MatAnal2

22. Кратные интегралы	205

Доказательство. Действительно, интегрируемость |f | вытекает из неравенства ωi(|f |) ≤ ωi(f ) и из критерия интегрируемости в терминах

колебаний. Требуемое неравенство для интегралов вытекает из соответствующего неравенства для интегральных сумм.

8. Если ограниченные функции f и g интегрируемы на множестве

E Rn, то функция ϕ = f · g интегрируема на E.

Доказательство. Пусть Mf = supx E |f (x)|, Mg = supx E |g(x)|. То-

гда из неравенства

|ϕ (x0) − ϕ (x00)| = |f (x0) g (x0) − f (x00) g (x00)| ≤

≤ |f (x0)| |g (x0) − g (x00)| + |g (x00)| |f (x0) − f (x00)| ≤ ≤ Mf |g (x0) − g (x00)| + Mg |f (x0) − f (x00)|

следует, что ωi(ϕ) ≤ Mf ωi(g) + Mgωi(f ), и поэтому

s	s	s
X	X	X
ωi(ϕ)mEi ≤ Mf	ωi(g)mEi + Mg	ωi(f )mEi.
i=1	i=1	i=1

Теперь остается применить критерий интегрируемости.

9. Теорема о среднем. Пусть ограниченные функции f и g интегрируемы на множестве E Rn, функция g не меняет знака на E и m ≤ f (x) ≤ M (x E). Тогда существует такое число µ [m, M ], что

справедливо равенство
ZE f (x)g(x) dx = µ ZE g(x) dx.	(22.6)

Доказательство. Можем считать, что функция g неотрицательна. Умножая неравенство m ≤ f (ξi) ≤ M на g (ξi) ≥ 0 и складывая, получим

s	s	s
X	X	X
m g (ξi) mEi ≤ f (ξi) g (ξi) mEi ≤ M		g (ξi) mEi.
i=1	i=1	i=1

Отсюда, переходя к пределу при стремлении к нулю диаметра разбиения, имеем Z Z Z

m g(x) dx ≤ f (x)g(x) dx ≤ M g(x) dx.

E E E

206					Четвертый семестр
Если	E g(x) dx > 0, то из этого неравенства получим (22.6), если обозна-
чим µR	=			E f (x)g(x) dx/ E g(x) dx. Если же	E g(x) dx = 0, то из полу-
ченного		неравенства следует, что и интеграл слева в (22.6) также равен
			R	R	R

нулю, так что и в этом случае равенство (22.6) справедливо.

10. Сведение кратного интеграла к повторному. Ограничимся рассмотрением случая n = 2.

Теорема. Пусть ограниченная функция f (x, y) интегрируема на пря-

моугольнике I ≡ [a, b; c, d]. Для x [a, b] обозначим через J(x) и J(x)

соответственно нижний и верхний интегралы от функции f (x, y) по переменной y, взятые по отрезку [c, d]. Пусть, далее, J(x) – произвольная функция на [a, b], удовлетворяющая условию J(x) ≤ J(x) ≤ J(x). Тогда функция J(x) интегрируема на [a, b] и справедливо равенство

Zab J(x) dx = Z Z	f (x, y) dxdy.	(22.7)
| {z }

I

Доказательство. Каждый из отрезков I0 = [a, b] и I00 = [c, d] разо-

бьем точками

Π0 = {a = x0 < x1 < · · · < xp = b} , Π00 = {c = y0 < y1 < · · · < yq = d}

и обозначим I0

= [x , x

], I00

= [y

, y

j+1

], I = I0

×

I00

. Пусть x

[a, b].

i

i i+1

j

j

i,j

i

j

Тогда

q−1

X

¯

¯

J(x)

≥

J(x)

inf

f (x, y)

¯

I00

¯

.

≥ j=0 y Ij00

j

Поэтому нижняя сумма Дарбу для J(x), соответствующая разбиению Π0,

удовлетворяет неравенству

p−1

p−1

q−1

X

X

X

¯

¯

SΠ

i=0 x Ii0

|

i0

| ≥

i=0 x Ii0

¯

j00

¯

i0| ≥

0

(J) =

inf

J(x) I

inf

inf

f (x, y) I

I

p−1 q−1

X X

inf

f (x, y) I

i,j |

= S

(f ),

≥ i=0 j=0 x Ii0, y Ij00

|

Π

22. Кратные интегралы	207

где разбиение Π = {Ii,j }i=0,1,...,p−1; j=0,1,...,q−1. Аналогично получаем нера-

венство SΠ0(J) ≤ SΠ(f ). Таким образом, имеем

SΠ(f ) ≤ SΠ0(J) ≤ SΠ0(J) ≤ SΠ(f ).

Поскольку f интегрируема на I, то SΠ(f ) и SΠ(f ) стремятся к интегралу

I f (x, y) dxdy при d(Π) → 0. Значит, к этому же пределу стремятся и
R
	Π	(J) и SΠ (J), а это, в силу критерия интегрируемости функции J(x)
S	0	0

в терминах сумм Дарбу, означает, что J(x) интегрируема на [a, b] и справедливо равенство (22.7).

Следствие 1. Пусть функция f (x, y) непрерывна на прямоугольнике

I = [a, b; c, d]. Тогда справедливо равенство

Z Z	Z	Z
f (x, y) dxdy =	ab	à c d f (x, y) dy! dx.
| {z }
I

Доказательство. Из непрерывности f следует, что при фиксированном x [a, b] функция f (x, y) непрерывна по переменной y. Поэтому

существует

Z d

f (x, y) dy = J(x) = J(x).

c

Единственная функция J(x), удовлетворяющая условию теоремы, будет функция J(x) = Rcd f (x, y) dy. Из равенства (22.7) тогда получаем

Z Z	Z	Z
f (x, y) dxdy =	ab	à c d f (x, y) dy! dx.
| {z }
I

Следствие 2. Если в следствии 1 условие непрерывности функции f заменить условием интегрируемости f по переменной y при каждом фиксированном x [a, b], то утверждение следствия 1 остается в силе.

Это очевидно, так как доказательство предыдущей теоремы повторяется дословно.

208 Четвертый семестр

Следствие 3. Пусть на отрезке [a, b] заданы две непрерывные функции ϕ(x) ≤ ψ(x) и пусть E = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}. Да-

лее, пусть функция f непрерывна на E. Тогда справедливо равенство

Z Z	Z	Z	ψ(x)
f (x, y) dxdy =	ab Ã		ϕ(x)	f (x, y) dy! dx.
| {z }
E

Доказательство. Обозначим c = minx [a,b] ϕ(x), d = maxx [a,b] ψ(x). Тогда E I ≡ [a, b; c, d]. Положим f (x, y) = 0, если (x, y) I \ E. Тогда доопределенная на I функция f непрерывна всюду, за исключением, быть может, таких точек (x, y), что y = ϕ(x) или y = ψ(x). Но множество таких точек имеет жорданову меру нуль. Поэтому функция f интегрируема на

I. Далее, при каждом фиксированном x [a, b] функция f (x, y) переменной y имеет не более двух точек разрыва на [c, d] и поэтому интегрируема

на [c, d]. Значит, можем применить следствие 2, в силу которого

Z Z		Z Z				Z	Z
	f (x, y) dxdy =	f (x, y) dxdy =				ab	à c d f (x, y) dy! dx =
| {z }		| {z }
E	Z	I	Z					Z
Z				ψ(x)					d
=	ab dx " c ϕ(x) f (x, y) dy +			ϕ(x)	f (x, y) dy +				ψ(x) f (x, y) dy# =

Z b Z ψ(x)

= dx f (x, y) dy.

aϕ(x)

22.2.4Замена переменной в кратном интеграле

Сначала напомним некоторые сведения, установленные нами ранее.

Теорема (об обратном отображении). Пусть открытое множество E Rn, отображение ϕ : E → Rn класса C1(E) и точка a E

такая, что якобиан Jϕ(a) 6= 0. Тогда существует окрестность U E

точки a, такая, что

1) сужение ϕ|U биективно (т. е. взаимно однозначно);

22. Кратные интегралы	209

2)образ V = ϕ(U ) открыт;

3)обратное отображение ϕ−1 является отображением класса C1(V ).

При этом якобианы прямого и обратного отображений связаны равен-

ством

Jϕ−1(y) = [Jϕ(x)]−1,

где x U , y = ϕ(x) V .

Следствие. Пусть открытое множество E Rn, отображение ϕ : E → Rn, ϕ C1(E) и Jϕ(x) 6= 0 для любого x E. Тогда ϕ – открытое отображение, т. е. образ ϕ(G) любого открытого множества G E

является открытым множеством.

Определение. Пусть открытое множество E Rn. Отображение ϕ :

E→ Rn называется C1-диффеоморфизмом множества E, если

1)отображение ϕ C1(E);

2)отображение ϕ биективно;

3)обратное отображение ϕ−1 C1(ϕ(E)).

Одно из основных свойств C1-диффеоморфизма ϕ множества E со-

стоит в том, что Jϕ(x) 6= 0 для любого x E.

Лемма	1. Пусть ϕ – C1-диффеоморфизм открытого множества
Rn на	множество D Rn. Пусть множество A такое, что

его граница ∂A . Тогда ∂ϕ(A) = ϕ(∂A).

Доказательство. Докажем сначала, что ∂ϕ(A) ϕ(∂A). Пусть x ∂ϕ(A). Найдем t , такое, что x = ϕ(t), и выберем окрестность U

точки t. Так как отображение ϕ открыто, то образ ϕ(U ) – открытое множество и x ϕ(U ). Выберем окрестность V ϕ(U ) с центром в точке x. Поскольку x ∂ϕ(A), то найдутся такие точки x0, x00 V , что x0

ϕ(A), x00 / ϕ(A). Пусть t0 и t00 – прообразы точек x0 и x00 соответственно, т. е. x0 = ϕ (t0) и x00 = ϕ (t00). Тогда t0 A ∩ U , t00 U \ A, а это означает, что t ∂A, т. е. x = ϕ(t) ϕ(∂A).

Для доказательства обратного включения обозначим B = ϕ(A) и применим приведенные выше рассуждения к отображению ϕ−1. Тогда получим ∂ϕ−1(B) ϕ−1(∂B), т. е. ∂A ϕ−1(∂B). Отсюда следует, что

lj (Q)

li(Q)

210	Четвертый семестр

ϕ(∂A) ∂B, т. е. ϕ(∂A) ∂ϕ(A).

Лемма 2. Пусть I – невырожденный сегмент в Rn. Тогда существует конечный набор сегментов Qk (k = 1, . . . , s), таких, что si=1Qk = I, int Qi ∩ int Qk = (i 6= k) и для любого k отношение длин двух любых сторон сегмента Qk не превосходит 2.

Доказательство. Пусть d – наименьшая из длин сторон сегмента

I. Если какая-либо из сторон сегмента I больше, чем 2d, то, разделив ее пополам, получим два сегмента I1 и I2 с непересекающимися внутренно-

стями. Если среди этих сегментов есть такой, что длина какой-либо из его сторон больше, чем 2d, то снова поделим его пополам путем деления его

стороны на две равные части. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока у полученных сегментов длины всех сторон не будут превосходить

2d. Ясно, что при этом длина каждой из сторон будет иметь длину не меньшую, чем d, и эта ситуация наступит после конечного числа шагов. В результате этого процесса получим требуемый набор сегментов Qk.

Замечание 1. Полученные в лемме 2 сегменты Qk обладают свойствами, близкими к свойствам кубов. Назовем сегмент Q почти кубом, если для любых двух его сторон li(Q) и lj (Q) справедливо неравенство

≤ 2. Для любого почти куба Q существуют кубы Q0 Q и Q00 Q, такие, что 2−nmQ00 ≤ mQ ≤ 2nmQ0. Действительно, в качестве Q0 достаточно взять куб с тем же центром, что и у почти куба Q и длиной стороны l (Q0) = min1≤i≤n li(Q). Если же возьмем куб с тем же центром, длина стороны которого l (Q00) = max1≤i≤n li(Q), то получим требуемый куб Q00.

Замечание 1 означает, что в определении множества E жордановой ме-

ры нуль не обязательно рассматривать совокупность всевозможных фигур X E, а только лишь конечные объединения кубов, покрывающих

E. Точнее, из леммы 2 вытекает

Предложение 1. Множество E Rn имеет жорданову меру нуль тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется конечный набор кубов, покрывающий E, сумма мер которых меньше чем ε.

22. Кратные интегралы	211

Лемма 3. Пусть ϕ – C1-диффеоморфизм открытого множества

Rn на множество D Rn и компактное измеримое множество

A . Тогда множество B = ϕ(A) измеримо.

Доказательство. Пусть ϕ(t) = ϕ1

t1, . . . , tn , . . . , ϕn t1, . . . , tn

,

куб Q

с центром в точке t

, длина стороны которого равна 2l. Тогда,

0

¡

¡

¢

¡

¢¢

в силу теоремы Лагранжа, для любой точки t Q имеем

n

i

n

i

¯

¯

j=1 ¯

ϕi(t)

−

ϕi (t0) =

∂ϕ

(ξi) tj

−

t0j

≤

l

∂ϕ

(ξi)

,

j

j

¯

¯

¯X

³

´¯

X ¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

где точка ξi принадлежит ¯отрезку,

соединяющему точки t

и t. Обозначим

¯

0

n

¯

∂ϕi

ρ

= max max

(ξ) .

Q

∂tj

1≤i≤n ξ Q j=1

¯

X ¯

¯

¯

¯

Из непрерывности функций

∂ϕi

¯

¯

на компактном множестве Q следует,

∂tj

что ρQ < ∞. Итак, мы получили, что образ куба Q содержится в кубе с центром в точке ϕ (t0) и длиной стороны 2lρQ. Поэтому для внешней меры образа куба Q справедливо неравенство

m ϕ(Q) ≤ ρQn (2l)n = ρQn mQ.							(22.8)
Используя это неравенство, докажем измеримость ϕ(A).
Пользуясь компактностью A, построим фигуру X							, такую, что
A int X. Обозначим
		n			¯
		X ¯	∂ϕi
ρX =	max max	¯		(ξ)	¯	.
	1≤i≤n ξ X	¯			¯
		j=1 ¯ ∂tj			¯

В силу критерия измеримости, имеем m∂A = 0. Зададим ε > 0 и постро-

им конечный набор кубов Qk (k = 1, . . . , s), таких, что ∂A sk=1Qk и

Ps

k=1 mQk < ε. Это возможно в силу предложения 1. Не ограничивая общности, можем считать, что Qk X (k = 1, . . . , s). Действительно, для этого достаточно заметить, что расстояние d между двумя компактными множествами ∂X и ∂A положительно. Затем построить фигуру Y1 ∂A, такую, что mY1 < 2εn . Тогда Y = Y1 ∩ X ∂A, Y – фигура. Разобьем

212 Четвертый семестр

составляющие сегменты фигуры Y так, чтобы длины их сторон были

меньшими, чем	d		. Тогда, применяя лемму 2 и замечание 1, построим
	2√
		n
кубы, длины сторон которых меньше, чем				d		, а значит, диаметры этих
				√
					n

кубов меньшие, чем d. Выбирая среди них те, которые содержат точки из

∂A, получаем кубы Qk X. Из (22.8) следует, что

m ϕ (Qk) ≤ ρX mQk	(k = 1, . . . , s).
Далее, в силу леммы 1,
∂ϕ(A) = ϕ(∂A) ϕ Ã s	Qk! =	s	ϕ (Qk) .
k[		[
=1		k=1

Используя монотонность и полуаддитивность внешней меры, находим

m ∂ϕ(A) ≤ m	à s	ϕ (Qk)! ≤	s	m ϕ (Qk) ≤ ρX	s	mQk < ρX ε.
	[		X		X
	k=1		k=1		k=1

Это означает, что ∂ϕ(A) имеет меру нуль. Отсюда, в силу критерия измеримости, следует измеримость множества ϕ(A).

Лемма 4. Пусть компактное измеримое множество E Rn, λ :

Rn → Rn – невырожденное линейное преобразование (т. е. det λ 6= 0).

Тогда
mλ(E) = | det λ|mE.	(22.9)

Доказательство. Измеримость λ(E) вытекает из предыдущей леммы. Для доказательства равенства (22.9) достаточно доказать это равенство для сегментов. Действительно, доказав (22.9) для сегментов, получим (22.9) для фигур, а затем и для произвольного E.

Чтобы получить (22.9) для сегментов, достаточно доказать (22.9) в

следующих случаях:

a) λ является умножением одной из координат на скаляр α, т. е.

λ : ¡x1, . . . , xi, . . . , xn¢ → ¡x1, . . . , αxi, . . . , xn¢ ;

22. Кратные интегралы		213
b) λ – инверсия, т. е.
λ :	¡x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xn¢ → ¡x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xn¢ ;

c) λ к i-й координате прибавляет j-ю координату, т. е.

λ: ¡x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xn¢ → ¡x1, . . . , xi + xj , . . . , xj , . . . , xn¢ .

Вкаждом из этих случаев лемма доказывается простым подсчетом. Затем используется хорошо известное свойство, которое состоит в том, что любое линейное преобразование можно представить в виде композиции конечного числа преобразований вида a), b) и c). Отсюда получаем

утверждение леммы.

Лемма 5. Пусть невырожденный сегмент I Rn. Тогда для любого

ε > 0 найдутся два конечных набора кубов {Qi0}is=1 и

Qj00

jr=1, таких,

что int Qi0

∩

int Q0

=

, int Qi00

∩

int Q00

=

(i = k),

s

Qi0

I

r

Q00 и

k

k

6

i=1

©

ª

j

j=1

s

r

X

X

mQ0

+ ε

≥

mI

≥

mQ00

−

ε.

i

j

i=1

j=1

Доказательство. Если стороны сегмента I имеют рациональные координаты, то утверждение леммы очевидно. В этом случае кубы Q0i и Q00j можно построить так, что si=1Q0i = rj=1Q00j = I. Если же некоторые из сторон сегмента I имеют иррациональные координаты, то построим сегменты I0 I I00 с рациональными координатами так, что mI0 + ε ≥ mI ≥ mI00 − ε, а затем для сегментов I0 и I00 с рациональными координатами построим кубы Q0i (i = 1, . . . , s), Q00j (j = 1, . . . , r), так, что

I0 = si=1Q0i, I00 = rj=1Q00j .

Замечание 2. Из леммы 5 следует, что для любого множества E Rn

справедливо равенство

m E = sup mX0,

X0 E

где X0 – конечное объединение кубов из Rn с попарно не пересекающи-

мися внутренностями (это простое упражнение предлагается доказать самостоятельно). Другими словами, в определении внутренней меры можно

214	Четвертый семестр

использовать не всевозможные фигуры, а лишь дизъюнктивные объединения кубов.

Лемма 6 (оценка мер образов малых кубов). Пусть ϕ – C1- диффеоморфизм открытого множества Rn на множество D Rn

и точка t0 . Тогда для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого куба Q с центром в точке t0, длина стороны которого меньшая, чем δ, справедливо неравенство

mϕ(Q) ≤ (1 + ε) |Jϕ (t0)| mQ,

где Jϕ (t0) – якобиан отображения ϕ в точке t0.

Доказательство. Для любого куба Q множество ϕ(Q) измеримо в силу леммы 3. Рассмотрим линейное отображение λ = ϕ0 (t0). Составим композицию Φ = λ−1 ◦ ϕ. В силу леммы 4, имеем

¯	¯	1
mΦ(Q) = ¯det λ−1	¯ mϕ(Q) =	| det λ|	mϕ(Q).

Далее, по теореме о производной композиции отображений и с учетом того, что производная линейного отображения является самим этим отображением, получаем

Φ0 (t0) = λ−1 ◦ ϕ0 (t0) = λ−1 ◦ λ,

т. е. Φ0 (t0) – единичное (тождественное) отображение. Значит,

n			¯
X ¯		∂Φi
	¯		¯
j=1	¯	∂tj	(t0)¯	= 1 (i = 1, . . . , n).
	¯		¯

Зададим ε > 0 и, пользуясь непрерывностью отображения Φ0 (как композиции линейного отображения λ−1 и непрерывного отображения ϕ0), найдем такое δ > 0, что для всех t, удовлетворяющих условию |t − t0| < √nδ,

справедливо неравенство

	n			¯
	X ¯		∂Φi
		¯		¯
Ψi (t0	, t) ≡ j=1	¯	∂tj	(t)¯	< (1 + ε)1/n	(i = 1, . . . , n).
		¯		¯