

Çнàйдіть чàстинний

розв’язок диференціàльного

рівняння y′ +

y = 1,

який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(1) =1

x2

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ + 3y′ + 2 y = 4x2 − 7x − 2

при

y (0) = −3;

y′(0) =1.

107

1. Çàпишіть	зàгàльний		Âàріàнт 3	диференціàльного	рівняння
			розв’язок
(1+ x2 ) y′ +1+ y2 = 0 .

2.Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння xdy − ydx = ydy , який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(1) =1.

3.Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y

′′

+ 4 y

′

− 5y = 3e

−5 x

при y(0) = 2

;

′

y (0) = 3.

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

Âàріàнт 4

+ y tg x dx = 0 .

рівняння dy

2.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння y′ =

y

2

− 2 , який

x

2

зàдовольняє зàдàним умовàм y (1) = −3

3.Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного рівняння 2-го порядку y′′ − 6 y′ + 9 y = e3x при y (0) = −3; y′(0) =1.

Âàріàнт 5

1.Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння (xy2 + x)dy + (x2 y − y )dx = 0

2.Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння

y′ − 3y = x , який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(π / 2) = 4 .

	x
3.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного
	рівняння 2-го порядку y′′ − 4 y′ + 4 y = e2 x			при y(0) = 2; y′(0) = 8.
		Âàріàнт 6
1.	Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння
			6 + y2		dx + xdy = 0 .
2.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння y′ = tg					y	+	y	, який
						x x

зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y (1) = π / 6 .

3.Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного рівняння 2-го порядку y′′ − 4 y′ + 3y = e3 x при y (0) = −3; y′(0) = 9.

Âàріàнт 7

1.	Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння y′ +			1− y2		= 0
				1− x2
2.	Çнàйдіть	чàстинний	розв’язок	диференціàльного			рівняння

y′cos x − y sin x = sin 2x , який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(0) =1.

3. Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного рівняння 2-го порядку y′′ − 8y′ +16 y = e4 x при y(0) = 0; y′(0) =1.

108

Âàріàнт 8

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння (1+ x2 ) y′ −

1+ y2

= 0

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

однорідного

диференціàльного

рівняння

y′ =

x

+

y

, який зàдовольняє почàтковим умовàм y (1) =

.

2

y x

3.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

лінійного

неоднорідного

диференціàльного

рівняння 2-го порядку 2 y ′′ −

y ′ = 10 e

x

при y(0) = 0;

y (0) =1.

2

′

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

Âàріàнт 9

диференціàльного рівняння y′ = 10x+ y

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок рівняння y′ − xy = x2 ,

який

зàдовольняє

зàдàним почàтковим умовàм y (0) = −3

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ + 3y′ + 2 y = 4x2 − 7x − 2

при

y (0) = −3; y′(0) =1.

Âàріàнт 10

1 + y2

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок диференціàльного рівняння

y′ =

1 + x

2

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

рівняння

(x + 1)y′ − 3 y = e x (x + 1)4 , який

зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(0) = 5

3.

Çнàйдіть чàстинний

розв’язок

лінійного

неоднорідного

диференціàльного

рівняння 2-го порядку y

′′

− 3y

′

= 4 e

3x

при y(0) =1; y

′

(0) =1.

Âàріàнт 11

y −1dx + x y ln xdy = 0

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

рівняння yx

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

диференціàльного

рівняння

x2 y′ = y2 + xy ,

який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(1) = 0 .

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ − 4 y′ + 5y = e2 x при y(0) =1;

y′(0) = 0 .

Âàріàнт 12

1.

o Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння (1 − x2 ) y′ −

9 − y2

= 0 .

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

диференціàльного

рівняння x2 y2 y′ + yx3 = 1,

який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(0) = 3.

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ − y′ = 3ex при y(0) = 0;

y′(0) = 0 .

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

Âàріàнт 13

диференціàльного рівняння y′ = 3x−y

109

	2.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння	y′ =	y2	−	y	, який
				x2		x
	зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y (1) = π / 3
	3.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного
		рівняння 2-го порядку y′′ − 2 y′ + y = 2 ex при y(0) = 5; y′(0) = 4 .

Âàріàнт 14

1.Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння (25 + x2 ) y¢ =104 - y2

2.Çнàйдіть чàстинний розв’язок диференціàльного рівняння y′ + y = cos x , який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(0) = −0,5 .

3.Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного рівняння 2-го порядку y′′ − 3y′ + 2 y = e2 x при y (0) = −3; y′(0) = 2 .

Çàпишіть зàгàльний розв’язок

Âàріàнт 15

1.

рівняння (5 + y2 )dx - xydy = 0

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

диференціàльного

рівняння

xy

+ y2

= (2x2

+ xy) y′ , який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(1) = 3

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ + 6 y′ + 9 y = 9e−3x при y (0) = −3;

y′(0) =1.

Âàріàнт 16

dy - (1 + y2 )dx = 0 .

1.

Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння

9 - x2

2.

Çнàйдіть

чàстинний

розв’язок

диференціàльного

рівняння

æ

2 ö

2 y

ç 4 -

y

÷ dx +

dy = 0 , який зàдовольняє зàдàним умовàм y(1) = 0

2

è

x

ø

x

3.

Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

рівняння 2-го порядку y′′ + 8y′ = e8 x при y(0) =1; y′(0) =1.

Âàріàнт 17

1.Çàпишіть зàгàльний розв’язок рівняння (4 + x2 ) y¢ - 5 + y2 = 0 .

2.Çнàйдіть чàстинний розв’язок рівняння 3y2 y′ + y3 = x + 1, який зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(0) = 3.

3.Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного

		рівняння 2-го порядку y′′ − 6 y′ + 9 y = e3x при y(0) =1;							y′(0) =1.
			Âàріàнт 18
	1.	Çàпишіть зàгàльний розв’язок	рівняння	y¢
						-	81- y2	= 0 .
				x
	2.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок рівняння xydx - (x2 - y2 )dy = 0 , що
	зàдовольняє зàдàним почàтковим умовàм y(2) =1.
	3.	Çнàйдіть чàстинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціàльного
		рівняння 2-го порядку y′′ + 2 y′ + y = e− x при y(0) =1;							y′(0) =1.

110