Індив. завдання

М²Н²СТЕРСТВО АГРАРНО¯ ПОЛ²ТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРА¯НИ

ПОЛТАВСЬКА ДЕРЖАВНА АГРАРНА АКАДЕМ²Я

Êàфедрà вищої мàтемàтики і логіки

ГОРДА ². М.

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Ìетодичні рекомендàції тà індивідуàльні зàвдàння до виконàння розрàхунково-грàфічних робіт

2014 р.

Àвтор:

Ãордà ². Ì., стàрший виклàдàч кàфедри вищої мàтемàтики і логіки Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії

Ðецензенти:

Øенгерій Ë. Ì., доктор філософських нàук, професор, зàвідувàч кàфедри вищої мàтемàтики і логіки Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії;

Ðуденко Î. Ï., доктор фізико-мàтемàтичних нàук, професор, àкàдемік Àкàдемії нàук вищої школи Óкрàїни, зàвідувàч кàфедри зàгàльної фізики і мàтемàтики і мàтемàтики Ïолтàвського нàціонàльного педàгогічного університету імені Â. Ã. Êороленкà;

Øвець Â. Î., кàндидàт педàгогічних нàук, професор, зàвідувàч кàфедри мàтемàтики і теорії тà методики нàвчàння мàтемàтики Íàціонàльного педàгогічного університету імені Ì. Ï. Äрàгомàновà.

Ðозглянуто тà рекомендовàно до друку:

Êàфедрою вищої мàтемàтики і логіки Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії Ïротокол № 7 від 24 січня 2014 р.

Íàуково-методичною рàдою нàпряму підготовки «Îблік і àудит» Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії Ïротокол № 7 від 5лютого січня 2014 р.

Íàуково-методичною рàдою нàпряму підготовки «Ôінàнси і кредит» Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії Ïротокол № 7 від 30 січня 2014 р.

Íàуково-методичною рàдою нàпряму підготовки «Åкономікà підприємствà» Ïолтàвської держàвної àгрàрної àкàдемії Ïротокол № 6 від 31 березня 2014 р.

Ãордà ². Ì. Âищà мàтемàтикà. Ìетодичні рекомендàції тà індивідуàльні зàвдàння розрàхунково-грàфічних робіт / ². Ì. Ãордà. – Ïолтàвà: ÐÂÂ ÏÄÀÀ, 2014. – 128 с.

Ìетодичні рекомендàції містять індивідуàльні зàвдàння розрàхунковогрàфічних робіт з усіх розділів дисципліни «Âищà мàтемàтикà» і признàчені для поточного вимірювàння якості мàтемàтичної підготовки студентів нàпрямів підготовки: 6.030508 «Ôінàнси тà кредит», 6.030509 «Îблік і àудит», 6.030504 «Åкономікà підприємствà» в умовàх проведення моніторингу нàвчàльних досягнень студентів з мàтемàтики. Ó них нàведено методичні вкàзівки до виконàння розрàхунково-грàфічних робіт, приклàди розв’язків типових зàвдàнь тà індивідуàльні зàвдàння.

©Ãордà ².Ì. 2014 р.

©Ïолтàвськà держàвнà àгрàрнà àкàдемія, 2014 р.

2

ВСТУП

Íà сьогодні до випускників вищих àгрàрних нàвчàльних зàклàдів стàвляться високі вимоги, вони повинні бути висококвàліфіковàними, діловими тà компетентними, володіти як теоретичними здобуткàми, тàк і прàктичними нàвичкàми, вміти інновàційно і сàмостійно мислити, творчо прàцювàти тà знàходити вихід із різномàнітних ситуàцій, продумуючи нàперед можливі нàслідки своєї діяльності, àдже від рівня їх професійної підготовки, їх умінь тà освіченості, зàлежить розвиток àгрàрного сектору Óкрàїни.

Ôормувàння якісної зàгàльно-професійної підготовки студентів економічних спеціàльностей передбàчàє нàлежний рівень їх мàтемàтичної підготовки як джерелà фундàментàльних знàнь, основи для зàсвоєння більшості професійних дисциплін.

Âнàслідок цього у вищих àгрàрних нàвчàльних зàклàдàх виникàє потребà у здійсненні відслідковувàння якості оволодіння студентàми компетенціями нà різних ступенях нàвчàнні мàтемàтики, виявленні фàкторів, які впливàють нà рівень нàвчàльних досягнень студентів з мàтемàтики нà різних етàпàх нàвчàння тà вчàсній їх корекції.

Íàзвàнà потребà ініціює здійснення тàкого виду діяльності, як моніторинг, який нàдàє можливість підвищувàти рівень нàвчàльних досягнень студентів з мàтемàтики шляхом нàкопичення, àнàлізу,інтерпретàції тà корекції зібрàних дàних про якість мàтемàтичної підготовки студентів протягом семестру.

Ìетà вивчення дисципліни «Âищà мàтемàтикà» полягàє у тому, щоб сформувàти у студентів економічних спеціàльностей систему теоретичних знàнь і прàктичних нàвичок з основ мàтемàтичного àпàрàту, необхідних в подàльшій професійній діяльності під чàс плàнувàння, оргàнізàції тà упрàвління виробництвом, оцінювàння якості продукції, системного àнàлізу економічних структур тà технологічних процесів.

²ндивідуàльнà сàмостійнà роботà студентів є невід’ємною склàдовою нàвчàльного процесу. Ìетодичні рекомендàції признàчені до виконàння розрàхунково-грàфічних робіт студентів економічних спеціàльностей: 6.030508 «Ôінàнси тà кредит», 6.030509 «Îблік і àудит», 6.030504 «Åкономікà підприємствà»під чàс вивчення дисципліни «Âищà мàтемàтикà». Âони містять основні теоретичні відомості із кожного розділу дисципліни, приклàди розв’язувàння типових зàвдàнь, індивідуàльні зàвдàння тà перелік рекомендовàної літерàтури, необхідної для виконàння розрàхунково-грàфічних робіт.

Ðозв’язувàння зàвдàнь розрàхунково-грàфічної роботи дозволяє студентàм мàксимàльно зàсвоїти тà зàкріпити теоретичний тà прàктичний мàтеріàл по темàм дисципліни. ²ндивідуàльні зàвдàння (30 вàріàнтів по кожному зàвдàнню) склàдені у відповідності до діючої нàвчàльної прогрàми дисципліни. Ïеревіркà виконàння студентàми індивідуàльних зàвдàнь розрàхунково-грàфічних робіт нàдàє можливість виклàдàчеві здійснювàти нàкопичення, àнàліз прàктичних результàтів мàтемàтичної підготовки

3

студентів, виявляти основні помилки, допущені студентàми, нà ліквідàцію яких необхідно звернути увàгу в подàльшому нàвчàльному процесі.

Ïередбàченà можливість використàння методичних рекомендàцій під чàс прàктичних зàнять з дисципліни «Âищà мàтемàтикà» тà сàмостійної роботи студентів.

Çміст дисципліни «Âищà мàтемàтикà» розкривàється в нàступних темàх:

Òемà 1. Åлементи теорії мàтриць і визнàчників.

Ïоняття прямокутної мàтриці, мінору тà àлгебрàїчного доповнення. Âизнàчники 2-го тà 3-го порядку. Âизнàчники мàтриць вищих порядків. Ðозклàд визнàчників зà елементàми рядкà (стовпця). Ìетоди обчислення визнàчників. Âиди мàтриць. Îсновні оперàції з мàтрицями. Ðàнг мàтриці. Ìетоди обчислення рàнгу. Ïоняття оберненої мàтриці. Ðозв’язувàння мàтричних рівнянь.

Òемà 2. Çàгàльнà теорія систем лінійних àлгебрàїчних рівнянь.

Óмови сумісності систем лінійних àлгебрàїчних рівнянь. Òеоремà Êронекерà-Êàпеллі. Âиди систем лінійних àлгебрàїчних рівнянь. Ðозв’язок систем n рівнянь з n невідомими (методи Êрàмерà тà оберненої мàтриці). Çàгàльний тà чàстинний розв’язок. Ìетод Æордàнà-Ãàуссà. Îднорідні системи лінійних àлгебрàїчних рівнянь.

Òемà 3. Åлементи мàтричного àнàлізу.

Ïоняття квàдрàтичної форми. Äодàтньо визнàчені форми. Óмови Ñильвестрà. Ïеретворення квàдрàтичної форми до кàнонічного вигляду. Ðозв’язàння економічних зàдàч.

Òемà 4. Âекторнà àлгебрà тà àнàлітичнà геометрія.

Âекторнà àлгебрà. Ëінійні оперàції з векторàми. Ñкàлярний, векторний тà мішàний добуток векторів. Ëінійнà зàлежність тà незàлежність векторів. Ðізні види рівнянь прямої нà площині. Ðізні види рівнянь площини. Ëінії 2-го порядку (еліпс, гіперболà, пàрàболà).

Òемà 5. Åлементи теорії грàниць.

Ïоняття функції тà способи їх зàдàння. Îсновні елементàрні Ãрàниця числової послідовності. Îсновні влàстивості збіжних послідовностей. Íескінченно мàлі і нескінченно великі величини тà їх влàстивості. Ãрàниця функції. Îдносторонні грàниці. Ðозкриття невизнàченостей. Îсновні теореми про грàниці. Àрифметичні теореми про грàниці. ² тà ²² особливі грàниці. Íеперервність функції.

Òемà 6. Äиференціàльне числення функції однієї змінної.

Íеперервність функції в точці тà нà проміжку. Îсновні теореми про неперервні функції. Òочки розриву функцій тà їх клàсифікàція. Ïохіднà, її геометричний, мехàнічний тà економічний зміст. Ïрàвилà диференціювàння. Ïохіднà склàденої функції. Äиференціàл функції. Ïрàвилà знàходження диференціàлà. Äиференціàл склàдної функції.

Òемà 7. Ãрàничний àнàліз.

Ãрàничні витрàти. Ãрàничні виручкà. Ãрàничний прибуток. Ôункції споживàння тà збереження. Åлàстичність. Çàдàчà мàксимізàції прибутку.

Òемà 8. Äослідження функцій тà побудовà їх грàфіків.

4

Òеореми про середнє знàчення. Ïрàвило Ëопітàля.Îпуклість, угнутість тà точки перегину функцій. Åкстремуми функцій. Àсимптоти грàфіків функцій. Çàгàльнà схемà дослідження функцій тà побудови грàфіків.

Òемà 9. Îсновні поняття функції бàгàтьох змінних тà їх інтерпретàція в економічній теорії.

Ôункція бàгàтьох змінних. Îблàсть визнàчення. Ãрàниця функції бàгàтьох змінних. Íеперервність. Ãрàфічне зобрàження.

Òемà 10. Äиференційовàність функції бàгàтьох змінних

×àстинні похідні функції бàгàтьох змінних. Ïовний диференціàл функції бàгàтьох змінних. Ïохіднà зà нàпрямом. Ãрàдієнт.

Òемà 11. Åкстремум тà умовний екстремум функції двох змінних.

Íеобхіднà умовà екстремуму. Íàйбільше тà нàйменше знàчення функції у зàмкненій облàсті. Óмовний екстремум.

Òемà 12. ²нтегрàльне числення.

Íевизнàчений інтегрàл тà його влàстивості. Òàблиця невизнàчених інтегрàлів. Ìетоди інтегрувàння. ²нтегрувàння рàціонàльних дробів. ²нтегрувàння дробово-рàціонàльних тà тригонометричних функцій. Âизнàчений інтегрàл тà його влàстивості. Ìетоди інтегрувàння у визнàченому інтегрàлі. Íевлàсні інтегрàли. Ïодвійний тà потрійний крàтні інтегрàли.

Òемà 13. Äиференціàльні рівняння.

ÄÐ 1-го порядку: з відокремлювàними змінними, лінійні тà однорідні. Ëінійні ÄÐ із стàлими коефіцієнтàми. Ëінійні неоднорідні ÄÐ. Çàгàльний тà чàстинний розв’язки. Åлàстичність тà функція попиту. Ìодель оптимізàції стàвки подàтку.

Òемà 14. Ðяди тà їх зàстосувàння.

Çбіжність рядів. Íеобхіднà умовà збіжності. Âлàстивості збіжних рядів. Äостàтні умови збіжності рядів з додàтними членàми. Çнàкозмінні ряди. Òеоремà Êоші. Îзнàкà Ëейбніцà. Ñтепеневі ряди. Òеоремà Àбеля. Ôормулà і ряд Òейлорà.

Òемà 15. Åлементи фінàнсової мàтемàтики тà мàтемàтичної економіки

Àрифметичнà прогресія тà прості відсотки. Âлàстивості àрифметичної прогресії. Ïоняття простих відсотків нà кàпітàл. Ãеометричнà прогресія тà склàдні відсотки. Âлàстивості геометричної прогресії. Ïоняття склàдних відсотків нà кàпітàл

Äля виконàння розрàхунково-грàфічних робіт студенти повинні вміти

–виконувàти дії з мàтрицями; обчислювàти визнàчники;

–розв’язувàти системи лінійних рівнянь зà прàвилом Êрàмерà, методом Ãàуссà тà мàтричним методом;

–розв’язувàти стàндàртні зàдàчі нà пряму нà площині; будувàти нà координàтній площині розв’язки систем лінійних нерівностей;

–розв’язувàти стàндàртні зàдàчі нà криві другого порядку;

–обчислювàти грàниці простих функцій; обчислювàти похідні і диференціàли елементàрних функцій; досліджувàти функції зà допомогою похідної; будувàти ескізи грàфіків несклàдних елементàрних функцій;

–обчислювàти чàстинні похідні тà похідні неявних функцій; знàходити

5

екстремуми функції двох змінних;

–обчислювàти невизнàчені інтегрàли зà тàблицею, підстàновкою і чàстинàми;

–обчислювàти визнàчені інтегрàли зàміною змінної і чàстинàми;

–обчислювàти інтегрàлом площу плоских фігур;

–розв’язувàти диференціàльні рівняння з відокремлювàними змінними, однорідні і лінійні; розв’язувàти лінійні однорідні рівняння із стàлими коефіцієнтàми;

–досліджувàти числові ряди нà збіжність зà необхідною тà інтегрàльною ознàкàми, ознàкàми Ä'Àлàмберà, Êоші тà Ëейбніцà;

–знàходити облàсть збіжності степеневого ряду.

Âимоги до виконàння розрàхунково-грàфічної роботи

1.Çàвдàння кожної розрàхунково-грàфічної роботи виконуються в окремому учнівському зошиті в клітинку з обов’язковими полями.

2.Íомери зàвдàнь обирàються відповідно до зàпропоновàного виклàдàчем індивідуàльного вàріàнту.

3.Îбклàдинку зошитà слід оформляти тàк:

Ðозрàхунково-грàфічнà роботà

з дисципліни «Âищà мàтемàтикà»

студентà (ки) 1 курсу 1 групи

спеціàльності економікà підприємствà

фàкультету економіки тà менеджменту

²вàновà ²вàнà ²вàновичà 4. Ïеред розв'язàнням зàдàчі необхідно зàписувàти повністю її умову.

Ðозв’язàння зàвдàнь супроводжуються теоретичними відомостями, формулàми, стислими поясненнями тà необхідними кресленнями.

6

ВКАЗ²ВКИ ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФ²ЧНИХ РОБ²Т

Ðозділ «Åлементи лінійної àлгебри»

Òемà. Åлементи теорії мàтриць і визнàчників

Âизнàчники

Òеоретичні відомості

Âизнàчником другого порядку нàзивàється число, зàписàне у вигляді тàблиці, яке дорівнює:

=a11 a12 = a11a22 − a21a12 , a21 a22

де a11 , a12 , a21 , a22 – елементи визнàчникà, при цьому елементи a11 , a22

утворюють головну діàгонàль визнàчникà, à елементи a12 і a21 – побічну.

Îтже, визнàчник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної тà побічної діàгонàлей.

Âизнàчник третього порядку – це число, одержàне тàк:

a11 a12 à13

=a21 a22 à23 = a11a22a33 + a21a32à13 + a12a23à31 − a31a22à13 − a21a12à33 − a31 a32 à33

a32a23à11.

²снує прàвило, яке нàзивàють прàвилом трикутникà, àбо прàвилом Ñàріусà, яке дозволяє легко обчислити визнàчник 3-го порядку:

–

+

²снує ще один спосіб обчислення визнàчникà третього порядку – тàк звàне прàвило Ïікàрà. Äопишемо до визнàчникà перший і другий стовпці, à дàлі перемножàтимемо елементи, що розміщені нà одній лінії, як покàзàно нà схемі:

7

		−		−	−
a11	a12	a13		a11 a12
a21	a22	a23		a21 a22
a31	a32	a33		a31 a32
		+	+		+

Äобуток елементів, які розміщені нà лініях, що йдуть згори ліворуч униз прàворуч, береться зі знàком «+». Äобуток елементів, розміщених нà лініях, що йдуть згори прàворуч униз ліворуч, береться зі знàком «–».

Äля обчислення визнàчників вищого порядку зàстосовують теорему Ëàплàсà, зà допомогою якої здійснюється розклàд визнàчникà п-го порядку зà елементàми рядкà àбо стовпчикà. Çà допомогою влàстивостей визнàчникà, визнàчник зводиться до вигляду, у якому всі елементи дорівнюють нулю, крім одного елементà деякого рядкà àбо стовпчикà. Ðозклàдàючи потім визнàчник зà елементàми цього рядкà àбо стовпчикà, зводимо зàдàчу обчислення визнàчникà п-го порядку до обчислення одного визнàчникà (п – 1)-го порядку.

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

			Ïриклàд 1.Îбчислити визнàчник 2-го порядку							1			2	.
										4			3
			Ðозв’язàння.
					1	2		=1×3 - 4 × 2 = -5.
					4	3
			Ïриклàд 2. Îбчислити визнàчник 3-го порядку									1	2	-1		.
												3	0	1
												4	2	-3
			Ðозв’язàння.
		1	2			-1
D =		3	0			1			=1× 0 × (-3) + 2 ×1× 4 + (-1) ×3× 2 - (-1) × 0 × 4 -1×1× 2 - 2 ×3× (-3) =18.
		4	2			-3

Ïриклàд 3.Îбчислимо визнàчник третього порядку

1 2 3

D = 2 2 1 .

3 1 2

Ðозв’язàння.

Çà прàвилом Ïікàрàмàємо:

8

1 2 3 1 2

2 2 1 2 2

3 1 2 3 1

ізнàйдемо знàчення визнàчникà:

=1 × 2 × 2 + 2 × 1 × 3 + 3 × 2 × 1 – 3 × 2 × 3 – 1 × 1 × 1 – 2 × 2 × 2 = –11

		0	-2	7	0
	Ïриклàд 4.Îбчислити визнàчник 4-го порядку	1	3	1	1
		1	-2	2	0
		0	0	5	-1

		Ðозв’язàння.							0		-2	7			0
						D =			1		3	1			1	=
									1		-2	2			0
									0		0	5			-1
		3	1	1				1	1	1		1	3		1						1	3	7
= 0 ×		-2	2	0		+ 2 ×		1	2	0	+ 7 ×	1	-2		0				- 0 ×		1	-2	2		= 43.
		0	5	-1				0	5 -1			0	0	-1							0	0	5

Ìàтриці, дії з ними

Òеоретичні відомості

Íàд мàтрицями можнà виконувàти нàступні дії: множення мàтриці нà число, відмінне нà число; додàвàння (віднімàння) мàтриць; множення мàтриць.

Ïри множенні мàтриці нà число, відмінне від нуля, требà помножити нà це число кожен елемент мàтриці.

Äодàвàти можнà тільки мàтриці однàкового розміру. Äля цього требà додàти (відняти) відповідні елементи мàтриць.

Äобуткоммàтриці A(m×p) нà мàтрицю B ( p ´ n) нàзивàється мàтриця

C (m´n), елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів i - го рядкà мàтриці A нà відповідні елементи j -го стовпця мàтриці B, тобто:

cij = ai1в1 j + ai2в2 j + ...+ aipвpj , (i =1,2,...,m), (j =1,2,...,n) . Öе ознàчення нàзивàють прàвилом множення рядкà нà стовпець.

9

Ïриклàди розв’язувàння типових зàвдàнь

Ïриклàд 1. Çнàйти добуток зàдàних мàтриць:

æ2

1

-5ö

æ1

0

3 ö

B

ç

4

1

-2

÷

A = ç

-4

2

÷;

=

ç

÷

è3

ø

ç

3

1

0

÷

Ðозв’язàння.

è

ø

æ 2

1

-5ö

æ1

0

3

ö

A× B =

×

ç

4

1 -2

÷

=

ç

3

-4

2

÷

ç

÷

è

ø

ç

3

1

0

÷

è

ø

æ 2 ×1+1× 4 - 5×3 2 × 0 +1×1- 5×1 2 ×3 +1× (-2) - 5× 0 ö æ -9					-4	4 ö
= ç	3×1- 4 × 4 + 2 ×3 3× 0 - 4 ×1+ 2 ×1 3×3 - 4 × (-2) + 2 ×0	÷	= ç	-7	-2	17	÷.
è		ø	è				ø

Ïриклàд 2.Çнàйти мàтрицю, обернену до дàної:

Ðозв’язàння.

Îбернену мàтрицю знàйдемо зà формулою:

		1		æ A11		A12	A13 ö
A−1 =			×	ç	A	A	A	÷
				ç				÷
		A			21	22	23
				ç	A	A	A	÷
				è	31	32	33	ø

Îбчислюємо визнàчник дàної мàтриці:

	æ5		-6	4	ö
A =	ç	3	-3	2	÷
	ç				÷.
	ç	4	-5	2	÷
	è				ø

			5 -6 4																					-1 -6 4			-1 0 0
	A	=	3			-3 2																	=	0 -3	2	=	0	-3							2			= -1(-6 +10) = -4
			4 -5 2																					-1 -5 2			-1 -5 2
Îскільки															A		¹ 0, то мàтриця										A не виродженà (неособливà) і тому мàє
обернену мàтрицю A−1 .																									Çнàйдемо							àлгебрàїчні											доповнення елементів
визнàчникà						A							:
	A11 =								-3							2				= (-6 +10) = 4;							A21 =					-6			4					= -8;			A31	=				-6			4				= 0;
									-5							2																-5			2													-3			2
	A12 = -														3	2						= -(6 - 8) = 2;					A22 =			5					4		= -6;						A32	= -						5	4				= 2;
															4	2														4					2															3	2
	A13 =									3						-3						= -15 +12 = -3; A23 = -												5	-6							=1; A33		=		5					-6		= 3
										4						-5																		4	-5											3					-3

10