MatAnal2

21. Интеграл Римана – Стилтьеса	175

Теорема 3. Пусть f V ([a, b]). Тогда существуют монотонно возрастающие на [a, b] функции vf+ и vf−, такие, что vf+(a) = vf−(a) = 0, f (x) − f (a) = vf+(x) − vf−(x) и vf (x) = vf+(x) + vf−(x) (a ≤ x ≤ b).

Доказательство. Обозначим
vf+(x) =	1	(vf (x) + f (x) − f (a)) , vf−(x) =	1		(vf (x) − f (x) + f (a)) .
	2		2

Тогда, очевидно, vf+(a) = vf−(a) = 0, vf+(x) −vf−(x) = f (x), vf+(x) + vf−(x) = vf (x) (a ≤ x ≤ b). Далее, для a ≤ x ≤ y ≤ b имеем

vf+(y) − vf+(x) = 12 [vf (y) − vf (x) + f (y) − f (x)] = 12 [Vxyf + (f (y) − f (x))] , vf−(y) − vf−(x) = 12 [vf (y) − vf (x) − f (y) + f (x)] = 12 [Vxyf − (f (y) − f (x))] ,

и монотонность vf+ и vf− следует из неравенства

|f (y) − f (x)| ≤ Vxyf.

Функции vf+ и vf− называют соответственно положительной и отрицательной вариациями функции f .

Следствие 1. Если функция f V ([a, b]) непрерывна, то vf+ и vf−

также непрерывны.

Это вытекает из части b) предыдущей теоремы и из определения функций vf+ и vf−.

Следствие 2. Если функция f V ([a, b]), то f может иметь разве что разрывы I рода, а множество всех точек разрыва функции f не

более чем счетно.

Это вытекает из соответствующего свойства монотонных функций.

Теперь мы можем определить интеграл Римана – Стилтьеса не только относительно монотонно возрастающей функции α, а относительно любой функции α ограниченной вариации. Действительно, пусть α V ([a, b]). Тогда, согласно теореме 3, представим α = vα+ − vα−, где функции vα+ и vα−

монотонно возрастают и поэтому для них интеграл Римана – Стилтьеса

176			Третий семестр
уже определен. Естественно теперь положить по определению
b	b	f dvα+ − Za	b
Za	f dα = Za		f dvα−.

Легко проверить, что при таком определении сохраняются рассмотренные выше свойства интеграла Римана – Стилтьеса, однако с некоторыми уточнениями. Отметим те из них, которые не совпадают со свойствами интеграла относительно монотонно возрастающей функции α (или

не рассматривались выше).
1) Для α V ([a, b]) справедливо неравенство
¯	ab f dα¯	≤	ab	|f | dvα.
¯Z	¯		Z
¯	¯
¯	¯
¯	¯

2) Для α V ([a, b]) справедливо неравенство

¯Za	b	¯
	f dα		≤	V bα	sup	|	f (x) .
				a	· a≤x≤b		|
¯		¯
¯		¯
¯		¯
¯		¯

3) Формула интегрирования по частям. Пусть f, α V ([a, b]), f C([a, b]). Тогда

Z b Z b

f dα = f (b)α(b) − f (a)α(a) − α df.

a a

4) Аналог теоремы о среднем значении. Если f C([a, b]), а

функция α монотонно возрастает, то существует такое x [a, b], что

Z b

f dα = f (x)[α(b) − α(a)].

a

5) Аналог формулы замены переменной. Если f, ϕ C([a, b]), функция ϕ строго возрастает на [a, b], а функция ψ обратная к ϕ, то

справедливо равенство

Z b Z ϕ(b)

f (x) dx = f (ψ(y)) dψ(y).

a

ϕ(a)

21. Интеграл Римана – Стилтьеса	177

Пример. Для функции

(

α1(x) =

0, −1 ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x ≤ 1,

для любой функции f при любом разбиении Π = {xi} имеем

X					X
S (Π, f, α1) = mi	αi = mi1 , S (Π, f, α1) =						Mi αi = Mi1 ,
i					i
где номер i1 такой, что xi1−1 < 0 ≤ xi1 . Поэтому
			lim		inf f (x),
I (f, α1) = sup {S (Π, f, α1)} = δ				0+	δ<x	≤	0
Π			→	−

©ª

I (f, α1) = inf S (Π, f, α1)	= lim sup f (x).
Π	δ→0+ −δ<x≤0

Отсюда видно, что интегрируемость функции f относительно α1 равносильна непрерывности функции f слева в точке x = 0 и справедливо

равенство

Z 1

f dα1 = f (0).

−1

Аналогично, для функции

(

α2(x) =

0, −1 ≤ x ≤ 0,

1, 0 < x ≤ 1,

для любой функции f при любом разбиении Π = {xi} имеем

X							X
S (Π, f, α1) = mi αi = mi2 , S (Π, f, α1) = Mi αi = Mi2 ,
i							i
где номер i2 такой, что xi2−1 ≤ 0 < xi2 . Поэтому
I (f, α2) = sup {S (Π, f, α2)} =				lim		inf f (x),
			δ	→	0+ 0	≤	x<δ
Π

©ª

I (f, α2) = inf S (Π, f, α2)	= lim sup f (x).
Π	δ→0+ 0≤x<δ

178 Третий семестр

Отсюда видно, что интегрируемость функции f относительно α2 равносильна непрерывности функции f справа в точке x = 0 и справедливо

равенство	Z 1

f dα1 = f (0).

−1

Для функции

(

α(x) = α1(x) − α2(x) =

0, x 6= 0,

1, x = 0

интегрируемость функции f относительно α равносильна непрерывности функции f в точке x = 0, а

Z 1

f dα = 0.

−1

22. Кратные интегралы

22.1Мера Жордана

Для множеств из Rn меру Жордана определим в три этапа.

22.1.1Мера сегмента и ее свойства

Определение. Сегментом в Rn назовем множество точек x Rn,

координаты которых удовлетворяют неравенствам

(¡

¢

ai ≤ xi ≤ bi

(i = 1, . . . , n),

≤

, . . . , an

¡

¢

фиксированные векторы, такие, что

где a = a1

и b = b1, . . . , bn

ai

bi i = 1, . . . , n). Обозначаем I = [a, b] =

a1, b1; . . . ; an, bn .

£

1

1

n

n

n

¤

Мерой сегмента

I = a

, b

; . . . ; a

, b

£

¤

iY ¡

¢

|I| ≡ mI = bi − ai

.

=1

Пусть произвольное множество E Rn. Точка x0 E называется внутренней точкой множества E, если существует некоторая окрестность точки x0, целиком содержащаяся в E. Другими словами, точка x0 E –

внутренняя, если найдется такое δ > 0, что

uX ¡

¢

x

n

2

< δ

n

t

xi

i

B (x0, δ)

≡

R : d (x, x0)

v

−

x0

E.

≡ ui=1

всех внутренних точек множества E называется внут-

Совокупность

◦

ренностью E и обозначается int E или E. Например, если задан сегмент
I =	£a1, b1; . . . ; an, bn¤, то, очевидно,						(i = 1, . . . , n)ª
	◦	n	i	i	< b	i
	I= (a, b) ≡ ©x R		: a < x

179

180 Четвертый семестр

при условии, что ai < bi (i = 1, . . . , n). Если же хотя бы при одном i0

справедливо равенство ai0 = bi0 (такой сегмент называют вырожденным),

◦

то I= .

£

¤

Лемма 1. Пусть сегмент I = a1, b1; . . . ; an, bn

является объедине-

◦

∩

◦

6

нием конечного числа сегментов I1, . . . , Is, причем

Ii

Ij

=

(i = j).

Тогда

s

X

|Ii| .

|I| =

i=1

£

¤i

ai, bi

разбить

Доказательство. Если каждую сторону

сегмента I

на конечное число отрезков ai = αi

< αi <

· · ·

< αi

= bi (i = 1, . . . , n),

0

1

k

то получим разбиение I на сегменты

i1,...,in ≡

1

1

n

n

αi1

, αi1

+1; . . . ; αin , αin+1

видно. ≤

равенство

|

|

P |

i1,...,in |

оче-

(0 ≤ ij kj − 1, j = 1, . . . , n), и при этом

£

I

=

¤

Если же теперь I1, . . . , Is – произвольное разбиение сегмента I, где

Ii =

ai1, bi1; . . . ; ain, bin

(i = 1, . . . , s), то при фиксированном k {1, . . . , n},

располагая числа ak, bk, ak, bk

, . . . , ak, bk

в порядке возрастания, получим

£

1 ¤

1

2

2

s

s

разбиение отрезка

ak, bk

. Проделав эту операцию для всех k {1, . . . , n},

получим такие сегменты

i1

,...,in , которые имеют попарно непересека-

£

¤

ющиеся внутренности, I = i1,...,in

i1,...,in , причем каждый сегмент Ii

представлен в виде объединения некоторых сегментов

i1,...,in . Поэтому

на основании уже доказанной части леммы получим

=

|

I

|

=

|

i1,...,in

|

=

s

|

i1

,...,in

|

s

Ir

|

.

|

X

r=1

i1,...,in:

i1,...,in

Ir

r=1

X

X

}

X

{

Лемма 2. Для любого конечного набора сегментов I1, . . . , Is найдется такой конечный набор сегментов Q1, . . . , Qr, что

◦◦

a)	Qi ∩ Qj = (i 6= j);
	r	s
	i[	[
b)		Qi =	Ij ;
	=1	j=1
c)	если int (Qi ∩ Ij ) 6= ,		то Qi Ij .

22. Кратные интегралы	181

Доказательство. В одномерном случае лемма очевидна. Действительно, пусть α1, . . . , α2s – занумерованные в неубывающем порядке числа a1, b1, . . . , as, bs. Если [αk, αk+1] sj=1Ij , то полагаем [αk, αk+1] в качестве очередного Qi, а в противном случае переходим к следующему номеру k. Перебрав таким образом все номера k = 1, . . . , 2s − 1, получим лемму в

одномерном случае.

Доказательство леммы в пространстве размерности большей, чем 1, проводим индукцией по n. Пусть лемма верна в Rn−1. Тогда она верна и в Rn, поскольку n-мерный сегмент можно представить в виде декартова произведения (n − 1)-мерного сегмента и одномерного сегмента. В самом

деле, просматривая всевозможные декартовы произведения одномерных и (n−1)-мерных сегментов, полученных в результате применения предпо-

ложения индукции к проекциям исходных сегментов на соответствующие подпространства, нужно оставить те n-мерные сегменты, которые содержатся в sj=1Ij . Они и будут составлять требуемый набор сегментов {Qi}.

22.1.2Мера фигуры и ее свойства

Определение. Фигурой в Rn называется такое множество, которое

может быть представлено в виде конечного объединения сегментов.

Очевидно сегмент – это частный случай фигуры. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства фигур.

1) Каждая фигура – замкнутое и ограниченное множество.

2) Объединение конечного числа фигур является фигурой.

3) Если X1 и X2 фигуры, и X1 ∩ X2 6= , то X1 ∩ X2 фигура. 4) Если X1 и X2 фигуры, и X1 \ X2 6= , то X1 \ X2 фигура.

В определении фигуры не требуется, чтобы сегменты не пересекались. Из леммы 2, в частности, вытекает следующее важное свойство, которое

используется при определении меры фигуры.

5) Каждую фигуру можно представить в виде конечного объедине-

ния сегментов, внутренности которых попарно не пересекаются.

182	Четвертый семестр

Набор сегментов, существование которого гарантирутся свойством 5),

называется дизъюнктивным набором, а сами сегменты называют составляющими сегментами. Ясно, что у данной фигуры дизъюнктивный набор сегментов не единственный.

Определение. Пусть фигура X представлена в виде конечного объединения составляющих сегментов I1, . . . , Is. Мерой фигуры X называет-

ся число

Xs

mX = |Ik| .

k=1

Для того чтобы показать корректность данного определения, нужно доказать, что определенная нами мера фигуры не зависит от способа представления данной фигуры в виде объединения составляющих сегментов. Докажем это. Пусть X = sk=1Ik и X = ri=1Qi, где {Ik} и {Qi} дизъюнктивные наборы сегментов. Нужно показать, что sk=1 |Ik| =

r

T

= I

T

сегмент (или

) и

i=1 |Qi|. Обозначим

k,i

Qi. Ясно, что

k,i –

k ∩

P

внутренности сегментов

P

Tk,i

попарно не пересекаются. Имеем

Ik = Ik ∩ X = Ik ∩

à r

Qi! =

r

(Ik ∩ Qi) =

r

Tk,i

[

[

i[

i=1

i=1

=1

и, поскольку внутренности сегментов Tk,i попарно не пересекаются, по

лемме 1 получаем |Ik| =

ir=1 |Tk,i|. Отсюда следует, что

ks=1 |Ik| =

P

P

P

r

P

r

P

s

s

r

| |

Аналогично получаем, что

| |

| |

k=1

i=1 Tk,i .

P

i=1 Qi

= i=1P k=1 Tk,i .

Поэтому

s

s

r

r s

r

X

|Ik| =

X X

X X

X

|Tk,i| =

|Tk,i| =

|Qi| .

k=1

k=1 i=1

i=1 k=1

i=1

Лемма 3 (монотонность меры фигур). Если фигуры X Y , то

mX ≤ mY .

Доказательство. Выберем наборы составляющих сегментов для фигур X и Y . Применим к объединению этих наборов лемму 2 и построим систему сегментов J1, . . . , Js с попарно непересекающимися внутренностями, т. е. составляющими для фигуры Y . При этом часть из этих сегментов

22. Кратные интегралы	183

образует дизъюнктивный набор для фигуры X. Пусть это будут сегменты

Ji1 , . . . , Jil . Тогда

l	s
X	X
mX =	|Jir | ≤ |Ji| = mY.
r=1	i=1

Лемма 4 (полуаддитивность меры фигур). Пусть X и Y – фи-

◦ ◦

гуры. Тогда m(X Y ) ≤ mX + mY . Если, кроме того, X ∩ Y = , то m(X Y ) = mX + mY .

Доказательство. К объединению составляющих сегментов фигур

X и Y применим лемму 2 и получим набор сегментов J1, . . . , Js, который

разобьем на три непересекающихся набора. К первому набору отнесем те сегменты Ji, внутренности которых не пересекаются с X, ко второму

– те сегменты, внутренности которых не пересекаются с Y . Оставшиеся

сегменты образуют третий набор. Ясно, что каждый сегмент из третьего набора содержится в X ∩ Y . Через S1, S2 и S3 обозначим сумму мер

сегментов из первого, второго и третьего наборов, соответственно. Тогда получим

m(X Y ) = S1 + S2 + S3 ≤ (S1 + S3) + (S2 + S3) = mY + mX.

◦◦

Если же X ∩ Y = , то третий набор сегментов либо пустой, либо состоит

лишь из вырожденных сегментов. Поэтому

m(X Y ) = S1 + S2 + S3 = (S1 + S3) + (S2 + S3) = mY + mX.

22.1.3Мера Жордана

Мера Жордана определяется с помощью приближения множества фигурами извне и изнутри. Если эти приближения дают один и тот же результат, то множество объявляется измеримым по Жордану.

Определение. Пусть множество E Rn ограничено. Внутренней мерой множества E назывется число m E = supX E mX. Внешней мерой множества E называется число m E = infX E mX.

184	Четвертый семестр

Для любого ограниченного множества E Rn справедливо неравенство m E ≤ m E. Действительно, если фигуры X и Y таковы, что

X E Y , то, в силу монотонности меры фигур, mX ≤ mY . Фиксируя

Y и переходя к верхней грани по всевозможным фигурам X E, получаем, что m E ≤ mY . Переходя теперь в этом неравенстве к нижней грани по всем фигурам Y E, получаем неравенство m E ≤ m E.

Определение. Ограниченное множество E Rn называется измеримым по Жордану, если m E = m E. В этом случае общее значение m E и m E называется мерой Жордана и обозначается mE. Если же m E < m E, то говорят, что множество E неизмеримо.

Непосредственно из определения внешней и внутренней мер мгновенно вытекает их монотонность. Поэтому и мера Жордана измеримых по Жордану множеств обладает свойством монотонности.

Пример 1. Пусть E = X – фигура. Тогда E измеримо по Жордану и его мера Жордана mE равна определенной выше мере фигуры mX. Это

сразу вытекает из определения меры Жордана и из свойства монотонности меры фигур.

◦

Пример 2. Пусть E =X, где X – фигура. Тогда E измеримо по

Жордану и его мера mE равна мере фигуры mX. В самом деле, так

◦

как X X, то для любой фигуры Y E, в силу замкнутости Y , справедливо также вложение Y X. Поэтому, в силу монотонности меры

фигур, mY ≥ mX. Кроме того, существует фигура Y E, такая, что mY = mX (в качестве Y можно взять X). Это означает, что m E = mX. С другой стороны, зададим ε > 0 и разобьем фигуру X на составляющие

сегменты {Ij }js=1. В тех сегментах Ij , внутренности которых непустые,

≡

≥

¯

¯

−

j Ij

¯

j

¯| | −

s

построим замкнутый сегмент I0

◦

, так, чтобы

I0

>

I

ε . Тогда

фигура Xε

s I0

E и mXε =

P

s

¯

I0

¯ P

s

ε = mX ε.

j=1 j

j=1

j

j=1

найдется фигура

Получили, что для любого ε > 0

¯

¯

Xε

E, такая, что

mXε ≥ mX − ε. Поэтому и m E ≥ mX. Учитывая, что m E ≤ m E, получим, что m E = m E = mX.