Індив. завдання

2.Ðівняння прямої, що проходить через точки Ì1 (x1; y1 )і Ì2 (x2 ; y2 ) мàє вигляд:

x − x1

=

y − y1

(2)

y2 − y1

x2 − x1

Ïідстàвивши в (2) координàти точок À і Â, зàпишемо рівняння сторони

ÀÂ:

x - (-4)

=

y - 8

,

x + 4

=

y -8

,

x + 4

=

y -8

,

9

3

5 - (-4) - 4 -8

-12

- 4

Äля знàходження кутового коефіцієнтà kAB прямої ÀÂ розв’яжемо

отримàне рівняння відносно у:

3y − 24 = −4x −16,

4x + 3y − 8 = 0

y = - 4 x + 8 , 3 3

звідси kAB =-4/3.

Ïідстàвимо в формулу (2) координàти точок À і Ñ і знàйдемо рівняння прямої ÀÑ:

x - (-4)

=

y - 8

,

x + 4

=

y - 8

,

x + 4

=

y - 8

,

14

- 2

7

-1

10 - (-4) 6 - 8

x + 7 y − 52 = 0 (AC),

звідси kAC = -1/7.

Àнàлогічно знàходимо рівняння прямої ÂÑ:

x − 5

=

y − (− 4)

,

x − 5

=

y + 4

,

x − 5

=

y + 4

,

5

10

10 − 5 6 − (− 4)

1

2

2x − y −14 = 0 (ÂÑ), звідки kBC = 2.

3. Êут α між двомà прямими, кутові

коефіцієнти яких

дорівнюють k1ik2,

визнàчàється зà формулою:

tgα = κ 2 -κ1 1+κ1κ 2

Êут À, утворений прямими ÀÂ і ÀÑ, знàйдемо підстàновкоюk1 = kAB = -4/3, k2 = kAC = -1/7.

(3)

зà формулою (3)

4. Îскільки висотà CD перпендикулярнà стороні ÀÂ, то кутові коефіцієнти цих прямих обернені зà величиною і протилежні зà знàком, тобто

			1			æ		4 ö						4			1				25
	-				- ç-					÷					-
			7					3
													3								21
tgA =						è				ø		=			7				=				=1,
	æ					1	öæ			4	ö				4
																					25
	1+ ç			-			÷ç	-			÷	1+
																					21
						7				3
	è						øè				ø				21

21

ÐA = arctg1 = 45° » 0,785рàд.

kCD = -1/kAB = -1/(-4/3) = 3/4.

Ðівняння прямої, що проходить через дàну точку Ì1 (х1; у1) в зàдàному коефіцієнтом k нàпрямі, мàє вигляд:

у – у1 = k (х – х1).(4)

Ïідстàвивши в (4) координàти точки Ñ (10; 6) і кутовий коефіцієнт kCD = 3/4, отримàємо рівняння висоти CD:

у – 6 = 3/4· ( х – 10),	4у –	24 = 3х – 30,
3х – 4у – 6 = 0	(CD).	(5)
Çнàйдемо рівняння висоти ÂÍ тàк, як і висоти CD:

(BH),	y -(-4) =7×(x-5),	y+4=7x−35,	y−7x+39=0
тому	kBH = -1 k AC = -1 (- 1/ 7)= 7.

Äля відшукàння точки K – точки перетину висот ÂÍ і CD – розв’яжемо

систему, якà склàдàється з рівнянь цих прямих:

ì3x - 4y - 6 = 0,

í

îy - 7x + 39 = 0;

ì3x - 4y - 6 = 0,

í

îy = 7x - 39;

ì3x - 4(7x - 39) - 6 = 0,

í

îy = 7x - 39;

ì3x - 28x +156 - 6 = 0,

í

îy = 7x - 39;

ì- 25x = -150,

í

îy = 7x - 39;

ìx = 6,

í

îy = 3.

Îтже, т. Ê (6;3).

5. Ùоб зàписàти рівняння медіàни CM, визнàчимо спочàтку координàти точки M, якà є серединою сторони AB, використовуючи формули ділення відрізкà нà

x =	x1 + x2			,	y =			y1 + y2		,
		2
								2	(6)
xM		=	− 4 + 5		=	1	,	yM	=		8 + (-4)	= 2.
		2			2				2

дві рівні чàстини:

Âідповідно, Îтже, Ì (1/2; 2).

Ðівняння медіàни ÑÌ зàпишемо, скористàвшись формулою (2):

8x -19y - 4 + 38 = 0, 8x -19 y + 34 = 0

(CM)

22

6. Äля відшукàння довжини висоти скористàємося формулою знàходження

відстàні від точки Ì (x0 ; y0 )до прямої																Ax + By + C = 0 :
							ρ(M ;l)=				Ax0					+ By0 + C					.
		1													A2 + B2
	x -						y - 2		x -				1				y - 2					1 ö
																				æ
	2								2															=19 ×(y - 2),
						=		,								=			,		8×ç x -		÷
1							6 - 2		19								4			è		2	ø
10 -
									2
2

Ïідстàвивши координàти точки Ñ (10; 6) і коефіцієнти при невідомих з рівняння прямої ÀÂ: 4x + 3y - 8 = 0, одержимо:

ρ(C; AB)=		4×10 + 3×6 - 8			=	50	=10.
		42 + 32			5

7. Ìножинà точок трикутникà ÀÂÑ є перетином трьох півплощин, першà з яких обмеженà прямою ÀÂ і містить точку Ñ, другà обмеженà прямою ÂÑ і містить точку À, третя – прямою ÀÑ і містить точку Â.

Ùоб зàписàти нерівність, якà визнàчàє півплощину, обмежену прямою ÀÂ і містить точку Ñ, підстàвимо в рівняння прямої ÀÂ координàти точки Ñ:

4·10 + 3·6 – 8 = 50 > 0.

Òому шукàнà нерівність мàє вигляд:

4x + 3y -8 ³ 0.

Ïідстàвивши в рівняння прямої ÂÑ координàти точки À (-4; 8), отримàємо:

2 (- 4) – 8 – 14 = - 30 <0.

2x - y -14 £ 0.

Øукàну нерівність зàпишемо у вигляді:

Àнàлогічно склàдàємо нерівність, якà визнàчàє півплощину, що обмеженà прямою ÀÑ і містить точку Â:

5 + 7 · (- 4) – 52 = - 75 <0. Òретя шукàнà нерівність мàє вигляд: х + 7у – 52 ≤ 0.

Îтже, множинà точок трикутникà ÀÂÑ визнàчàється системою нерівностей:

ì4x + 3y -8 ³ 0,

ï

í2x - y -14 £ 0,

ïîx + 7y - 52 £ 0.

Íà мàл.1 в декàртовій прямокутній системі координàт ÕÎÓ зобрàжено трикутник ÀÂÑ з висотою CD і медіàною ÑÌ.

23

y

A

8

H

C

K

M

D

-4

-4

B

10

x

Ìàл.1

Êриві другого порядку Òеоретичні відомості

Ëінії, рівняння яких в декàртовій системі координàт є àлгебрàїчним

рівнянням другого ступеня Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey − F = 0 , де A тà B

одночàсно не дорівнюють нулю, тобто, будемо розглядàти àлгебрàїчні криві другого порядку.

Åліпсом нàзивàється множинà всіх точок площини, сумà відстàней від яких

до двох дàних точок, які нàзивàються фокусàми, є величинà стàлà, рівнà 2à.

	x2	+	y2	=1	– кàнонічне рівняння еліпсà.
	a2		b2

Ãіперболою нàзивàється множинà всіх точок площини, àбсолютнà величинà різниці відстàней від яких до двох дàних точок, які нàзивàються фокусàми є стàлà величинà рівнà 2à. Ïри цьому ввàжàємо, що 2с>2à.

	x2	−	y2	=1	– кàнонічне рівняння гіперболи.
	a2		b2

Ïàрàболою нàзивàється множинà всіх точок площини, рівновіддàлених від дàної точки, якà нàзивàється фокусом і дàної прямої, якà нàзивàється директрисою.

24

y2 = 2px – кàнонічне рівняння пàрàболи.

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1.

Íàписàти рівняння лінії, для кожної точки якої відношення відстàней до точки F ( 3; 0) і до прямої х = 12 дорівнює b = 0,5. Çробити мàлюнок.

y

3

3√3																			B
F1										M															x
														6
					F2
-3
	1													12

Ìàл.2

Ðозв’язàння.

Íехàй Ì (х; у) – довільнà точкà шукàної лінії. Îпустимо перпендикуляр ÌÂ нà пряму х = 12 (мàл. 2). Òоді т. Â (12; у).

Òоді

(x − 3)2 + y2				1	.
			=
				2
(x −12)2

Ïіднесемо прàву і ліву чàстини до квàдрàтà, отримàємо:

x2 − 6x + 9 + y2

=

1

,

4x2 − 24x + 36 + 4 y2 = x2 − 24x +144,

x2 − 24x +144

4

3x2

+ 4y2

= 108.

Ïоділимо прàву і ліву чàстини рівності нà 108, тàк щоб в прàвій чàстині

отримàти 1:

x

2

+

y

2

=1.

36

27

Îтримàне рівняння предстàвляє собою еліпс вигляду

x2

+

y2

=1,

a2

b2

де à = 6, b = 3 3 .

25

Âизнàчимо фокуси еліпсà F1 (-c; 0) iF2 (c; 0). Äля еліпсà спрàведливà рівність b2 = a2 – c2, звідки с2 = à2 – b2= 9 і c = 3.

Òобто F1 (-3; 0) iF2 (3; 0) - фокуси еліпсà ( точки F і F2 співпàдàють). Åксцентриситет еліпсà ε = с/à = 3/6 = 1/2.

Ïриклàд 2. Çнàйти геометричне місце точок, однàково віддàлених від

точки A(2;0) і прямої x + 1 = 0 .

Ðозв’язàння:

Íехàй точкà M (x, y)

тàкà, що

AM

= d , де d

– відстàнь від точки M до

прямої x + 1 = 0 .

d =

x +1

Òàк

як

AM

=

(x − 2)2 + y2 ,

à

=

x +1

,то

мàємо

1

рівняння

(x − 2)2 + y2

=

x + 1

, тоді (x − 1)2 + y2

= (x + 1)2 ,

звідки x2 − 4x + 4 + y2 − x2 − 2x −1= 0 .

2

æ

1 ö

y2 − 6 x + 3 = 0 ; y2 = 6 x + 3 ; y

= 6

ç x +

÷ , яке визнàчàє нà площині пàрàболу.

è

2 ø

Ïлощинà в просторі Òеоретичні відомості

Ax + By + Cz + D = 0 – зàгàльне рівняння площини.

x + y + z =1 – рівняння площини у відрізкàх. a b c

	x − x1	y − y1	z − z1
	x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1	= 0	– рівняння площини, якà проходить через
	x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1

точки M1 (x1; y1; z1 ); M2 (x2; y2; z2 ); M3 (x3; y3; z3 ).

	cosϕ =	A1A2	+ B1B2 + C1C2			– кут між двомà площинàми.
		+ B2	+ C2	A2	+ B2
	A2					+ C2
	1	1	1	2	2	2

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 – умовà перпендикулярності двох площин.

A1 = B1 = C1 – умовà пàрàлельності двох площин.

A2 B2 C2

26

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1.

Ñклàсти рівняння площини, якà проходить через три точки Ì1(1, 1, 1), Ì2(2, 3, 4), Ì3(4, 3, 1).

Ðозв’язàння.

			x − x1	y − y1		z − z1
Ïідстàвивши у формулу			x2 − x1	y2 − y1		z2 − z1			= 0	координàти зàдàних
			x3 − x1	y3 − y1		z3 − z1
точок, отримàємо:
			х −1	у −1	z −1
			2 −1	3 −1	4 −1			= 0 .
			4 −1	3 −1	1−1

Ðозкривши визнàчник, дістàнемо рівняння 6х − 9у + 4z −1 = 0. Âідповідь: 6х − 9у + 4z −1 = 0.

Ïриклàд 2.

Çвести рівняння площини 2х + 3у + z − 6 = 0 до вигляду рівняння площини

у відрізкàх.

Ðозв’язàння.

Äля цього поділимо обидві чàстини рівняння нà 6:

х

+

у

+

z

=1.

2

3

6

Îтже, площинà перетинàє осі координàт у точкàх х = 3, у = 2, z = 6.

Ïриклàд 3.

рівняння площини, якà проходить

через пряму

Ñклàсти

х −1

=

у − 2

=

z − 3

і точку Ì1(1, 1, 1).

1

2

−1

Ðозв’язàння.

Çнàходимо зàгàльні рівняння прямої

х −1

=

у − 2

,

х −1

=

z − 3

àбо2х − у = 0,

х + z − 4 = 0.

1

1

2

−1

Óтворимо пучок площин 2х − у + λ(х + z − 4) = 0 і визнàчимо ту з них, якій

нàлежить точкà Ì1(1, 1, 1). Ìàємо 1− 2λ = 0,

λ =

1

.

Îстàточно

зàпишемо

2

шукàної

рівняння

площини:2х − у + 1 (х + z − 4) = 0 5x − 2y + z − 4 = 0. 2

27

Çàвдàння розрàхунково-грàфічних робіт.

²ндивідуàльне зàвдàння 1.

Âàріàнт 1

															3		7		−1								1			−4			3	1
1.	Îбчислити визнàчники: a)						−1	5				; b)											;c)				3					1	2	0
															8		1			2
							2	1																			0					1	−2	0
															3		6			7
																											0					0	5	−1
																		æ2				5								7 ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A =																	ç	6			3								4		÷
																		ç														÷.
																		ç	5			-2								-3		÷
																		è														ø
								Âàріàнт 2																					0			1	1	−2
														3			1			2
1.	Îбчислити визнàчники: a)					3		−2				;b)											;c)						2		−3		−4	0
														6			3			4
						7		14																					3 −2				3	1
														−5			1		−6
																													0			0	1	3
																		æ3				-4								5 ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A =																	ç	2			-3								1	÷
																		ç													÷ .
																		ç	3			-5									÷
																		è												-1ø
								Âàріàнт 3																						1		1	2	0
															2			5		−6
							3																							−1		2	−1	1
1.	Îбчислити визнàчники: a)							1				; b)			2			1		0				;c)
							9	−6																						5		0	1	0
															−4			8		6
																														2		1	0	0
																		æ2				7		3ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A =																	ç	3			9		4						÷
																		ç												÷ .
																		ç	1			5		3						÷
																		è												ø
								Âàріàнт 4																		4				5		1	−1
													1				−7			1
1.	Îбчислити визнàчники: a)				2			9		; b)												c)				3				0		0	2
													8				0			4
					3			1																		1				1		0	−1
													−5				6			7
																										2				4		1	0
																		æ1				2								2 ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A =																	ç	2			1								-2	÷
																		ç													÷ .
																		ç	2			-2								1	÷
																		è													ø

28

Âàріàнт 5

																−2			4		6			3			1	2		−3
1.	Îбчислити визнàчники: a)							1	3				; b)										;c)	1		−1		2		4
																7			0		3
								3		−7														0			0	3		2
																−1			1		7
																								0			1	−1		2
																			æ3		5				-2ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A																	=	ç	1	-3				2		÷
																			ç								÷.
																			ç	6 7 -3							÷
																			è								ø
										Âàріàнт 6														−2			1		1			−5
															1			−2			0
1.	Îбчислити визнàчники: a)						4			−1			;b)										;c)	1			2	−1		4
															3			1			4
							5		1															0			−4		0	4
															−5			4			9
																								0			1	−2		2
																			æ1		-1				2 ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A																	=	ç		1					÷
																			ç1					-2÷.
																			ç		1				4	÷
																			è1							ø
										Âàріàнт 7														2		−1		3	−3
														1				2		1
1.	Îбчислити визнàчники: a)					2				−1			;b)										;c)	1			3	2	−3
														4				0		−2
						2			13															0			3	1	1
															−5			2		6
																								0			0	2	−1
																			æ2		3			4ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A																	=	ç	1	2			5	÷
																			ç						÷ .
																			ç	4	7			6	÷
																			è						ø
										Âàріàнт 8														−1			3	−1		−1
															−1			−7			1
1.	Îбчислити визнàчники: a)				−5				4				;b)										;c)	5			2	0		2				.
															0			3			4
					4				3						5			6			7			1			1	0		−1
																								3			2	4		0
																			æ3		-1				2ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A																	=	ç	0	-2				1	÷
																			ç							÷.
																			ç	5	0				3	÷
																			è							ø

29

Âàріàнт 9

					−2	−7			7		0	1	6	1
1.	Îбчислити визнàчники: a)	−5	1	;b)						;c)	1	−4	1	−1	.
					1	2			4
		−3	1		5	0			−1		3	4	−3	2
											1	0	3	−1
							æ2		-1		3	ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A =						ç	4	2		5	÷
							ç					÷ .
							ç	6	1		-2	÷
							è					ø

Âàріàнт 10

1.Îбчислити визнàчники:

				3	2	−1			3	2	−1	1
a)	3	8	; b)					; c)	2	3	4	2
				−8 1		2
	2	−1							−1	0	1	1
				3	6	−7
									1	4	−1	2
												æ2			1	1	ö
2. Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці												ç	1		0	2	÷
												ç					÷.
												ç	3		1	2	÷
												è					ø

Âàріàнт 11

1.Îбчислити визнàчники:

				1	−5	6		2		1		−1	8
	a)	2 7	; b)				; c)	3 0 2					3	.
				−8 0		2
		8 3		−2	2	−7		0		3		−1	2
								1		1		−2	2				æ 2		1		-3ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A														=		ç	-4	0		1	÷
																	ç					÷ .
																	ç	0	3		-2	÷
																	è					ø
										Âàріàнт 12											1	5	−1	2
													1		7			−1
1.	Îбчислити визнàчники: a)								0	4		; b)								; c)	3	1	2	1		.
													2		4			−3
									8	−1			3		7			−7			2	0	1	3
																					0	5	−2	1
																	æ1		-3		0 ö
2.	Çнàйти мàтрицю, обернену до мàтриці A														=		ç	0	2			÷
																	ç				-1÷.
																	ç	3	-1			÷
																	è				-1ø

30