MatAnal2

16. Функциональные последовательности и ряды					45
	b	b	b	∞
= Za		→ Za	f (x) dx = Za	X
	fn(x) dx			n=1 un(x) dx.

Из приведенного доказательства теоремы видно, что непрерывность функций fn была использована лишь для того, чтобы гарантировать их интегрируемость и непрерывность предельной функции f , из которой вы-

текает ее интегрируемость. Возможность же самого предельного перехода под знаком интеграла обеспечивается условием равномерной сходимости последовательности {fn}. Следующая теорема показывает, что требова-

ние непрерывности можно ослабить, и достаточно потребовать лишь интегрируемость.

Теорема. Пусть {fn} – последовательность интегрируемых на отрезке [a, b] функций, равномерно на [a, b] сходящаяся к функции f . Тогда

предельная функция f интегрируема на [a, b] и справедливо равенство

b b

lim	f	(x) dx =	f (x) dx.
n→∞ Za	n		Za

Доказательство равенства производится точно так же, как и в пред-

ыдущей теореме, при условии, что		ab f (x) dx существует. Поэтому до-
статочно доказать лишь	интегрируемость на [a, b] функции f . Для это-
		R

го воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция f интегрируема на [a, b] тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого разбие-

ния Π отрезка [a, b], диаметр которого d(Π) < δ, справедливо неравенство

Ps−1

i=0 ωi(f )Δxi < ε, где ωi(f ) – колебания функции f на частичных отрезках [xi, xi+1].

Зададим ε > 0 и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности {fn}, найдем такое N , что для всех n ≥ N и для всех x [a, b]

справедливо неравенство |fn(x) − f (x)| < ε. Если n ≥ N , то

|f (x0) − f (x00)| ≤ |f (x0) − fn (x0)| + |fn (x0) − fn (x00)| + |fn (x00) − f (x00)| <

< |fn (x0) − fn (x00)| + 2ε.

46	Третий семестр

Отсюда следует, что при любом разбиении ωi(f ) ≤ ωi (fn) + 2ε, так что

s−1	s−1
X	X
	ωi(f )Δxi ≤ ωi (fn) xi + 2ε(b − a).
i=0	i=0

Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости fn, т. е. существует такое δ > 0, что для любого разбиения Π, диаметр которого d(Π) < δ, первое слагаемое справа будет меньшим, чем ε. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция f

интегрируема на [a, b].

В завершение приведем еще один пример последовательности интегрируемых функций, поточечно сходящейся к неограниченной, а значит,

неинтегрируемой функции. Положим
f (x) =		0, x = 0,		1
		1	1
n	n,		0 < x ≤ n ,
			n < x ≤ 1.
	x ,

Тогда каждая функция fn интегрируема на [0, 1], поскольку она имеет единственную точку разрыва x0 = 0. Вместе с тем функция

f (x) = lim f (x) =	(	0,		x = 0,
n→∞ n		1	,	0 < x	≤	1
		x

неограничена и, следовательно, неинтегрируема на [0, 1].

16.1.3Равномерная сходимость и дифференцирование

Пусть {fn} – последовательность дифференцируемых на отрезке [a, b]

функций, поточечно сходящаяся к функции f . Выше мы приводили при-

меры, показывающие, что мы не можем гарантировать даже непрерывность функции f . Если же последовательность {fn} сходится к f равномерно, то функция f непрерывна. Зададимся вопросом: можно ли гарантировать дифференцируемость функции f ? Покажем, что ответ на этот

вопрос отрицательный.

n

sin nx

16. Функциональные последовательности и ряды								47
Пример 1. Положим
n2 x2 +				1		,	x ≤ n1 ,
				2n
fn(x) = (	x	,	1		< x		| | 1.
|	|		n		|		| ≤

Легко убедиться в том, что каждая функция fn дифференцируема на

[−1, 1], а последовательность {fn} сходится к функции f (x) = |x| равномерно на [−1, 1]. Вместе с тем предельная функция f (x) = |x| недифференцируема в точке x0 = 0 [−1, 1].

Пример 2. Последовательность функций fn(x) = равномерно сходится к функции f , тождественно равной нулю на R (т. к. |fn(x)| ≤ n1 (x R)). Вместе с тем fn0 (x) = cos nx и эта последовательность не имеет предела при n → ∞, например, в точке x0 = π.

Первый пример показывает, что предел равномерно сходящейся последовательности дифференцируемых функций может оказаться недифференцируемой функцией в некоторой точке x0, несмотря на то, что существует limn→∞ fn0 (x0). Во втором примере существует f 0 (x0), но не существует limn→∞ fn0 (x0). Таким образом, для того чтобы гарантировать

возможность предельного перехода под знаком дифференцирования, т. е. равенство

lim fn0 (x) = f 0(x),

n→∞

при естественном условии, что последовательность {fn} сходится к функции f , мало потребовать равномерной сходимости последовательности

{fn} к функции f . Это совершенно естественно и с геометрической точ-

ки зрения. Действительно, равномерная сходимость последовательности

{fn} к функции f означает, что графики функций fn находятся в ε-полосе графика предельной функции f . Но в этой полосе графики функций fn

могут быть какими угодно и вовсе не обязательно, чтобы касательные к этим графикам в фиксированной точке x0 имели какое-то предельное

положение, т. е. стабилизировались.

Теорема. Пусть {fn} – последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций. Предположим, что в некоторой

48	Третий семестр
точке x0	[a, b] числовая последовательность {fn (x0)} сходится, а

функциональная последовательность {fn0 } равномерно сходится на [a, b]. Тогда исходная последовательность {fn} равномерно сходится на [a, b]

к непрерывно дифференцируемой функции f , причем для любого x [a, b]

справедливо равенство

f 0(x) = lim f 0		(x).	(16.4)
n→∞	n
Доказательство. Обозначим ϕ(x)	= limn→∞ fn0 (x). По теореме о

непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция ϕ непрерывна на [a, b]. Поло-

жим g(x) =		x ϕ(t) dt. Применим на отрезке с концами x0 и x теорему о
предельном	x0					{		n0	}
	R						f
	переходе под знаком интеграла к последовательности								(t) .
Тогда получим
		x		x	fn0 (t) dt = n→∞ (fn(x) − fn (x0))
g(x) =		Zx0	ϕ(t) dt	= n→∞ Zx0
				lim	lim

(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона – Лейбница). По условию теоремы существует limn→∞ fn (x0). Тогда из равенства g(x) = limn→∞ (fn(x) − fn (x0)) следует, что существует и limn→∞ fn(x), т. е. мы показали, что последовательность {fn(x)} сходится на [a, b]. Обозначим f (x) = limn→∞ fn(x) и получим, что g(x) = f (x) − f (x0), а так как функция g дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции ϕ) и g0(x) = ϕ(x) (в силу формулы Ньютона – Лейбница), то отсюда следует, что функция f также дифференцируема и f 0(x) = ϕ(x), т. е. функция f имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство (16.4). Осталось показать, что последовательность {fn} сходится к функции f равномерно на

[a, b]. Имеем

|fn(x) − f (x)| ≤ |(fn(x) − fn (x0)) − (f (x) − f (x0))| + |fn (x0) − f (x0)| .

Второе слагаемое справа мало при достаточно больших n, а первое оце-

ниваем так:

Z

¯

¯Z

¯

Z

¯Z

x fn0 (t) dt −

x

=

x

(fn0

≤

b |fn0 (t) − ϕ(t)| dt.

¯

ϕ(t) dt¯

¯

(t) − ϕ(t)) dt¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

x0

x0

x0

a

16. Функциональные последовательности и ряды	49

Теперь остается учесть, что последовательность {fn0 } сходится к функции

ϕ равномерно на [a, b], и тем самым завершается доказательство теоремы.

Доказанную теорему для рядов можно переформулировать следующим образом.

Теорема (о почленном дифференцировании ряда). Пусть на отрезке [a, b] задана последовательность непрерывно дифференцируемых

функций {un}, такая, что ряд					∞			сходится в некоторой точ-
					n=1 un(x)
ке x			производных				∞
	0 [a, b], а ряд из						n=1 un0	(x) сходится равномерно на
				P
[a, b]. Тогда исходный ряд				∞	(		Pравномерно сходится на всем от-
				n=1 un
						x)
резке [a, b], его сумма		является непрерывно дифференцируемой функцией
				P
и справедливо равенство
	Ã ∞		un(x)!0 = ∞				un0 (x) (x [a, b]).
	X			X
	n=1			n=1

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую

P∞

теорему к последовательности частичных сумм ряда n=1 un(x).

В двух последних теоремах мы предполагали непрерывность производных. Это существенно использовалось при доказательстве, т. к. оно основывалось на применении формулы Ньютона – Лейбница. Вместе с тем при сформулированных условиях мы смогли гарантировать непрерывность производной предельной функции. Следующая теорема не содержит условия непрерывности производных функций fn и, естественно,

не гарантирует непрерывность производной у предельной функции.

Теорема. Пусть на отрезке [a, b] задана последовательность дифференцируемых функций {fn}, сходящаяся в некоторой точке x0 [a, b]

и такова, что функциональная последовательность {fn0 } сходится равномерно на [a, b]. Тогда последовательность {fn} равномерно сходится на всем отрезке [a, b] к некоторой функции f , причем эта функция f

50				Третий семестр
дифференцируема на [a, b] и справедливо равенство
f 0(x) = lim	f 0	(x) (x		[a, b]).
n→∞	n

Доказательство. Зададим ε > 0. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности {fn0 }, существует такой номер N , что для всех n, m ≥ N и для любого x [a, b] справедливо неравенство

|fn0 (x) − fm0 (x)| < ε.									¯
Обозначим ϕn,m(x) = fn(x)		fm(x). Тогда				¯	ϕ0	(x)		< ε и, в силу фор-
мулы Лагранжа,	−		¯ϕn,m0	(ξ)¯		¯	n,m		¯
|ϕn,m(x) − ϕn,m (x0)| ≤					· |x − x0| ≤ ε |x − x0| .
Отсюда следует, что			¯	¯

|fn(x) − fm(x)| = |ϕn,m(x)| ≤ |ϕn,m(x) − ϕn,m (x0)| + |ϕn,m (x0)| ≤

≤ ε |x − x0| + |fn (x0) − fm (x0)| .

Из этого неравенства видно, что последовательность {fn} удовлетворяет

условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим

f (x) = limn→∞ fn(x). Далее, для n, m ≥ N имеем

|ϕn,m(x + h) − ϕn,m(x)| ≤ ε|h|

(x, x + h [a, b]).

Это неравенство можем переписать так:

¯

f

(x + h)

f

(x)

−

f

m

(x + h)

f (x)

¯

≤ ε.

n

h −

n

h −

m

¯

¯

¯

¯

Устремим n

¯

и тогда получим

¯

¯

→ ∞

¯

f (x + h)

f (x)

f (x + h)

−

f

m

(x)

≤ ε (m ≥ N ).

h −

−

m

h

¯

¯

Зафиксируем¯

и найдем такое δ > 0, что¯ для всех h, удовлетворя-

¯

m ≥ N

¯

ющих условию 0 < |h| < δ, справедливо неравенство

¯

f

m

(x + h)

f

m

(x)

− fm0 (x)¯

< ε.

h −

¯

¯

¯

¯

¯

¯

16. Функциональные последовательности и ряды

51

Тогда получим, что

¯

¯

f (x

)

f (x)

¯

+ h −

¯

¯

h

− fm0

(x)¯ < 2ε (0 < |h| < δ).

Если в

¯

| n0

(x)

−

m0

(x)

|

¯

≥

N )

перейдем к пределу

неравенстве f

f

< ε (n, m

при n → ∞ (как уже доказано, он существует), то получим

|ϕ(x) − fm0 (x)| ≤ ε,

где обозначено ϕ(x) = limn→∞ fn0 (x). Отсюда следует, что

¯

)

f (x)

¯

¯f (x + hh

−

− ϕ(x)¯

≤ 3ε (0 < |h| < δ).

¯

¯

что существует

¯

Это означает, ¯

lim

f (x + h) − f (x)

= ϕ(x) =

lim

f 0 (x)

(x

[a, b]).

h→0

h

n→∞

n

Упражнение. Сформулируйте самостоятельно аналог последней теоремы для рядов.

16.1.4Перестановка предельных переходов

Теорема. Пусть на множестве E задана последовательность функций {fn}, равномерно сходящаяся к функции f на E. Пусть x0 – предельная точка множества E и при каждом n существует limx→x0 fn(x) = yn. Тогда последовательность {yn} имеет конечный предел y0 и существует limx→x0 f (x) = y0.

Доказательство. Зададим ε > 0. Пользуясь равномерной сходимостью, найдем такой номер N , что для всех n, m ≥ N и для каждого x E

справедливо неравенство |fn(x) − fm(x)| < ε. Устремляя x → x0, получаем, что |yn − ym| ≤ ε для всех n, m ≥ N , т. е. последовательность {yn}

фундаментальна. В силу критерия Коши, существует limn→∞ yn = y0.

Имеем

|f (x) − y0| ≤ |f (x) − fn(x)| + |fn(x) − yn| + |yn − y0| .

52 Третий семестр

Если n ≥ N , то для всех x E, в силу равномерной сходимости, справедливо неравенство |fn(x) − f (x)| < ε. Если x достаточно близко к x0, т. е. |x − x0| < δ, то |fn(x) − yn| < ε. При n ≥ N имеем также |yn − y0| < ε. Тогда и |f (x) − y0| ≤ 3ε, если только |x − x0| < δ, а это означает, что limx→x0 f (x) = y0.

Замечание. Доказанная теорема утверждает, что при указанных условиях можно менять местами предельные переходы, а именно,

lim lim fn(x) =	lim lim fn(x).
x→x0 n→∞	n→∞ x→x0

В случае если условия теоремы не выполнены, такое равенство может оказаться неверным.

Аналог доказанной теоремы для рядов имеет следующий вид.

Теорема (о почленном переходе к пределу). Пусть на множе-

стве E задан равномерно сходящийся ряд	∞	u	n	(x). Пусть x				0		– пре-
	n=1
	n существует lim								un(x) =
дельная точка множества E и для любого P					x	→	x0
∞
αn. Тогда ряд Pn=1 αn сходится и существует

∞	∞
X	X
lim	un(x) =
x→x0 n=1	n=1

X∞

αn = lim un(x).

n=1

x→x0

Замечание. Эта теорема дает достаточные условия, при которых сумму и предел можно менять местами.

17. Степенные ряды

∞	n	, где x0
Степенным рядом называется ряд вида Pn=0 an (x − x0)			–

фиксированная точка, {an} – числовая последовательность. Числа an (n = 0, 1, . . . ) называются коэффициентами ряда, точка x0 – центром ряда.

Будем	рассматривать ряды вида			∞	a xn, т. е. полагаем x	0	= 0.
	∞	n		Pn=0	n
Пример. Ряд Pn=0 x			– сумма геометрической прогрессии. Этот ряд

сходится при |x| < 1 и расходится при |x| ≥ 1.

17.1Структура множества точек сходимости степенного ряда

Структуру множества точек сходимости степенного ряда устанавливает

Первая теорема Абеля. Пусть степенной ряд

X∞

a xn	(17.1)
n

n=0

сходится в некоторой точке x1 6= 0. Тогда ряд (17.1) абсолютно сходит-

ся в каждой точке x, такой, что |x| < |x1|.			∞			xn следует,
Доказательство. Из сходимости числового ряда				a	n
			n=0			1
что его слагаемые стремятся к нулю и,	следовательно, ограничены, т. е.
		P

существует такое M , что для всех n = 0, 1, . . . справедливо неравенство

|anx1n| ≤ M . Поэтому для |x| < |x1| имеем

¯x1

¯

|anxn| = |anx1n| ·

¯x1

¯

n

≤ M ·

.

¯

x

¯

¯

x

¯

n

¯

¯

¯

¯

¯

x

¯

n

P

¯

¯ n

¯

¯

Поскольку

q =

¯

¯

< 1, то ряд

|

∞

q сходится. Значит, по признаку

x1

∞

n=0

|

сравнения,

сходится и ряд

n

, а это означает, что ряд (17.1)

anx

¯

¯

=0

абсолютно.

сходится и притом

P

53

54 Третий семестр

Замечание. Если степенной ряд (17.1) сходится при x = x1, то нельзя

гарантировать, что он сходится и при x =		x1. Например, ряд				∞	xn
−	и расходится при−x =		−			Pn=1	n
сходится при x = x1 = 1				x1	= 1.

Следствие. Если степенной ряд (17.1) расходится в некоторой точ-

ке x1, то для всех x, таких, что |x| > |x1|, ряд (17.1) расходится.

Доказательство. Если бы в некоторой точке x2, такой, что |x2| >

|x1|, ряд (17.1) оказался сходящимся, то, в силу первой теоремы Абеля, он должен был быть сходящимся в точке x1. Но в точке x1 ряд (17.1)

расходится по условию, и следствие доказано.

Теорема. Множество точек сходимости степенного ряда (17.1) пред-

ставляет собой непустой промежуток с центром в точке x0 = 0. Это может быть одноточечное множество {0}, интервал (быть может,

и бесконечный), отрезок или полуинтервал.

Доказательство. Ясно, что в точке x0 = 0 ряд (17.1) с любыми коэффициентами {an} сходится. Если других точек сходимости у ряда (17.1)

нет, то множеством точек сходимости ряда (17.1) является множество {0}.

Предположим, что существуют отличные от нуля точки сходимости ряда

(17.1). Обозначим через E множество всех таких точек, R = supx E |x|. Пусть |x| < R. Тогда найдется такое x1 E, что |x1| > |x|. По первой теореме Абеля, ряд (17.1) сходится абсолютно в точке x. Если R < +∞

и |x| > R, то ясно, что x / E и, следовательно, в этой точке ряд (17.1)

расходится. При x = ±R ряд (17.1) может быть сходящимся или расходя-

щимся.

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда
∞
X
an (x − x0)n	(17.2)

n=0

называется неотрицательное число R (конечное или равное +∞), обладающее тем свойством, что при |x − x0| < R ряд (17.2) сходится, а при

|x − x0| > R ряд (17.2) расходится. Существование такого числа R установлено в предыдущей теореме. Интервал (x0 − R, x0 + R) называется интервалом сходимости степенного ряда (17.2).